LEÇON ONZIÈME

Suite de l'Analyse des Sections angulaires , ou l’on démontre les Formules générales des Tables (A), (B), (C), (D) , (E) , (F), (G), (H), (I), (K).

Reprenons les expressions générales de cos. mx et sin. mx, données dans la leçon précédente : faisant cos. x c=z p, et par conséquent sin. x — Y ( 1 —7 p') > on aura

1 cos. mx — [p H- / (p l — i) J m -+- [p — / (p l — \) ]",

2 sin. mx V — i = [p -+- / (p* — \) ] m — (p— V ( 'p 1 — i^7".

Nous observerons d'abord que ces formules sont toujours vraies, quel

que soit le nombre m, parce qu’elles ont été déduites de l’équation générale cos. x ziz sin. x V — t = ^ ^ — 1 élevée à la puissance m. Ainsi les doutes qui pourraient rester à cet égard , disparaissent ici entièrement.

Tout se réduit donc à développer, suivant les puissances de p, l’expression [ p dt / (p 1 — i )]". Comme les quantités p -+-V (p % — ij et p — V ( p * — i J, sont les deux racines de l’équation i — ipi~\~ i=o, je ferai usage du théorème que j’ai démontré dans la note XI de la Résolution des Équations numériques , sur la somme des puissances des racines des équations (pag. sq.8).

Suivant ce théorème, si on a une équation quelconque de la forme u — x H- fx = O, où x est l’inconnue, la formule

»— - 1 - (u — / /« ( r —V . C:J -t- (ZJLLùlJ .+. & c . ,

n’étant continuée que tant qu’il y aura des puissances négatives de u, donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance - *; mais étant continuée à l’infini , elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités f l u,f 3 u, & c., sont le carré, le cube , &c. de fx ; et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de u renfermées entre ces parenthèses.

Ainsi, dans notre cas, si on change j en r et qu’on divise l’équa-

tion par îp , coefficient de x, elle deviendra — — x H o ,

xp x P

laquelle étant comparée à u — x -\-fx — o, donne u =s — et/* , donc fu — ; de manière que la série précédente deviendra

où ii faudra faire u — —, après avoir pris les fonctions dérivées désignées par les traits appliqués aux crochets.

Or, (u~ m )' — — mu*"—',

[( u- m )'u*]’ = (—mu~ n *^y—m(m—i)u- n ^\ [(u- m )'u i r = (—mu-' n +'/ =z — m( m - 5 J &c.

Ainsi la série deviendra

«f"?— K)('n — fj

On voit que les puissances de a seront négatives , m étant positif, tant qu’aucun des facteurs m ' — 3 , m — 4,'m — 5 , &c. ne deviendra pas négatif ; ainsi , pour n’avoir égard qu’aux termes qui contiendront des puissances négatives de u, ii suffira de pousser la série jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs dont ii s’agit, devienne négatif.

Faisons maintenant a — — , et ia série deviendra

(*pT

(>pr~'

laquelle étant continuée seulement comme on vient de ie dire, exprimera , ia valeur de

ce qui est la même chose que la valeur de

[p / (p - or -h [p - / (p % - or v . • à cause de

Ainsi , dans cet état, la série dont il s’agit donnera la valeur de 2 co s.mx, ce qui s’accorde avec ia formule de ia table ( A ).

Mais si. on continue la série à l’infini, alors elle ne donnera que la valeur de [p — Y (p 1 — 1) ] ~ ? , puisque p — V ( p 1 — 1) est XI 1.‘ Cahier. N

la plus petite des deux racines; ou, ce qui revient au même, elle donnera

la valeur de

Pour nous convaincre en effet que la série précédente, prise dans toute son étendue, n’est que le développement de cette quantité, nous allons chercher ce développement d’une manière directe , ce qui servira d’exemple de la manière d’employer les fonctions dérivées dans ces sortes de recherches.

Supposons donc qu’il s’agisse de développer l’expression

[p v (p' - or.

dans une série descendante de la forme

A p m -f- B p m ~~ ' -+- Cp m ~~ 1 -t- D p m ~ 5 -f- &c.

