XX
La seconde donne / — z±z x ; c’est la même que nous avons trouvée ci-dessus.
Ainsi les deux équations primitives du premier ordre ne donnent que la même équation singulière.
il serait cependant naturel de penser que des équations primitives différentes pourraient donner aussi différentes valeurs sing(®ères ; mais nous allons démontrer a priori que l’on a toujours la même équation primitive singulière , de quelque équation primitive qu’on la déduise ; ce qu’on ne savait pas jusqu’ici.
Considérons une équation du second ordre, représentée en général par /Y*, y, y', y") zz: o, et dont l’équation primitive entre r et; soit F (x, y, a, b) zz: o, a et pétant les deux constantes arbitraires.
Par la théorie générale, ôn aura ses deux équations primitives du premier ordre, en éliminant a ou b , par le moyen de cette même équation. et de sa première équation dérivée F' (x,y) z=. o, a et b étant ici regardées comme constantes.
Conime la fonction dérivée F '(x, y) renferme, outre les constantes a et b, la fonction y', désignons-la par <?> (x.y, y’, a, b).
Ainsi on aura les deux équations primitives du premier ordre , en substituant alternativement, dans la même équation (x,y, y', a, b) — o, la valeur de b en x, y, a, et la valeur de a en x, y et b, tirées de la même équation F (x, y, a, b) — o.
Ensuite on aura les équations primitives singulières, en éliminant a de la première, par le moyen de son équation dérivée, prise relativement à a, et en éliminant b de la seconde par le moyen de son équation dérivée prise relativement à b.
Considérons d’abord, dans l’équation Ç> (x, y, y', a, b) = o, la quantité b comme une fonction de x, y, a , déterminée par l’équation F (x, y, a, b) = o, son équation dérivée prise relativement à a, sera
eu
ANALYSE. ' 1 6 g
* çn supputât que b' soit la fonction dérivée de b prise relativement à a : or, comme b est une fonction de a, déterminée par l’équation F (x, y, a, b) = o, on aura la valeur <\e .b' , en prenant la dérivée de cette équation , par rapport à a ; on aura ainsi
Si maintenant on élimine U de cps- deux équations, on a Cf' (a) x F' (b) — Cf' (b) x F' (a) = o.
Cette équation, étant combinée avec les deux
F (x, y, a, b) = o et Cf) (x, y, y', a, h) — o,
donnera, par l’élimination de a et b, l’équation singulière résultant de 1 éqùation ‘dérivée relative à a.
En regardant de môme a comme fonction de b dans i’équation <J> (x, y, y’, a, b) = o, on. aura également l’équation dérivée, relative à b,
* a' Cf' (a) H— *Cf' ( b) = o ,
et la valeur de a' dépendra alors del’équatiofl dérivée, relativement à b, a' F' (a) -4- F' (b) = o;
de sorte que, par l’élimination $€ a', on aura pareillement Cf' (a) x F (b) — Cf' (b) x. F (a) = o.
Ainsi Inéquation primitive singulière résultant de l’équation dérivée relative à b, sera encore le résultat de l’élimination de a et b, par le moyen de l’équation précédente et des équations
Donc ce résultat sera le môme dans les deux cas, puisque les équations sont fès mêmes.
Il s’ensuit de là qu’on peut trouver directement l’équatibn primitive singulière d’une équation du second ordre , au moyen de son équation primitive complète, sans connaître en particulier les deux équations primitives du premier ordre ; car , soit F (x, y, a, b) =±: o aette équation , Xll.' Cahier. Y
où a et b sont les deux constantes arbitraires , il n'y aura qu’4 éliminer a, b et U , au moyen des quatre équations
F ( x , y, a, b) ri: o, (x, y, /, a, b) — o F' (a) -+- b' F' (b) — o, 4 ' N -H W(S) — o.
en supposant .
O11 peut ‘appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si
est supposée être l’équation primitive en x et y, et les trois constantes arbitraires a, b, c, d’une équation dérivée du troisième ordre, les trois équations primitives du second ordre donneront mie même équation primitive singulière de ce même ordre , qui ne sera que le résultat de l’élimination de a, b, c et de b', c', au moyen de ces six équatjpns,
F' (a) -+- VF' (b) dF' (c) = o,
en supposant
et ainsi de suite.
Ainsi l’équation du second ordre
xy y
ayant, comme on l’a vu ci-dessus, pour éqtiation primitive entre x et y, j équation
— — 2 ay — f- a x -{- b rrr o,
où a et b sont les constantes arbitraires, on aura tout de suite l’équation primitive singulière - du premier ordre, eu combinant cette équation avec son équation dérivée ordinaire , et avec les deux dérivées de celles-ci , prises par rapport à a, et en regardant b comme fonction de x, y, y' et a, de manière que les quantités a, b, et b' disparaissent.
