LEÇON DOUZIÈME

Théorie générale des équations dérivées , et des constantes arbitraires.

Nous avons Jéjà Jémontré quq toute équation entre Jeux variables , par laquelle l’une Je ces variables est fonction Je l’autre, subsiste également en prenant les fonctions Jérivées, premières, seconJes, &c., Je chaque terme Je l’équation par rapport à l’une Je ces variables.

Ces équations Jérivées ayant lieu en meme temps que l’équation primitive , il s’ensuit qu’une combinaison quelconque Je ces Jifférentes équations aura lieu aussi. Donc, comme les constantes qui entrent dans une fonction, restent les mêmes Jans ses fonctions Jérivées, on pourra toujours, par le moyen Jes équations Jérivées, éliminer autant Je constantes Je l’équation primitive qu’on aura d’équations dérivées; l’équation résultante Je cette élimination sera une équation du même ordre que la

3 1 6 ANALTSE.

plus haute des équations dérivées, laquelle sera vraie en même temps que l’équation primitive, et pourra par conséquent en tenir lieu; elle renfermera autant de constantes de moins que l’exposant de son ordre contiendra d’unités. N

Ainsi l’équation primitive, combinée avec son équation dérivée ou prime, pourra donner une équation du premier ordre, contenant une constante de moins que l’équation primitive.

L’équation primitive combinée avec les équations dérivées, prime r et seconde, donnera une équation du second ordre contenant deux constantes de moins que l’équation primitive, et ainsi de^suite.

On ne peut parvenir que d’une seule manière à l’équation du premier ordre résultant de l’équation primitive et de son équation dérivée par l’élimination d’une constante donnée; mais on peut parvenir de deux manières différentes à l’équation du second ordre résultant de la primitive et de ses deux premières dérivées par l’élimination de deux constantes données; et ce double point de vue donne lieu à des conséquences importantes , relatives à ce genre d’équations.

Au lieu d’éliminer à-la-fois les deux constantes , par le moyen des trois équations dont il s’agit , on peut n’éliminer d’abord que l’une ou l’autre de ces constantes , à l’aide de l'équation primitive et de sa dérivée ; on aura ainsi deux équations différentes du premier ordre , dont l’une ne contiendra que l’une des deux constantes, et dont l’autre ne contiendra que l’autre constante. .Maintenant, en combinant chacune de ces équations avec sa dérivée, on pourra aussi en é^ miner la constante qui y était restée , et on aura deux équations du second ordre sans les deux constantes, lesquelles devront être équivalentes entre ’• elles et avec l’équation qui résulte de l’élimination simultanée des deux constantes.

En effet, chacune de ces équations donnera la valeur de la fonction seconde de la variable qu’on regarde comme fonction de l’autre, valeur qui sera exprimée par la fonction prime de la même variable , et par les deux variables mêmes sans les deux constantes qui entraient dans l’équation primitive; et il est facile de se convaincre que cette valeur

ANALYSE. Il 7

est unique et déterminée , de quelque manière qu’on y parvienne , puisque les fonctions dérivées d’une fonction donnée , soit explicite ou non , sont uniques et déterminées , et que les résultats de -l’élimination sont aussi toujours déterminés.

On doit conclure de là, qu’une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations différentes du premier ordre , renfermant chacune une constante arbitraire de plus que l’équation du second ordre; et que ces équations seront par conséquent deux équations primitives de la même équation du second ordre, mais primitives du premier «rdre, pour les distinguer de féquatiqp primitive absolue d’où celles-ci sont censées .dérivées.

Enfin, on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au second, le raisonnement que nous venons de faire sur celles de cet ordre , et on conclura de la même manière qu’une équation du troisième ordre peut être dérivée de trois équations différentes du second ordre, et qu’alors elle peut avoir trois équations primitives de cet ordre; et ainsi de suite.

Nous allons éclaircir et confirmer cette théorie générale par quelques exemples.

Soit l’équation de premier degré y a x -f- b o , en regardant y comme fonction de x et prenant les fonctions dérivées, on aura y' -+- a o. En éliminant a au moyen de ces deux équations,

on aura l’équation du premier ordre y x y' — t— b = o , dont

l'cquation pri^dve sera y — I— a x -+- b = o, a étant la coustante arbitrair^^

Si la constante b dépendait de la constante a, par exemple si b — a*, alors en éliminant a, c'est-à-dire, en substituant — y' pour a, on aurait l’équation du premier ordre y — x y' -+- r= o, et l'équation primitive de celle-ci serait y -t— a x — |— a o, a étant la constante arbitraire.

