COS. 4. X* = / H
d'où il est facile de conclure, en général ,
2 cos. mx ~ y -I— .
Pour se convaincre , d’une manière plus directe, de la généralité de cette formule, 41 suffit de considérer que si, dans l’équation
2 cos. x cos. mx cos. (m — l) x -f- cos. (m -+- \) x,
on fait 2 cos. x = y — 1 ÿ — , et qu’on suppose que deux termes
consécutifs, 2 cos. — i/x, et 2 cos. mx, soient de la forme
elle donnera 2 cos. (m -+
— - et /H —
Ainsi, pourvu que les deux premiers termes 2 cos. oret i cos. x,
soient de la forme y m H — , en faisant m =: o et m = i , cè qui
est en effet, tous les autres seront nécessairement de la même forme. Maintenant les deux équations
2 cos. x = y -4- — - — , et 2 cos. ntx ±= y" -t— -,
donnent ces deux-ci,
yk — 2 y cos. x -+- i = o , y im — zy m cos % x H— i = o ,
qui doivent donc avoir lieu en même temps; par conséquent il faut quelles aient une racinè commune. , r
Ce dernier théorème a été donné par Moivre , sans démonstration, dans les Transactions philosophiques de 1722, année où a paru 1 ' Harmonia mansurarum de Cotes, qui était mort six ans auparavant.
Soit maintenant a la racine commune à ces deux équations ; comme
ces équations demeurent les mêmes en y changeant 7 en — , il s’ensuit
que — sera encore une racine commune aux mêmes équations; mais
l’équation y * — 2 y cos. x H— 1 = o, n’étant que du second ordre,
ne peut avoir que les deux racines a et — ; donc cette équation a toutes
ses racines communes avec l’équation y 1 ” — < 2 y* cos. htx -4— 1 ’r= o ; par conséquent elle est nécessairement un diviseuf de celle-ci,”
Soit mx z=z <p , donc x -^ 7~11 s’enstdt de ce qu’on vient de
démontrer, que la formule .•> j , - • 1 - ,- s - v • -
ANALYSE, a pour diviseur la formule
/ — 2 cos. ±- y -h i , m
m étant un nombre quelconque entier.
Or, si c est la circonférence ou l’angle de quatre droits , on sait ‘ que cos. < p — cos. ( <p ne), n étant un nombre quelconque entier;
ainsi en mettant <p ne a la place de tp , et faisant successivement n === °> 1 1 m — i , on en conclura que la formule
y xm — 2 cos. <p y -j- i a pour diviseur les m formules suivantes :
/ — * cos- — y -H i ,
/ — 2 cos. H y -+- .
* — * cos - a 4) y-*- ■ .
t /9 XC \
y 2 COS. (— H- J-J y
De sorte que, comme ces diviseurs sont tous difTérens entre eux, et qu’ils sont au nombre de m, il s’ensuit que la formule en question du 2 m. rme degré ne peut être que le produit de ces*,, formules du second degré.
Le théorème de Cotes n’est, comme on sait, qu’un cas particulier de ce théorème généràl , lorsqu’on y fait <p = o ou <p = 1 ce au j
donne cos. tp =z db i , et réduit la formule générale à (y m zp i
Le théorème général est dû à Moivre , comme on le voit par se* Aliscellanca analytica.
Jusqu ici nous avons développé les cosinus et les sinus des angles multiples en puissances des cosinus ou des sinus de l’angle simple. On peut chercher réciproquement à développer les puissances des cosinus
AN ALYSL ou sinus de l’angle simple en cosinus ou sinus des angles multiples, et cette transformation , qui est toujours possible, est un des plus grands avantages de l'algorithme des sinus et cosinus, par la facilité qu’elle donne dépasser des fonctions primitives aux fonctions dérivées , et de revenir de celles-
• ci aux primitives. ,
Nous pourrions la déduire des formules trouvées ci-dessus; mais nous aimons mieux la chercher directement par le moyen des fonctions dérivées, pour donner un nouvel exemple de leur usage dans la transformation des fonctions.