Si on divise de part et d’autre par p” et qu’on fasse — = j, on aura

fi -+-V(i — Z % )J m = A ■+- Bz -+- C-C H- Di' -t- &c.;

où l’on voit que la série ne peut avoir que des puissances paires de g.

Ainsi, en faisant u = £*, on aura la fonction [ \ -+- Y ( 1 — u) J” à développer suivant les puissances de u.

Donc, par la formule générale donnée à la fin de la neuvième leçon, si on fait fu — [ 1 H- V ( t — n) ] m , on aura

[\ H— V (t — u) J m = / -H uf ~ f -f- &c.,

où/, f,f sont les valeurs defu,fu,f"u &c. lorsque a — o.

Ainsi , on trouvera d’abord f = 2 m ; ensuite on aura

et de là /' = — m x 2" — *; et ainsi de’suite.

On peut de cette manière avoir successivement tous les coefficiens de la série, mais on n’en aura pas la loi, ce qui est le plus essentiel.

Pour la trouver d’une manière générale, je reprends la formule en p, et je la suppose égale à y, ce qui me donne l’équation

Je remarque maintenant qu’un des principaux avantages des fonctions dérivées, est de pouvoir faire disparaître dans les équations les paissances et les radicaux. En effet, en prenant les fonctions dérivées par rapport à p, et regardant y comme fonction de p, on â

cette équation divisée par l'équation primitive, donne

multipliant en croix et carrant, on aura

Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à p, on aura a / / '(p 1 — \) - 4 - 2 /* p = 2 m' y /, d’où, en divisant par 2 y', résulte cette équation du second ordre en y et p.

m y — py' — (p 1 — V / = °»

Jaquelle étant, comme l’on voit, linéaire par rapport à y, et dégagée de radicaux, est très-propre au développement d ey en série.

En effet, H n’y a qu’à substituer pour y la série

Ap m -4- Bp m ~' -+- C p m T 1 -4- Dp m ~ 5 - 4 - &c. , et par conséquent pour y'

m Ap m ~‘ -4- ( m — 1 )Bp m ~ t H- ( ni — 2)Cp m ~ i - 4 - &c., et pour y" • *

m (m — 1 ) A p m ~ % -4- ( m — 1) ( m — 2 ) B p m ~~ } - 4 - &c. Ordonnant les termes suivant les puissances de p, ou aura [ m 1 A — m A — m (m — 1) -A ] p"

-4— [ tn B — (m — j ) B - — (m — 1 ) (m — *) & ] p”

-j j~ n PC— (m — 2) C — (m — 2 ) (m — 3) C 7 L -4- m (m~— \) A J ?

-+“ Am* D (m l) D (m }) (m 4 :) D 7 L -4- (m — 1 J (m — 2) B J ?

IOO

Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment dep, ii faudra égaler à zéro le coefficient de chaque terme.

Le coefficient de p m disparaissant de lui-mcme, c'est une marque que le coefficient A demeure indéterminé.

Le coefficient de p m ~ ’ , se réduit à tn B — ( m — i ) l B qui ne peut devenir nul à moins de faire B = o. Or, B étant nul, il est facile de voir que les coefficiens de p m ~ i ,p m ~ 5 , &c., ne pourront aussi devenir nuis qu’en faisant D = o, F = o , &c.

Maintenant le coefficient de p m ~ ‘ se réduit à

m 1 C — (m — 2 J 1 C m (m — i) A; celui de p m ~~ 4 se réduit de même à

m 1 E — ( m — 4)' E H— (m — 2) (m — y) C , et ainsi des autres.

On aura donc, en réduisant les équations,

12 (m — 3 ) G -+- (m — 4) (ru — 5 ) E — o.

Sic.

Lesquelles donnent la loi suivant laquelle les coefficiens A, C, E, G , Sic. , dépendent les uns des autres.

O11 tire de ces équations q m A

Or, nous avons vu que le premier coefficient A est égal à 2 m ; ainsi on aura ce développement, quel que soit le nombre m,

[p -H V (p'~ O J" = (*p) m - « (ip) m ~ %

- (m ~ (ip/*-*

comme nous l’avons trouvé ci-dessus par une autre voie. .