Supposons b — c Y ( i <?), on aura l’équation du premier ordre y — x / -+- c V (i -h- /'), dont l’équation primitive sera y -t- a x ~+- 'c Y ( i -4— a ) , où a est la constante arbitraire.

l i 8 ANALYSE.

Soit encore l'équation x x — 2 a y — a — b = o, sa dérivée sera x — a y' — o, équation du premier ordre dont ia proposée est i’équation primitive, et où b sera la constante arbitraire.

Mais si l’on veut que la constante arbitraire soit a , alors il faudra éliminer a; or l’équation dérivée donne a = — , donc substituant cette valeur dans la proposée, elle donnera

ou bien

(x x — b) /* — 2 x y y — x* = o, d’où l’on tire

/ / (x x -+- / — b) — y y' — x — o, équation du premier ordre,- dont la primitive sera

a étant la constante arbitraire.

Si on vouloit éliminer à-la-fois a et b, il faudrait employer les fonctions secondes. Ainsi , puisqu’on a déjà trouvé l'équation du premier ordre x — a y' r= o , où b ne se trouve plus , il n’y aura qu’à former l’équation dérivée dç celle-ci, laquelle sera 1 — a y“ == o,

d’où l’on tire a — -v, et cette valeur substituée dans la précédente,

donnera x — — = o, savoir x y" 1 — y' — o, cq^^ion du second

ordre, dont l’équation x x ■ — 2 a y — a — b = o, sera laprir mitive absolue, a et b étant les deux constantes arbitraires.

On parviendrait à la même équation en faisant disparaître b de l’équation du premier ordre

/ V (x x -t- y x — b) — — y y' — x = o trouvée plus haut; car en prenant les fonctions dérivées, on aura

/ vY*‘ -+-/ — b) -f-

et éliminant b au moyen de la précédente, il viendra / (y y *)

J X » fX

savoir, comme on l’a vu plus haut,

—r — i o, ou * x — y o.

On voit aussi que cette même équation du second ordre a deux équations primitives du premier ordre, savoir:

x — a y' ~ o , et y' Y (x x -+- y 1 — b) — y y ' — x — o ,

où a et b sont les deux constantes arbitraires; et ces deux-ci, par l’élimination de la fonction dérivée/, donneront l’ cqüation primitive absolue entre x et y,

1 V (x > H- / b) ’JL x = o,

savoir V (x % -f- y 1 — b) — y — a rrr o; et en faisant disparaître le radical x* — x a y — a — b =r o, qui est la même dont nous sommes partis.

Ën éliminant ainsi les constantes qu’on veut faire disparaître , on tombe souvent, comme on le voit, dans des équations où la plus haute fonction dérivée est élevée à des puissances; et ce n’est que par la résolution qu’on peut avoir la valeur de cette fonction en fonction des variables et des fonctions dérivées d’un ordre moindre.

• On peut cependant parvenir directement à une équation dérivée où la plus haute fonction dérivée ne se trouve qu’au premier degré; pour cela il n’y a qu’à préparer l’équation primitive, de manière que la constante arbitraire qu’on veut faire disparaître, s’en aille d’elie-même, en prenant la fonction dérivée de chacun de ses termes ; ce qui arrive lorsque cette constante est dégagée des variables , et forme elle seule un des termes de l’équation ; car alors la fonction dérivée de ce terme étant nulle, l’équation dérivée se trouvera naturellement délivrée de la constante , et la plus haute fonction dérivée y sera nécessairement à la première dimension; car, comme on l’a vu dans la leçon sixième, en

prenant la fonction dérivée d'une fonction de plusieurs variables , chaque variable ne peut donner que des termes multipliés par la fonction dérivée de la même variable. •

Or il est évident que cette préparation ne demande que de résoudre l'équation primitive , en regardant la constante qu’on veut éliminer comme l’inconnue de l’équation. Ainsi on peut obtenir, par ce moyen, le même résultat qu’on aurait par la résolution de l’équation dérivée, par rapport à la plus haute fonction dérivée.

Dans le second exemple, où l’équation primitive éla.\t y -+■ a x -+■ a* — o, nous avons trouvé l’équation dérivée y — xy' -4- y'* = o, laquelle donne, par la résolution, 2 y' z=z x -f- Y (x x — 4 y). Mais si nous avions d’abord résolu l’équation par rapport à la constante a, nous eussions eu

1 a — — x H— V (x l — 4 y), et sa dérivée serait

savoir, en multipliant par Y (x x — 4 y)',

x — 1/ — Y (x % — 4 y) = 0, équation qui coïncide avec la précédente , à cause de l’ambiguité du signe du radical.