Pour donner plus de généralité à cet exemple , en conservant la constante b dans l’équation dérivée , je donnerai d’abord à l’équation primitive, la forme
et j’aurai pour sa dérivée • 2 x —
Prenant maintenant les dérivées de i’une et -de l’autre relativement à a, il viendra •
b étant supposé fonction de a.
JLn éliminant d’abord b', on a — — — — = o, ce qui donne a =y' : les deux premières donnent ensuite, en éliminant b, 3 x ÜL=±:o;
substituant la valeur de a, il vient 3 x ss o, ou =o,
comme plus haut.
Soit encore l’équation du second ordre
y — xy -H — y — (y — xy ) —y = o, dont l’équation primitive en x et y, est ►
y x* — bx — y — b 1 — o.
Si on élimine tour-à-tour a et b de cette équation , au moyen de son * Y a
rquation dérivée y — ax — b — o, on a ces deux-ci, y -f- (— a) x 1 — (\ — 2a) x/. — a — /‘ — o.
Eli prenant l’équation dérivée de la première relativement à a, on a (— — 2a) x 1 -H- ixÿ — 2a — o;
d'où résulte
valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne
De même l’équation dérivée de la seconde relativement à b , sera * , *(*-/)
d’ou Ion tire
• et la substitution de cette valeur donnera
ay - »>/ •
ces deux équations reviennent au même, car elles se réduisent l’une et l’autre à celle-ci ,
qui est, par conséquent, l’équation primitive singulière, de la proposée du second ordre.
On aura le même résultat en éliminant immédiatement a, b ,et V , au moyen de l’équation primitive
de sa première dérivée
y — 'ix — l z^z o,
et des deux dérivées dç celles-ci, par rapport à a ,
Ces deux-ci donnent, en éliminant b',
-7- — 2 a — fx — 2 b) x = o.
Et* combinant celle-ci avec la seconde, on trouve
et ces valeurs étant substituées dans la première, il Yient
comme ci-dessus.
Si, de l’équation 'primitive
F (x, y, /. . ■y (C ~' ,) d) = o, on tire la valeur de <s en fonction de
et qu’on la désigne par
il est clair qu’en substituant cette fonction à la place de dans fiv même équation, elle deviendra nécessairement identique ; par- coasé q ueni ses équations dérivées* relatives A
«en particulier, auront lieu aussi.
On aura donc
, Digifoe
où j’ai conserve, sons le signe F', la lettre a V(x, y, y'.. ./*- >J ).
De là on aura
à la place de sa valeur •
Donc, puisque la quantité F' (a) devient nulle dans le cas de l’équation primitive singulière, il s’ensuit que, dans ce même cas, les valeurs de (x), $ (y), (/), &c. jusqu’à (y( n ~ ' >) deviendront
chacune infinie.
Ce caractère fournit aussi un moyen général de trouver l’cquation primitive singulière; et ce moyen est sur-tout utile, lorsque l’équation primitive est sous la forme
* (x.jr,/. '■ >) =
laquelle paraît échapper à la règle générale établie* ci-dessus ; car on aurait ici
et de là F' (a) z= — i ; d’où l’on ne pourrait rien conclure relativement à l’équation primitive singulière.
Ij faut néanmoins observer que , quoiqu il «oit vrai que 1 équation primitive singulière rend <È>' (x), (y), ^ (y'), &c. infinis, on n’en
doit pas conclufe que toute équation qui rendra ces quantités infipies, sera une équation primitive singulière; il faudra de plus, que cette équation ne rende pas la fonction <1> (x , y, y' . . .) égale à une constante; car elle ne serait alors qu’un cas particulier de l'équation primitive générale.
Par exemple, si <b(x,y) = (y — x) m , on aura <b' (xp= — m (y — x)"'~ ', $>' fy ) z=z m (y — x)™ ~ *; l’une et l’autre de ces quantités deviennent infinies, en faisant y — * — o, pourvu que m < i.
Mais cette équation y — x — o, rend la valeur de <I> (x, y) égale à zéro ou à l’infini, suivant que m est positif ou négatif; donc elle ne peut pas être' une équation primitive singulière.
Prenons l’équation du premier exemple
x x — 2 ay H— a — b 2= o, elle donne a — — y -f- Y ( x 1 ~+- y 1 — b), donc
et de là
où l’on voit que ces deux fonctions deviennent infinies par l’équation primitive singulière x x -4— y 1 — b = o.
Nous. avons trouvé pfe haut, cette équation du premier ordre
y( 1 -+- * x ) -+- -TT — (~ — *■ *) y — y 1 = °>
pour l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre,
y — xy -i — — y — (y — *y ) — y = o;
en dégageant la fonction y 1 , on a
et divisant par Y (i6y -4- 4 *
8 y ■+■ 4x ■+■ xx ’
