COS. A

’ sin. x 5

Ces

Ces deux formules avaient été données dès 1701 par Jean Bernoulli, dans les Actes de Léipÿc, mais sans démonstration ; et on voit par la lettre

1 29 du Commercium epistolicum et par le Traité des sections coniques- de t Hôpital, qu’il les avait trouvées en cherchant successivement par les théorèmes connus, les valeurs des sinus et cosinus des angles doubles, triples, &c., et en observant l’analogie des termes de ces valeurs avec ceux du développement du binôme. En effet, si on fait successivement y -=.x,

2 x, 3 x , &c., dans les formules données ci-dessus pour sin. (x ~f -y) et cos. (x — t- y), et qu’on substitue à mesure les valeurs précédentes, on trouve

Cos. 2 x cot. x x — sin. x x

Sin. 2 x = 2 cos. x sin. x

Cos. 3 x ■=. cos. x i — 3 cos. x sin. x*

Sin. 3 x zzz 3 cos. x * sin. . x — sin. a - *

dont l’analogie avec les termes des puissances correspondantes du binôme est manifeste.

D’après cela, il est étonnant que Jean Bernoulli n’ait pas trouvé les expressions finies de sin. m x et cos. m x, et qu’il ait fallu encore vingt ans pour qu'on parvînt à la formule donnée par Mo'ivre. Ainsi, Jean Bernoulli a touché deux fois à la même découverte, et il en a laissé la gloire à ses successeurs.

Les formules précédentes renferment les puissances de sin. x et cos. x mêlées ensemble; comme on a toujours cos. x x -t-sin. x x z=z 1, il est possible de faire disparaître toutes les puissances paires de sin. x ou de cos. x,et d’avoir des formules qui procèdent suivant les puiftances de cos. x ou sin. x.

11 serait difficile de parvenir à des séries régulières par la simple substitution; mais les formules connues

2 cos. x cos. m x = cos. ( m -f- 1 ) x -f- cos. (m — 1 ) x 2 cos, x sin. m x = sin. (m 1 ) x -+- sin. (m — 1 ) x font voir que les cosinus et sinus des multiples de x forment deux série* récurrentes dont l’échelle de relation est 2 cos. x — 1 .

XII/ Cahier.

Ainsi , en partant des premières valeurs de cos. m x et sin. m x lorsque m — o et m = i , et mettant pour plus de simplicité p et q à kl place décos, x et sin. x , on trouvera successivement, cos. o x = i

cos. x ~ p

COS. 2 X = 2 P COS. X COS. 3 X = 2 COS. 2 X &c. ,

d’où résulte la table suivante cos. x =: p

COS. 2 X = 2 p* 2

cos. 3 A- = 4 — 3 p

cos. 4 x = 8 — 8 h— i

COS. J .V = I 6p* 20/)’ 5 p

2 cos. w x = ( 2 p J m — m (xp) m ~~*

COS. O AT — 2 p I

cos. ,x = 4 — 3 />

On trouvera de même , sin. x = q

sin. 2 sr = 2 p q

sin. 3 sr = ^4/ — 1) q ) (B)

sin**4 ac = p* — 4 p) q

sin. 5 x = (16 p* — 12/)* -4- 1 ^ q &c.

Et en général ,

sin. m x z= [ (xp) m '~ A — (m — 2 ) (xp) m ~ i

H (xpf J — &c.y^.

Ces séries procèdent suivant les puissances descendantes de p ; on peut

en avoir aussi qui procèdent suivant les puissances ascendantes <Je,/> ou de q; mais il faut alors distinguer les cas de m impair ou pair.

Soit, j.° m impair, on aura, cos. x — p

cos. 3 * = — (} p — 4 P 1 ) } ( C )

cos. 5 x 5 p — 20 p' i 6 p 5 &c.

Et en générai , * ■ . •

m (m* — i) , cos. m r — ;±i ( m P — — P

le signe supérieur étant pour le cas où • m est de la forme 4 « -4— 1 1 et l’inférieur pour celui où m est de la forme 4 n -+- 3.

On aura de même, lorsque m est impair, sin. x = q

sin. 3 * 5= — q (1 -4-4 P 1 ) V (D )

sin. j x z=z q ( 1 — 12/ -+- 1 6 p *)

sin. m x = zfc q fi — p

0"' — (m‘ — 9) fm‘ — <

où l’on observera, à l’égard des signes ambigus, la même règle que ci-dessus.

Soit, 2. 0 m pair, 011 aura,

cos. 2 x = — ( 1 2 />*y

cos. 4 at = 1 — 8 p 1 —H 8 p* cos. 6 at — — — 1 8/1* -h* 48 p* — 32 p c ) [ (

Et en général ,

cos. m

x = =tz ( 1 P H !

ensuite,

sin. 1 x r= 2 p

sin. 4 * — — q p — %P y )

sin. 6 x z=z q ( 6 p — 3 2 -+

Et en générai,

sin. m x = rfc ( m p —

StC.,) q.