On peut , de la même manière , faire disparaître successivement plusieurs constantes , en préparant toujours l’équation en sorte que la constante à gliminer soit dégagée des variables.

Ainsi l’équation primitive x 1 — lay — a 1 — i — o , contenant la constante b isolée dans un seul terme , donne tout de suite l’équation du premier ordre sans b, x — ay' =z o; ensuite, en dégageant a, on a

a -~r : prenant la fonction dérivée de chacun des deux membres ,

on a — — — — — =: o,

équation qui, étant multipliée par y' 1 , devient

comme plus haut.

En

En commençant l'élimination par la constante a, nous avions trouve l’équation du premier ordre,

comme la constante b y est dégagée des variables , il n’y a qu’à prendre ia fonction dérivée de chaque terme pour avoir tout de suite l’équation du second ordre sans a ni b.

On a ainsi

Cette équation se réduit à cette forme,

Comme le facteur ■— -4- ne renferme que ia fonction prime y',

î! ne peut donner une équation du second ordre ; ainsi c’est l’autre

facteur — i , qu’il faut employer , et l’on a — i o ,

savoir, x y" — y' = o, comme ci-dessus.

Nous verrons plus bas, lorsqu’il sera question des équations primitives singulières , l’usage du premier facteur.

Ce peu d’exemples , que j’ai choisis parmi les plus simples , suffit pour montrer comment les équations dérivées se forment des équations primitives , par l’évanouissèment des constantes. On voit que , pour une équation primitive donnée , il est toujours possible de trouver unè équation dérivée qui renferme autant de constantes de moins qu’il y aura d’unités dans l’ordre de cette équation, et que, de quelque manière qu’on parvienne à cette équation , et sous quelque forme qu’elle se présente, elle sera toujours essentiellement la même. Ainsi le problème de trouver l’équation dérivée d’une primitive donnée, est résolu dans toute sa généralité. Nous allons considérer maintenant le problème inverse , N qui console à remonter des équations dérivées aux primitives.

Il est d’abord évident que , puisque dans les équations à deux variables , une équation du premier ordre peut renfermer une constante XII/ Cahier. * Q

de moins que 1’équaiion primitive , une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins que l'équation primitive, et ainsi de suite ; il s’ensuit réciproquement^que l’équation primitive peut contenir une constante de plus qu’une équation du premier ordre , deux constantes de plus qu’une équation du second ordre , et ainsi de suite; constantes qui seront , par conséquent , arbitraires : et on voit , en même temps , qu’elle ne saurait en contenir davantage , puisqu’on ne pourrait les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.

Cette proposition étant d’une grande importance dans la théorie des fonctions dérivées , et n’ayant pas encore été démontrée d’une manière tout-à-fait rigoureuse, nous croyons devoir en donner une démonstration directe, tirée de l’expression générale de la fonction primitive.

Si y est une fonction quelconque de x, et qu’on dénote par y°, y 0 ", y°", y 0 "', &c. les valeurs de y et de ses fonctions dérivées y', y", y"', &c. , qui répondent à x = o, et qui sont par conséquent constantes, on aura, par ce que nous avons démontré à la fin de la leçon neuvième,

et si on veut arrêter la série au terme n‘"“ , alors on aura les limites du reste, en substituant dans 16 terme suivant

à la place de y° (a ), la plus grande et la plus petite valeur de y° (V depuis x = o jusqu’à la valeur qu’on veut attribuer à x.

Maintenant, si la valeur de y est donnée par une équation du premier ordre, entre x, y et y', on aura, par cette équation, la valeur dey' en x et y; et de là on trouvera, en prenant les fonctions dérivées, une équation du second ordre en x,y, y' et y", ensuite une équation du troisième ordre entre x, y, y' ; y" et y"'/ et ainsi de suite; de sorte qu’en substituant successivement dans ces équations, les valeurs de y', y",y , &c. , données par les équations précédentes, on aura, en dernière analyse, les valeurs de y', y", y", &c. , exprimées en x et y. Or, en faisant x = o , les quantités y, y’, y, &c., se changeront

en y 0 , y°\ y°", &c.; ainsi on aura les valeurs Je y 0 ', y°", 8ic . , exprimées en y°. qui demeurera indéterminée.

