A N A L Y SE

Cherchons Je même le développement de [p — Y (p 1 — i J Comme cette expression ne diffère de celle que nous venons de traiter que par le signe du radical , lequel ne se trouve plus dans l’équation dérivée en y, dont nous avons fait usage , il s’ensuit que la même formule que nous venons de trouver, pourra encore s’appliquer à ce développement. Il faut seulement remarquer que comme les premiers termes du

radical Y (p* — i) sont p — — ^ — h- &c. . le premier terme du développement dont il s’agit, sera

— ; de sorte qu’ici il faudra prendre

ni négativement; et comme l’équation dérivée en y ne contient que m % , on aura nécessairement la même série en y changeant seulement m en — m; ce qui suit d’ailleurs aussi de ce que

on aura donc

m ( rn 3 )

Si maintenant on réunit ces deux séries, on aura la valeur de i cos. mx ; donc ‘ *

1 cos. m x ■=.( 2 p m ) — m (2 p) m

m (tn — 4) (m —

m (2 p)~ m ~ in (m -H (n

C’est le développement complet de 2 cos. m x en puissances de cos. .v pour une valeur quelconque de m. ^

Si maintenant on fait ici m =z i , on a

COS. X — p

Sec.,

où l’on voit que les deux séries se réduisent au premier terme p.

En donnant à m d’autres valeurs entières et positives quelconques, on trouvera toujours que la seconde série qui contient les puissances négatives de p servira à détruire dans la première série tous les termes qui contiendront ces mêmes puissances; c’est ce qu’on peut démontrer en général par la loi même des deux séries; de sorte que le résultat se réduira aux seuls termes de la première qui contiennent des puissances positives de p ; ce qui revient à ne conserver dans cette série que les termes où p est élevé à une puissance positive, ou nulle, comme nous l’avons trouvé plus haut à priori . ,

Mais lorsqu’on donne à m une valeur fractionnaire quelconque, les deux séries ne se détruisent plus, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de 2 cos. m x.

En prenant la différence des deux séries au lieu de leur somme, on aurait la valeur de sin. mx V — 1 ; mais sin. mx serait exprimé de cette manière par des séries infinies et imaginaires. Pour avoir une expression réelle, il suffit de considérer que la fonction dérivée de cos. mx est — rwsin. m x, et que celle de p est — ÿ, puisque p = cos. x, et q = sin. x ; de manière qu’en prenant les fonctions dérivées des séries trouvées pour cos. mx, on aura sur-le-champ, en changeant les signes et divisant par 1 m , sin. m x = ( (xp) m ~~ ' — - (m — 2) (2p) m ~ 1

-H - ’V ~ ■■■ (*rr-< - &c

Cette expression se réduit aussi à une forme finie , lorsque m est un nombre entier par la destruction mutuelle des termes qui contiendraient

des puissances négatives de p ; de sorte que m étant un nombre positif

entier , il suffira de ne prendre daqj la première série que les termes qui contiendront des puissances positives de p; ce qui* s’accorde avec la formule de la table (B).

Lorsque m est un nombre fractionnaire, les deux séries vont à l’infini, et jointes ensemble, donnent la vraie valeur de sin. m x développée suivant les puissances descendantes de cos. x , comme cela a lieu pour la valeur de cos. mx.

Euler a le premier reconnu cette espèce d’imperfection des formules connues des tables (A) et (B) ; il a fait voir, par une analyse à-peu-près semblable à celle que nous venons de donner, que c es formules, pour être générales et applicables à des valeurs quelconques de m , doivent être complétées par des formules semblables où l’exposant m est négatif.

J’ai cru devoir entrer dans ce détail pour l’instruction des jeunes analystes, et sur-tout pour montrer que si l’analyse parait quelquefois en défaut , c’est toujours faute de l’envisager d’une manière a$sez étendue et de la traiter avec toute la généralité dont elle est susceptible. ( Voye £ le tome neuvième des nova Acta, de l’académie de Pétersbourg. )

Nous venons de développer les expressions [p riz V (p x — 1 J J m suivant les paissances descendantes de p; on peut de même, et par le moyen de la même équation dérivée en y , les développer suivant les puissances ascendantes de p , ce qui nous donnera les formules des tables (C), (D), (E), (F), et pourra même servir à les compléter pour toutes les valeurs de m.

Supposons donc en général

y = A -4- Bp H- Cp' -+- D -f- &c.