A l’égard des signes ambigus , on prendra les signes supérieurs lorsque m est de la forme 4 », et les inferieurs lorsque m est de la forme 4 » H-

Enfin on aura aussi, à cause de p 1 1 — q,

I ,° pour le cas de m impair , ços. x ■=. p

cos. 3 x = p (\ — 4 q x ) cos. j x — p (1 — 12 q l -+- 1 6 q*)

Et en général,

m* — I , fin* — I )(rn* — 9?

cos. m x - — p (1

O n ' — ') fl n ' — 9 ) fa 1 — *57 * 6

Ensuite ,

sin. x rr: q

sin. 3 * = 3 ? — 4f’ sin. $ x z=z <ÿ q — iO + ti

Et en général ,

. m fin* — \ )

sw- m x = m q — <7*

x.° pour le cas de m pair ,•

cos. x x 2=2 1 — a q '

cos. 42: = I — 8 q -f- 8 q* I . . .

cos. 6 x z= i — 1 8 q' 48 q* — 3 2 q* /

Et en général

cos. m-x

"Vm‘ — K) é m * — <

Ensuite

sin. 1 x =: 2 pq

sin. 4 x 2= p (4 q — 8 q ')

sin. 6 x = p (6 q — 32 q } -+- 32 q'),

sin. «* —P [ tnq —

fice./

J’ai rapporté ces différentes formules , parce que je ne connais aucun ouvrage oit elles se trouvent réunies, et sur-tout parce qu’elles nous fourniront l’occasion de faire plusieurs remarques qui pourront intéresser les lecteurs.

Nous observerons d’abord que les formules des tables (A), (B), (H) et (l) ont été trouvées par Viete , et répondent à celles que loti voit aux pages 295, 297 et 299 de ses œuvres imprimées à Leyde en 1 646. 11 faut seulement observer que Viete a considéré les cordes plutôt que les sinus ou cosinus; or, 2 cos. x étant la corde du complément à deux droits de l’angle 2 x , les quantités 2 cos. îx, 2 cos. 3 x , &c. seront les cordes des complémens des angles doubles, triples, &c.; et la table (A) deviendra celle de la page 299 de Viete, en multipliant tous les termes par 2 et faisant xp = N, (xp) 1 — Q, (xp) y ~ C, &c. suivant sa notation. ' .i

A l'égard de la table de la page 29 j de Viete, elle donne le rapport

des cordes des arcs doubles, triples, quadruples, &c. à la corde de

l’arc simple ; et le premier de ces rapports y est désigné par N, dont le

carré est Q, le cube C , &c. Ainsi, en prenant 2 sin. x pour la corde

1 i> ‘ 1 , ' , ' sin. 2 * sin. 3 x 0

de 1 arc simple, ces rapports seront représentes par — , , &c.

4 14 4 1 v sin, * sin. x

et la table dont il s’agit s’accordera avec la table (B), en faisant * m ' 2 * = z p — N, et divisant chaque équation pat: la première.

La table de la page 399 -de Viete renferme les deux tables (H) et (1), en multipliant tous les termes de ces tables par 2 , et faisant 2 y =z N, (2 q) 1 = Q.

Il m’a paru intéressant de montrer ce que Viete avait fait sur l’objet dont il s’agit , et sur-tout d’indiquer lesquelles des formules connues pour la multiplication des angles, lui sont dues, ce qu’on n’avait pas encore fait, que je sache, d’une manière tout- à-fait exacte.

Au reste, Viete n’a pas donné les formules générales de ces tables; il a donné simplement le moyen de les continuer aussi foin qu’on voudra , en indiquant la loi des termes et de leurs coefficiens.

Dans les mêmes Actes de Léipÿc , pour 1701 , déjà cités plus haut, Jean Bernoulli avait aussi donné sans démonstration , une formule générale pour les cordes des arcs multiples, laquelle revient à celle de la table (B), en observant que 2 q est la corde de son complément à la demi-circonférence.

Ensuite Jacques Bernoulli a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences , de 1702, deux formules pour les cordes des arcs multiples, qui répondent aux formules générales des tables (H) et ( I) , en observant que 27 étant la corde de l'arc 2 y, et 2 p la corde de son complément, 2 sin. mx sera la corde de l’arc m."'* , et 2 cos. rnx la corde de son complément. Mais la première de ces deux formules avait déjà été donnée par Newton dans sa première lettre à Oldemburg, imprimée dans les Œuvres de Wallis.

Enfin, nous remarquerons qu’il n’y a que les formules générales des

tables (A), (B), (H), (K) qui se trouvent dans l’introduction A’ Evier (chap. XIV).

Mais toutes ces formules n’ont été données jusqu’ici que par induction, ou bien en supposant que le nombre m est un des nombres de la série i , 2,3, &c. , de sorte qu’on peut douter si elles s’appliquent à d’autres valeurs de m.

De plus, si on considère les formules des tables (A) et (B), on voit qu’À la rigueur, elles vont à l’infini, même lorsque m est un nombre entier positif ; car en faisant m = 1 , la première donne

cos. .v = p — et la seconde donne

sin. * = q -H ~r A- ^ -+- &c.,

valeurs qui sont évidemment fausses. Il en sera de même en donnant à m d’autres valeurs quelconques, entières et positives, et tenant compte de tous les termes qui ne sont pas nuis.

11 est vrai que par fa nature des tables (A) et (B), dont ces formules ne sont que le terme général, on ne doit y employer que les termes qui contiennent des puissances positives de p ; mais comme les termes qui suivent ne sont pas nuis, on ne voit pas à priori pourquoi on doit les rejeter , et on voit moins encore ce que la formule exprimerait en ne les rejetant pals. Nous réserverons le dénouement de ces dif£cultés pour la leçon suivante.