De même, si on n’a pour la détermination de y, qu’une équation du second ordre entre x, y, y' et y“, on en tirera successivement des équations des ordres supérieurs entre x, y, y', y ", y"'; entre x, y, y' , y", y"', y"", et ainsi de suite ; et par les substitutions successives des valeurs de y, v", &c., données par les équations précédentes, on aura , en dernière analyse, y“, y m , &c.,' données en x, y et y'; de sorte qu’en faisant x — o , on aura les valeurs de y°“, y""' , & c., exprimées en y° et y°', ces deux quantités demeurant indéterminées ; et ainsi de suite.

Donc enfin , faisant ces substitutions’ dans l’expression générale de y en x, il est clair qu’il restera dans cette expression une indéterminée constante y°, lorsque la fonction y sera donnée par une équation du premier ordre; qu’il y restera deux constantes indéterminées y° et y', lorsque y ne sera donnée que par une équation du second ordre' qu’il y en restera trois , savoir, y°, y 0 ' et y°“, lorsque y sera donnée par une équation du troisième ordre; et ainsi de suite.

Donc, en général, l’expression de y en x, renfermera autant de constantes indéterminées qu’il y aura d’unités dans l’exposant -de l’ordre de l’équation qui détermine la fonction y; et quoique cette conclusion soit fondée ici sur la théorie des séries, il nest pas difficile de se convaincre qu’elle doit avoir lieu généralement , quelle que soit l’expression de y, puisqu’on peut tqnjours regarder une expression en série, comme le développement d’une expression finie.

Dans l’analyse précédente, on voit que les constantes arbitraires sont toujours les valeurs de y, y', y" , &c. , qui répondent à x — o , au lieu qu’en envisageant, comme nous l’avons fait plus haut, les équations dérivées comme le résultat de l’élimination des constantes , ces consr tantes peuvent être quelconques ; mais il est toujours facile de les réduire les unes %ux autres : car , quelles que soient les constantes qui entrent dans l’expression, de y, si on déduit de cette expression celles de y', y " , Si c. , et qu’ensuite on fasse x — o , ce qui changera les

valeurs tle y, y', y", Sac. en y°, y 01 , y°" , Sic. on pourra toujours , en prenant autant de ces valeurs qu’il y a de constantes arbitraires , déterminer celles-ci en y 0 , y°\ y°". Sac. , et les substituer ensuite dans l’expression générale de y.

Or , quelle que puisse être la forme de cette expression ou de l’équation d’où elle dépend , à raison des différentes constantes qui y seront contenues, il est visible que lorsque ces constantes seront réduites aux valeurs de y°, y°', y°", Sac. , cette forme deviendra nécessairement la même pour la même équation dérivée.

On peut dc^p conclure en générai que , si l’on a une équation dérivée d'un ordre quelconque, et que l’on trouve, de quelque manière que ce soit , une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse , et qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y aura d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation dérivée , cette équation sera l’équation primitive de la proposée, avec toute la généralité dont elle est susceptible; de sorte qu’elle renfermera nécessairement toute autre équation qui pourrait aussi satisfaire à la même équation avec autant de constantes arbitraires.

On voit par là que les constantes arbitraires forment proprement la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées ; celles-ci sont , par leur nature , plus générales que les équations d’où elles dérivent , à raison des constantes qui ont disparu , ou qui peuvent avoir disparu ; elles équivalent donc à toutes les équations primitives qui ne différeraient entre elles que par la valeur de ces constantes.

On pourra donc toujours passer d’dhe équation primitive à une de ses dérivées d’un ordre quelconque , et revenir ensuite de celle-ci à une nouvelle équation primitive , pourvu que cette dernière opération y introduise le nombre requis de constantes arbitraires. Alors cette dernière équation renfermera la première et lui deviendra équivalente , en déterminant convenablement ses constantes arbitraires. C’est ainsi qu’on en a usé dans la leçon précédente, pour la transformation des fonctions angulaires.

Comme nous avons vu qu’une équation du second ordre peut provenir de deux équations différentes du premier ordre , renfermant

chacune une conslante arbitraire; qu'une équation du troisième ordre peut être dérivée de même de trois -équations différentes du second, et ainsi de suite , il est naturel d’en conclure aussi réciproquement que toute équation du second ordre aura deux équations primitives du premier ordre, chacune avec une constante arbitraire; que toute équation du troisième ordre aura trois équations primitives du second ordre, ayant chacune une constante arbitraire ; et ainsi de suite. Mais nous pouvons démontrer aussi cette proposition d’une manière directe, par une analyse semblable à celle que nous avons employée ci-dessus.

Considérons la formule générale du développement des fonctions

/ (* -+- i) = fx - 4 - i fx -H f'x -+- Sic. .