Substituant dans la même équation, et ordonnant suivant les puissances de p, on aura

-H (ni E — 4 E -4- 5 . 6 C — 3.4£^ +

Egalant donc à zéro chacun des ^oefficiens des puissances de p ,- on aura, en réduisant;

1 ) B 4- 3 ,-jD = 0,

1 6 J E 4 — j . CG cz 0 ,

d’où l'on tire, en substituant successivement les valeurs précédentes,

ém* — 1; fi ** 3

m” fm* — 4^ fm* —

Les coefficiens A et /tétant restés indéterminés, il faudra les déterminer par la nature de la fonction y. Or il est visible qu’on a A=y et B = /, en faisant p = o. Ainsi , puisque la fonction y est égaie à [p-+- ( Y p 1 — 1) ] m > °n aura d’abord , en faissant p =0 , A — ( V— 1 J m . Ensuite, en faisant^ — o dans la fonction dérivée^' trouvée ci-dessus , on aura

Substituant donc ces valeurs de A et B , on aura le développement de l’expression [ p 4- Y ( p 1 — 1 J J m .

Pour avoir celui de l’expression [p •*— Y (p % — 1) ] m , il n’y aura qu’à prendre le radical V ( p * — \) en moins; mais comme ce radical n’entre plus dans l’équation dérivée en y par laquelle nous avons déterminé les coefficiens de la série, il s’ensuit qu’on aura ia même série pour

cette

celte dernière expression que pour la première , aux coefficiens A cl B près, qui pourront être différons; et on trouvera ici par le même procédé,

Donc puisque la somme de ces deux expressions donne la valeur de 2 cos. m x, comme on l’a vu plus haut, on aura cette valeur en substi- • tuant dans la série A —H B p -t— C p' - 1 - ècc. à la place de A et B la somme des deux valeurs qu’on vient dé trouver, c’est-à-dire, en faisant

A = (V — \JT H” (— Y — i) m ,

B —m (Y — ■ i) m ~ ' -+- m(— V — xj m —;

d’où il est facile de voir que lorsque m est un nombre entier impair, on aura /4 — o, B — dt 2 m, et lorsque m sera pair on aura A =±i,fi=o; mais pour avoir les valeurs de A et B dégagées d’imaginaires pour toutes les valeurs de m, il 11’y a qu’à employer la formule générale ( cos. x — t— sin. x Y — 1 ) m = cos. m x sin. m x Y — 1 , et y supposer x égal à l’angle droit, car alors cos. r = o et sin. x= 1 ; ainsi en adoptant l’angle droit pour l’unité des angles, et prenant le radical Y — 1 en et en — , on aura

• (ziz Y — 1 ) m = cos. m rt sin. m Y — 1, et les valeurs de A et B deviendraient

A = 2 cos. m , B — 2 m cos. ( m — 1 ).

©n aura donc en général , pour un nombre quelconque m,

cos. m x = f 1 —

■ &c.y cos. m

[mf n

&c. 7 cos. (m — 1).

Tel est le développement complet de cos. m x en série ascendante de

p ou cos. x. On voit que lorsque m est un nombre entier, il y a toujours

une des deux séries partielles qui se termine et que l'autre qui irait à

XII/ Cahier. O

io6 analyse.

l’infini , disparaît parce qu’elle se trouve toute multipliée par un co.-fficient cos. m ou cos. (m — x) qui devient nul. On a alors l’une ou l’autre des formules des tables (C) et (E) ; mais lorsque m est une fraction quelconque, les deux séries vont à 1 infini, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de cos. m x ; ce que personne , ce me semble , n’avait encore observé.

En prenant les fonctions dérivées comme on a fait plus haut pouf déduire la valeur de sin. m x de celle de cos. m x , on aura aussi , à

cause de p' ~ sin. m x -

- ~ [ nt P

p 5 — &c.y q cos. »

( Itl* — 1 ) ( M 9^407 / 1

• "+* p* — Stc.Jqcos.(m—l)

pour Je développement complet de sin. m x, quelque soit m ; où Ion voit que lorsque m est un nombre entier on a les formules des tables (DJ et (FJ.

Il nous reste à considérer encore les développemens de cos. m x et sin. ni x suivant les puissances ascendantes de q , conlormément^aux tables (G). (H), ( 1 ). (K).

