LEÇON TREIZIÈME

I Continuation de la leçon précédente. ]

Théorie des Multiplicateurs des Équations dérivées.

La manière la plus naturelle de trouver i’équaiion primitive d’une équation d’un ordre quelconque, est de la préparer de façon que son premier membre devienne une fonction dérivée exacte; car alors il n’y aura qu’à prendre sa fonction primitive et y ajouter une constante p»ur avoir l’équation primitive d’un ordre inférieur ; et en opérant ainsi successivement , on pourra parvenir à l’équation primitive entre les deux variables , et autant de constantes arbitraires que l'ordre de ia proposée ie comportera. •

Or, je vais prouver que cette préparation est toujours possible par le moyen d’un multiplicateur , lorsque l’équation dérivée de l’ordre n fit réduite à la forme

/"■* -+- /■ • -y fM ~ l) ) — o.

y étant la plus haute des fonctions dérivées de y.

D’un côté, il est clair que- cette réduction est toujours possible ou censée possible, quelle que soit la forme de l’équatian proposée; car il 11’y a qu’à en tirer 1 a valeur de y'"-' en x, y, y', y, &c. , par les règles connues.

De l’autre côté, nous avons déjà observé plus haut que, quelle que puisse être l’équation primitive de l’ordre immédiatement inférieur, si on dégage la constante arbitraire, et qu’on prenne ensuite les fonctions

dérivées,

férivces , on a une équation dérivée où la plus haute des fonction» dérivées dé y ne sera qu’à la première dimension, et qui devra, par conséquent, être identique avec la proposée.

Ainsi, ayant réduit l’équation primitive à la forme

où a est la constante arbitraire , on aura l’équation dérivée ^

laquelle, en séparant la partie qui se rapporte à la variation dey'"' d’après la notation abrégée indiquée dans la leçon sixième, peut se mettre sous la forme

d’où l’on tire

Comme la constante a a disparu , cette équation devra être identique avec l’équation proposée, puisque la valeur de y <n) doit être la même dans les deux équations. Donc la fonctiort f (x, y, y . . •y ( *~~ ’ J ), sera* identique avec la fonction .

Ajoutant de paît et d’autre fa quantité y (n> , !• fonction

deviendra identique avec ‘la fonction

c’est-à-dire, avec la fonction

X/I.' Cahier.

Donc l’équation

H- (x, y, /.*../* "'V = o, étant multipliée par la fonction F' (y (n ~ ,} ), deviendra F'(x,y, = o;

en sorte que son premier membre sera une fonction dérivée exacte. (j^Ainsi il existe toujours* une fonction d’un ordre inférieur à celui de l’équation proposée , par laquelle cette équation étant multipliée , son premier membre devient une fonction dérivée exacte.

Comme cette proposition est fondamentale, et donne lieu à des conséquences importantes, nous allons la considérer sous un point de vue plus étendu.

Soit F (x,y, a) = o,

l'équation primitive de la même équation dérivée

a étant la constante arbitraire.

Par la théorie générale on aura l’équation dérivée de la primitive supposée, en éliminant a au moyen de l’équation

et de sa dérivée

F'(x.y./...yf-'>) = o,

a étant regardée comîne constante.

deviendra identique avec

en substituant ici à la place de a, sa valeur en x, y>/, &c.,y r * ~ ^ tirée de l’équation primitive.

Considérant donc a comme une pareille fonction déterminée par l’équation primitive ,

F ( x , y. /. . .y (K ~ x> , a) = o , on aura, pour la détermination de a', l’équation dérivée F' (x/y. y'...yf-'>:a) = o.

laquelle , en séparant Ja partie qui se rapporte à a’, suivant la notation employée ci-dessus, devient

d’ou l’on tire . ,

- a =? — rjF) — =t> * y Jl* ■

équation qui sera identique en substituant pour a sa valeur en x, y, &c. Si donc on multiplie l’cquation

par la fonction — ^ , ^ - , son premier membre deviendra une fonc*-

tion dérivée exacte, dont la fonction primitive sera — a, en supposant a déterminé par l’équation

On est donc assuré, de cette manière, de l’existence d’un multiplicateur qui peut rendre le premier membre de l’équation proposée une fonction dérivée exacte.

' La même équation identique nous fait voir aussi que ce multiplicateur n’est pas le $eul qui jouisse de cette propriété , et nous donne en même temps le moyen de trouver tous les multiplicateurs qui auront la même propriété ; car il est évident que le premier membre .de l’équation devenant égal à- — a', il sera toujours une fonction dérivée exacte, étant multipliée p$r une fonction quelconque de a, et qu’il ne pourra l’être qu autant que le multiplicateur ne contiendra que a. Donc le

second membre deviendra aussi une fonction dérivée exacte , étant multiplié par une fonction quelconque de a. «

D’où il est aisé de conclure que la formule générale de ce multiplicateur sera •

<pa dénotant une fonction quelconque de a , et la quantité a étant une fonction de x, y, y’, &c., déterminée par l'équation primitive

a étant ici la constante arbitraire; car le premier membre de l’équation proposée de l’ordre deviendra, par la multiplication de la formule précédente* identique avec la quantité — a $ a; de sorte, qu’ert dénotant par la fonction primitive de a'tyti, on aura tout de suite l’équation primitive = const. ; d’où l’on tirera aussi a — const. Or, a étant ici la fonction de x, y, /, &c.,y r " — ,J , qui résulte de l’équation.

il est visible què l’équation <pa =z const. n’est autre chose que cettfc même équation dans laquelle on suppose que a devient une constante arbitraire. " »

Ainsi, lorsqu’une équation dérivée de l’ordre est réduite à la forme •

H -/ (*,}././■..?—■>} = o, chaque équation primitive de l’ordre a — i , avec une constante arbitraire, fournit une infinité de multiplicateurs , tous renfermés dans une même formule, lesquels peuvent rendre le premier membre de l’équation une fonction dérivée exacte, et redonner la même équatipn primitive.