Considérons la puissance cos. x m , et supposons cette fonction de x égale à. y, nous aurons ainsi y — cos. x m , et prenant les fonctions dérivées par rapport à x, il viendra
y' z=z — m cos. x m ~ ‘ sin. x;
cette équation, divisée par la précédente, donne
y' m sin. *
y cos. * '
• d'où l'on tire, en réduisant,
m y sin. x —J— y' cos. .v = o ,
équation dérivée du premier ordre, qui a l’avantage de ne plus contenir la puissance indéterminée de cos. x.
Supposons i^pintenant, en général,
y = A cos. n x - 4 - B cos. (n — I ) x -+- C cos. (n — 2) x - 4 - D cos. (n — $) x -+- &c.;
les coefficiens A, B , C, &c., étant indéterminés ainsi que n:
L équation précédente deviendra, par cette substitution,
m [A cos. ns c -h- B cos. (n — 1) x -+- C cos. (n — 2) x -4- Stc.Jsm. x — [n A sin nx (n — 1 ) B sin. (u — \)x : -h (n — 2) C sin. (n — 2) x -H &c . ,] cos. x — o. ;
savoir ,
savoir, en développant les produits des sinus et cosinus, et ordonnant les termes suivant les sinus multiples :
H— (m A — n AJ sin. (n -f- i J x H- [m B — (n — i ) B] sin. n x — H [m C — m A ■+- (n — 2 J C — n A] sin (n — i) x -t- [mD — m B — (n — 3) D
— ( n ; — 1) B ] sin. (n — 2) x *
-+-[mE — mC — ( n — E
— ( n — 2) C ] sin. (n — 3 x
Égalant donc à zéro chacun des coefficiens de ces différens termes, en aura (m — n) A — o,
( m — n -f- 1) B zzz o ,
(m — n — t— 2 JC — (m —H uj A = o, ,
(m — n -f- 3 JD — (m -t- « — 1 J B — o ,
(m — n — t— 4 JE — (m — t— n — 2 J C — o,
La première donne d’abord n — m , et substituant cette valeur, le* autres deviennent
Ainsi, le premier coefficient A demeure indéterminé, ensuite on a
XllS Cahier. P
donc
Ensuite ,
Ainsi, on a en général, quel que soit l’exposant m, cos. x m — A /cos. m x -+- m cos. (m — x) x a
co s.(m — 4.) x -t~ &c.y
11 reste à déterminer le coefficient A ; pour cela je suppose x = o ,
» • ai
où l’on tire
Donc enfin , en multipliant toute l’équation par z m , on aura (x cos. x) m — cos. m x m cos. (m — x) x
cos. (m — 4/ x -+- &c. ;
série fort simple, qui se termine toujours comme celle du binôme, lorsque ni est un nombre entier positif.
On peut déduire de cette formule un pareil développement pour sin. x m en chaînant simplement .v en i — x , l’angle droit étant pris pour l’unité des angles.
Ainsi on aura Je mime
fi sin. x ) m = cos.mfi — x) -f- m cos. (m . — i) f i — x)
— f- COS. f m $} fl XJ — f- OCC.
Nous venons Je Jonner une théorie complète Jes sections angulaires , et nous avons en mime temps montré par Jifférens exemples, combien l’algorithme Jes fonctions Jérivées est utile pour la transformation Jes fonctions, en faisant Jisparaître Jes équations les puissances et les raJicaux qui renJent les Jéveloppemens difficiles, et font perJre la loi et la JépenJance mutuelle Jes termes.
On voit que tout se réJuit à former J’aborJ Jes équations Jérivées J’après l’équation ou les équations primitives Jonnées, et à JéJuire ensuite Je ces équations Jérivées J’autres équations primitives, qui seront les transformées Jes premières. Il est Jonc important Je bien connaître la théorie Je ces équations, et Je se renJre fauailiers les Jifférens artifice* qui peuvent en faciliter le calcul.
Commençons par exposer les principes généraux Je cette théorie.
