LEÇON QUINZIÈME

Des Valeurs singulières qui satisfont aux Équations dérivées, et qui

ne sont pas comprises dans les Equations primitives. Théorie des

Équations primitives singulières.

La théorie des équations dérivées, exposée dans la leçon douzième, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée, doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible, par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. 11 y a néanmoins des équations dérivées auxquelles satisfont des valeurs que j’appelle singulières, parce qu'elles ne sont pas comprises dans leurs équations primitives. Ces sortes de valeurs se sont présentées aux géomètres presque dès la naissance du calcul différentiel ; mais comme la théorie des constantes arbitraires n’était guère connue alors, on n’a pas d’abord regardé ces valeurs comme formant une exception aux règles générales du calcul différentiel. Euler est le premier qui les ait envisagées sous ce point de vue et qui ait donné des règles pour les distinguer des intégrales ordinaires.

Depuis, on a reconnu qu’elles dépendent de la théorie générale des équations différentielles ou dérivées, et qu’elles servent à la compléter; c'est ce que nous allons développer avec toute l’étendue qu’exige l’importance de la matière.

Considérons une équation quelconque du premier ordre , représentée par / (x. y.y'J =: o, et supposons quelle soit dérivée de l’équation primitive F(x, y, a) — o, a étant la constante arbitraire.

Suivant la théorie générale, cette équation F (x,y, aj — o, donnera . l’équation dérivée F' (x, y, a) = o, qui se réduit à la forme

F'(x) +fm(y)-a,

conformément à la notation que nous avons employée jusqu'ici; et ces deux équations étant combinées ensemble , de manière que la constante a disparaisse, produiront l’équation f(x, y, /) = o.

Maintenant il est clair que le résultat de l'élimination de et, sera le même, quelle que soit la quantité a, soit constante ou variable, pourvu que les deux équations F (x,y, a) = o, et F' (x) -+-/ F' (y) r= o, soient les mêfnes. Donc aussi la même équation y,y')-=^.o, pourra résulter de l’équation F (x, y, a) ■=. o, en supposant a variable et fonction de x, pourvu que l’équation dérivée F' (x, y, a) rr: o, soit également F' (x) -+- y' F ' (y) — o.

Mais, en regardait a comme une fonction de x, on a . , • F' (x, y, a) = F' (x) / F' (y) -+- FF' (a);

ainsi la condition dont il s’agit aura lieu si le terme J F' (a) disparaît ; d’où il s’ensuit que la valeur dey, tirée de l’équation primitive F(x, y, a) o, satisfera également àJ’équation du premier ordr ef(x, y, /) = o. en prenant pour a une fonction de x déterminée par l’équation a' F' (a) = o.

Cette équation donne ou a' r= o , ou F' (a) = o. L’équation a' = o, donne a égal à une constante quelconque; c’est le cas de l’équation primitive ordinaire, dans lequel a est la constante arbitraire.

Mais l’autre équation F' (a) = o, dans laquelle F ' (a) est une fonction de x, y et a, donnera, par la résolution, la valeur de a en xcty; et cette valeur étant substituée dans l’équation primitive F (x ,y, a) = o , on aura une nouvelle équation en x et y, sans constante arbitraire, qui conduira également à la même équation dérivée, et qui sera nécessairement différente de l’équation primitive ordinaire., puisque dans celle-ci la quantité a est une constante arbitraire, et que dans l’autre elle devient une fonction de x et y.

Donc, en général, si on élimine a des deux équations F (x, y, a) = o, et F' (a) = o,

on anra l’équation qui renfermera les valeurs singulières de y, qui

peuvent satisfaire à l'équation ^érfc'ée f (x, y, y') = o, dont F(x,y, a) — o est l’équation primitive ordinaire.

Nous appellerons cette équation , équation primitive singulière , pour la distinguer de l’équation primitive ordinaire, que nous appellerons aussi équation primitive complète.

Il faut seulement remarquer que , comme l’essence de cette équation consiste en ce que la valeur de a est une fonction variable, si l’équation F' (a) — o, par laquelle on doit déterminer a, donnait pour a une quantité constante, ou bien une telle fonction de x et y qui devînt égaie à une constante en vertu de l’équation F (x, y, a) z=. o, dans laquelle on doit substituer cette valeur de a, ou qui, dans cette substitution , donnât le même résultat qu’on aurait par une valeur constante de a, alors cette équation cesserait d’ctre une équation primitive singulière , et ne serait plus qu’un cas particulier de l'équation primitive ordinaire.