Faisons y -=z fx et / = — x , on aura

fx — y. fx = y', f'x = f, &c.;

et f (x -t- i) deviendra /Y* — x), c’est-à-dire, égale à la valeur de fx ou y, lorsqu’on y fait x = o , valeur que nous avons désignée plus haut par y°. Ainsi , par ces substitutions , on aura cette formule

Changeons maintenant dans la formule générale fx en f'x, et l’on aura de même

/' (x i) = f'x -4- ifx ~ fx -t- Sic.

Donc, faisant de nouveau

fx = y, f’x = /, f’x — y", Scc., et i — — x; ce qui donnera

valeur de fx. ou de y', lorsque x o , que nous avons désignée par y 0 ', on aura cette autre formule

On trouvera, de la même manière,

“ -t * nu

y" — y — xy -t- 1 Et ainsi de suite.

Cela posé, si y est donnée par une équation du premier ordre, on aura la suite des valeurs de y', y“ , y'", &c. toute donnée en x et y, comme on i’a vu 'plus haut. Donc, substituant ces valeurs dans la formule *

xy

x // x rti q

on aura une équation entre x et y avec la constante arbitraire y 0 .

Si y est donnée par une équation du second ordre, on aura y“ , y"' , y"", &c., données en x, y et y' ; donc, substituant ces valeurs dans les deux formules •

y 0 ' = y' - xy” — t— — y'" - — /■

on aura deux équations en x, y et y', ayant chacune une des constantes arbitraires y° et y°' , lesquelles seront également deux équations primitives du premier ordre de la proposée du second ordre; et ainsi de suite.

Quoique ces équations soient en séries , les conclusions qu’on en peut tirer relativement à la nature des équations primitives, n’en sont pas moins exactes; et il est visible, par la forme même de ces équations, quelles sont essentiellement différentes , et qu’il ne peut y en avoir qu’un nombre égal à celui de l’ordre de l’équation donnée.

On en conclura donc aussi que, si pour une équation du second ordre , on trouve , d’une manière quelconque , deux équations différentes du premier ordre qui y satisfassent, et qui renferment chacune une constante arbitraire , on aura les deux équations primitives du premier ordre de la proposée ; et toute autre équation de cet ordre qui y satisferait avec une constante arbitraire, sera nécessairement renfermée dans celle-ci.

Ces deux équations primitives étant connues, on pourra toujours en déduire l’équation primitive absolue , sans fonctions dérivées , en éliminant par leur moyen la fonction dérivée qu’elles contiendront , et qui est censée être la même dans les deux équations.

L’équation résultante ne contenant plus de fonction dérivée, sera l’équation primitive absolue de la proposée du second ordre ; et comme les deux constantes arbitraires qui entraient dans les deux équations primitives du premier ordre , se trouveront dans cette équation , elle aura toute la généralité dont elle ^Susceptible.

Donc, ayant une équation du second ordre, on aura également son équation primitive absolue, soit qu’on trouve immédiatement une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse , et qui renferme en même temps deux constantes arbitraires, soit qu’on trouve séparément deux équations du premier ordre qui y satisfassent chacune en parti T culier, et qui renferment chacune une constante arbitraire.

Mais, si l’une de ces deux équations du premier ordre ne contenait point de constante arbitraire , alors l’équation primitive qu’on en déduirait , ne contenant qu’une seule constante arbitraire, n’aurait pas toute la généralité quelle peut avoir ; mais elle satisferait toujours à l’équation du second ordre, d’où on l’aurait tirée, en même temps qu’elle satisfera aux deux du premier ordre.

. Il s’ensuit encore de là, que, si l’on a une équation du premier ordre, et qu’on en déduise, d’une manière quelconque, une équation du second ordre , soit en éliminant une constante ou non , qu’ensuite on trouve une autre équation primitive du premier ordre, avec une constante arbitraire, on pourra, par l’élimination de la fonction dérivée qui se trouve dans les deux équations du premier ordre , avoir une équation entre les deux variables et la constante arbitraire, qui sera, par conséquent , l’équation primitive absolue de la proposée du premier ordre.

En général , si de la proposée du premier ordre on passe à une équation d’un ordre supérieur , et si on trouve, d’une manière quelconque, une équation primitive de celle-ci d’un ordre inférieur avec une constante arbitraire, ou pourra toujours, par l'élimipatioa successive

des fonctions dérivées, parvenir à une équation entre les deux variables et ia constante arbitraire, laquelle sera ainsi l’équation primitive de la proposée. m

Enfin , on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au second , ce que nous venons de trouver relativement à celles de cet ordre, et en déduire des conclusions semblables.