Si l’équation proposée n’est que du premier ordre, il n’y a alors qu’une seule équation primitive ; et par conséquent , il n’y aura aussi qu’une seule formule de multiplicateurs.

Si l’équation proposée est du second ordre , nous avons démontré qu’elle est susceptible alors de deux différentes équations primitives du

premier ordre ; chacune d’elles donnera donc une formule particulière de multiplicateurs ; mais on pourra aussi renfermer ces formules dans «une formule plus générale encore.

Car soit y" -H / (*, J,/) — o,

l’équation proposée du second ordre, dont les deux équations primitives du premier ordre Soient *

a et b étant les deux constantes arbitraires;

En regardant ces deux quantités a et b comme des fonctions de \,y, /, déterminées par ces mêmes équations, on trouvera, par l'analyse exposée ci-dessus, les deux équations identiques

F‘(aj —

Loy = *

. Soit maintenant $ (a, b) une fonction quelconque *dç a, b, sa fonction dérivée (a, b/' sera représentée par a' <P' (a) — j— b’ O' (b)\ de sorte qu’en multipliant la première des équations précédentes par $>'(&), la seconde par 4>' (b), et les ajoutant ensemble, on aura

On aura ainsi cette formule générale pour le multiplicateur de l’équation proposée

en supposant a et b déterminés par les deux équations

et le premier membre de l'équation deviendra alors — 4> (a, b); de sorte que l’on aura sur-le-champ l’équation primitive <X> (a, b)=. coost.

De même, sî on prend une autre fonction quelconque de a et l, représentée par ^ (<*> b) , on en tirera de même l’équation primitive 4 (a, h) = const. „ .

Ces deux équations donneront donc a et b égales à des constantes , quelles que soient les fonctions désignées par les caractéristiques <P et 4'» ce qui redonnera les mêmes équations primitives d’où l’on était parti; 3’où l’on voit comment ces équations se trouvent indépendantes 'des fonctions arbitraires qui peuvent entrer dans les multiplicateurs. •

On peut appliquer cette théorie àitx équations dérivées des ordres supérieurs au second, et en tirer des conclusions semblables.

On peut donc toujours trouver la forme générale des multiplicateurs , lorsqu'on connaît les équations primitives ; mais comme ces multiplicateurs fournirent eux-mêmes un moyen de parvenir aux équations primitives , il serait important de pouvoir les trouver à posteriori, d’après les équations dérivées. .Euler, et d’autres’ après lui, se sont occupés de cette recherche ; mais c’est un de ces problèmes dont on ne saurait espérer une solution générale.

Pour donner un exemple de ce que nous venons d’exposer, prenons l'équation du second ordre »

xy — / = o ,

que nous avons trouvée plus haut. J’observe d’abord que, dans l’état •où. elle est, son premier membre est déjà une fonction dérivée exacte ; car, puisque ,

(xy')' = xy -+- /, on a xy = (xy'/ — y'; de sorte qu’on peut la mettre sous la forme

(xy')' - 2 / = o; .

d’où l’on tire, sur-Ie-dytmp , l’équation primitive du premier ordre xy' — îy -4- A == o,

A étant une constante arbitraire.

Pour avoir l’équation primitive de celle-ci , je cherche un multiplicateur qui rende son premier membre une fonction dérivée exacte; et

îl est facile de voir que cela aura lieu eu divisant l’équation par x\;

de sorte que le multiplicateur sera — .

En effet elle devient par là

et la fonction primitive du premier membre est

de sorte qu’on aura l’équation primitive y ' A

savoir, en multipliant par x * , y -f- B x*

B étant une nouvelle constante arbitraire.

Cette équation contenant ainsi deux constantes arbitraires, A et B , sera l’équation primitive complète de l’équation proposée du secdnd ordre; et on voit\ en effet, qu’elle coïncide avec l’équation

d'où la proposée avait été dérivée , puisqu’il n’y a qu’à la diviser par B, et faire

et —

Mais, au lieu de chercher, comme on vient de le faire, l’équation primitive de la primitive du premier ordre, on peut chercher une autre équation primitive de la proposée ; et pour cela , j’observe que la fonction dérivée de x "'y'* est

mx m ~~ ‘ y'" -f- ~ ’/ = x m (my' -H nxy);

ainsi la proposée étant

xy — y = o , . . •

on voit qu’en faisant m = — 1 , «= 1 , son premier membre deviendra une

fonction dérivée exacte étant multiplié par x*~ *, ou^ — — ; et l’on aura la nouvelle équation primitive

JL — j B = o.

Combinant donc cette équation avec l’équation x/ — 2y -+- A = o,

trouvée précédemment, pour en éliminer y, on aura l’équation en x et y — B x 1 — 2 y — t— A — o,

qui, à raison des deux constantes arbitraires A et B , sera aussi l’équation primitive complète de la proposée. En effet , elle se réduira à la même foMne

étant divisée par — B, et faisant

Nous allons maintenant chercher les caractères généraux par lesquels on peut reconnaître si une fonction donnée de x, y, y' t y ", &c. , est une fonction dérivée exacte. Ce problème est, comme l’on voit, nécessaire pour la recherche des multiplicateurs; mais il l’est aussi pour d’autres recherches d’analyse. Les géomètres s’en sont beaucoup occupés, presque au moment de la naissance du calcul différentiel; et ils sont enfin parvenus à une solution générale. La méthode par laquelle nous allons le résoudre, mérite particulièrement leur attention, parce qu’elle est applicable à toutes les questions du même genre.