Nous avons trouvé (leçon xii.*) que l’équation du premier ordre / / (x* —H / — b) — y/ — * — o, a, pour équation primitive,

x 1 — 2 a y — a 1 — b zzz o, où a est la constante arbitraire. Faisant donc

et prenant les fonctions dérivées de tous les termes relativement à a seul, on aura F' (a) = — 2 y — 2 a; donc l’équation F’ (a) = o donnera, a rr= — y, valeur qui , étant substituée dans l’équation primitive , donne .v* -4- y 1 — b = 0 , équation qui satisfait également à l’équation du premier ordre.

En effet, cette équation donne

y* — b — a*, et y y' — — x ; ces valeurs substituées dans l’équation

la rendent identique.

Comme on sait, par la théorie des équations, que l’équation dérivée F' (a) = o , relative à a, contient la condition qui rend égales deux des racines de l’équation F(x,y, a) — o, ordonnée par rapport à a , il s’ensuit que la valeur singulière de y , dans cette équation , a la propriété de donner à l’équation en a une racine double.

On voit, en effet, que l’équation a * -f- 2 a y — x * -t- l o acquiert une racine double, en faisant y 1 rz b — ,v\

Si l’équation primitive était

(x % - 4 - y' — b J ( y 1 — 2 a y ) ( x * — b) et 1 = o ,

a étant la constante arbitraire, l’équation dérivée relative à a serait

d’où l’on tire

valeur qui, étant substituée dans la proposée, donne

et par conséquent, x 1 -f- y * — i — o pour l’équation primitive singulière.

Mais , comme cette équation rend la valeur même de a raille , il s’ensuit quelle ne sera qu’un cas particulier de l’équation primitive; en effet , elle résulte de celle-ci , en y faisant a z= o.

Si l’on tire la valeur <le a de l’éqtiation proposée , on a

d’où l’on voit que l’équation x 1 -f- y x — b — o rend les deux racines de a égales ; ainsi on ne peut pas dire que toute valeur de y, qui donnera des racines égales à l’équatioo en a, sera une valeur singulière.

On peut appliquer aux équations des ordres supérieurs au premier, la théorie que nous venons de donner £ur les équations dérivées de cet ordre. -

x 66 ANALYSE.

En effet , si

est l’équation primitive Je l’équation dérivée de l’ordre n ,

a étant la constante arbitraire, celle-ci doit résulter de l’élimination de a entre l’équation primitive et son équation dérivée ; et il .est évident que le résultat de cette élimination sera le même, soit que la quantité a soit constante ou variable, pourvu que les deux équations soient de la même forme.

Or l’équation primitive

est la même dans l’un et dans l’autre cas : son équation dérivée est dans le cas de a constante

et dans le cas où a serait une fonction quelconque de x, elle sera

donc les deux équations deviendront identiques si on détermine a de manière que le terme a' F' (a) disparaisse.

Faisant donc J F' (a) =o, on a ou a' z=z o, et par conséquent a égal à une constante, ce qui est le cas ordinaire; ou F' (a) — o, ce qui donnera une valeur de a en x et y, laquelle étant substituée dans l’équation primitive F(x,y,y ' . . -y 1 * - ‘K a) — o, donnera une équation du même ordre, qui satisfera également à la dérivée f (x,y,/...y " J ) = o : elle pourra donc être regardée aussi comme une équation primitive de celle-ci ; mais ce sera une équation primitive singulière sans constante arbitraire.

.L'équation du second ordre

a, pour équation primitive du premier ordre.

comme on peut s’en assurer en éliminant a au moyen de son équation dérivée x — a y" z= o. •

Si on prend l’équation dérivée relativement à a, on a — y' a= o; d’où l’on tire a =■/> valeur qui, étant substituée dans la même équation , donne celle-ci, x* — y' 1 = o; d’où y' z=z z±: x.

Cette valeur de y' satisfait aussi à l’équation proposée ; mais c’est une valeur singulière , puisqu’elle 11’est pas contenue dans l’équation primitive. £

Si on cherche l’équation primitive de l’équation du premier ordre x 1 — 2 a y' — t— a x ~ o , il est facile de trouver celle-ci :

où b est la nouvelle constante arbitraire. 4

Si maintenant on élimine a de ces deux équations, on aura celle-ci :

qui sera , par conséquent , l’autre équation primitive du premier ordre de la proposée.

On peut donc aussi chercher une équation primitive singulière, d’après cette équation-ci , en prenant son équation dérivée relativement à b , et l’on trouvera

d’où l’on tire

Substituant cette valeur dans l’équation précédente , elle devient

Cette équation donne ces deux-ci :

y — x y’ =0, et x* — /* = o.

La première ne satisfait pas à la proposée, car elle donne / = — ; et

'Je là / = ^ 4-