Pour cela nous remarquerons d’abord qu’en faisant sin. x = y, on a cos. x = V (ï — q 1 ); et les expressions générales de cos. m x et sin. m x deviennent

2 cos. m x — [ V ( 1 — f) -+- <} V — 1 ] n

-H [V(l - q') - qV - \] m ,

2 sin. m x V — 1 — [ V (1 — q' J -t- qV — t ] m

Il ne s’agit donc que de développer les formules [Y (x — q) q Y — 1 ] M , en puissances ascendantes de q.

Faisons [ Y ( 1 — q' ) -+- q Y — 1 J m — Z • on aura , en prenant les fonctions dérivées par rapport à q ,

i=,m[V(x-q)+qV—\] m -'*t- TT ± rT) -*-Y- lj

— m t* (' ~ l') + ? / ~ -'V (' -î) ~ ' - il

divisant cette équation par l’équation primitive, on a

i mV — t Â

multipliant en cro^f et carrant, on aura

prenant de nouveau les fonctions dérivées, et divisant par 2^ , on aura dette équation , du second ordre en

m' 1 — qi — (q* — l) Z == O, qui est, comme l’on voit, entièrement semblable à l’équation en y et p, trouvée plus haut.

Ainsi, en supposant

l = A -f- Bq -t- Cq' - 4 - Dq l -f- &C. , on trouvera les mêmes valeurs des coeffîciens ; mais , comme les deux premiers A et B demeurent indéterminés , ils pourront être différais à raison de la diversité des fonctions y et £ en p et en q.

Pour trouver ici ces deux coeffîciens , ce qu’il y a de plus simple c’est de chercher , par le développement actuel , les deux premiers termes de la série. Or , puisque Y ( 1 — q 1 ) donne

il, est évident que les deux premiers termes de , •

sont 1 -4 -mq Y — 1 ;

ainsi on aura -i A — 1 , B — m Y — 1.

io8 analyse:

Le développement de [ Y (\ — q' ) — J V — 1 J" • *era le même , en changeant seulement Y — i en — V — i ; ainsi on aura , pour ce développement ,

A — i et B — — m Y — i.

Donc , pour avoir la somme des deux développemens , il n’y aura qu’à prendre, pour A et pour B, la somme des deux valeurs correspondantes ; ce qui donne A = i , B z=z o ;

Et pour avoir la différence des mêmes développemens , on prendra la différence des valeurs correspondantes de A et B, ce qui donnera ■ A — o, B “ 2 m V — i .

Faisant ces substitutions , on aura donc , en di#sant par 2 et par

cos. mx — 1

sin. mx = mq

Ces formules sont , comme l’on voit , les mêmes que celles des: tables (I) et (H); mais, par la manière dont nous venons de les trouver , on voit en même temps qu’elles sont générales pour des valeurs quelconques de m. Cependant, comme la première ne se termine que lorsque m est un nombre entier pair , et que la seconde ne se termine que lorsque m est un nombre entier impair, elfes ne peuvent servir pour la section des angles que dans ces cas; mais on peut, enprenant les fonctions dérivées, comme nous l’avons fait ci-dessus, déduire de ces mêmes formules, d’autres formules, qui se termineront' justement dans le cas où celles-ci vont à l’infini. Pour cela, on se rappellera que les fonctions dérivées de cos. mx et sin. mx , sont — m sin. mx et m cos. mx, et que celle de p et q sont — y et p ; de sorte que les deux équations fourniront, par la dérivation, ces deux-ci i

sin. mx — p (m q — q ’

, in* — I » .

cos. m x = p ( 1 — q —

&c vJ. , ,

qui répondent, comirte i’on voit, aux formules des tables (K) et (G), et qui sont , par conséquent , aussi générales pour des valeurs quelconques de m. Ainsi toutes les formules de ces différentes tables, sont démontrées d’une manière générale.

Le théorème de Cotes est si intimement lié avec la théorie des sections angulaires , que nous ne pouvons nous dispenser d’en dire un tpot ici.

On ignore comment Cotes l’a trouvé, et on en a donné après sa mort différentes démonstrations plus ou moins simples, et même plus ou moins rigoureuses. Sans avoir* recours aux expressions imaginaires , comme on le fait communément , on peut le déduire directement des formules mêmes données par Viete , que nous avons rapportées dans la table (AJ; et il est vraisemblable que c’est ainsi que Cotes y esr parvenu.

En effet, si on multiplie ces formules par 2, et qu’on y suppose

p =:y H , elles se réduisent à cette forme simple.