x*), on a a V (\ -4- -v

Y ( 16 y -t- 4*’ -+- x*J équation dont les deux membres sont des fonctions dérivées, exactes.

En prenant leurs fonctions primitives ,‘ et ajoutant la constante arbitraire k, on aura l'équation primitive

comme il est facile de s’en assurer en prenant les fonctions dérivées de ses deux membres.

Cette équation est, comme i’on voit, bien différente de l’équation primitive complète

Mais elle satisfait également à l’équation proposée du second ordre, parce qu'elle satisfait en général à l’équation du premier ordre , qui satisfait à celle du second ordre , comme primitive singulière.

Mais cette équation du premier ordre peut avoir efie-même une primitive singulière qu’il est bon de chercher.

Comme la constante k est débarrassée des variables x et y, on a immédiatement

k^V (16 y -+-4.x % xV (1 — I— / [ V (t -4 -x*} — xj;

de sorte qu’en désignant cette fonction par $ (x, y), et prenant les fonctions dérivées relatives à x ou y, on aura sur-le-champ

V (iby 4** -H «V '

donc, supposant cette quantité infinie, dn aura l’équation 1 6 y 4.x* x* = o

pour l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre, qui est déjà elle- même une primitive singulière de la proposée du secdnd ordre.

Elle satisfait, en effet, comme on peut s’en assurer, à l’équation du premier ordre; mais elle ne satisfait plus à celle du second ordre.

On aurait pu aussi déduire immédiatement cette même équation singulière de l’équation primitive entre x et y

tn déterminant a et b par ses deux équations dérivées relatives à a et b.

On

On aura ainsi — x' -+- iet = o, x -4- ai = o ; d’où l'on

tire a z=z — , i = — ; substituant ces valeurs dans

l'équation* précédente , elle deviendrait y

Il n’est pas difficile, en effet, de démontrer, par la théorie générale des équations primitives singulières , que ces sorte# d’équations j#imitives singulières doubles, résultent de l’équation primitive F (x, y, et, b) ==-o, en éliminant les deux constantes a et b par les deux équations particulières f (a) o, et F' (b) — o. m

Et par là il est aisé de voir la raison pourquoi elles ne satisfont pas, en général, à l’équation du second ordre, dont F (x, y, a, b) z=z o est l’équation primitive complète avec les deux constantes arbitraires a et b.

Car soit f (x, y. y', f ) = <f cette équation du second ordre; elle jrés#ite, comme nous l’avons Vu, de l’élimination de a et b regardée* comme constantes, au moyen des trois équations F (x, y, a, b) = o , ■F' (x, y) = o, F" (x, y) = o. •

Mais, lorsqu’on regarde a et b comme des fonctions de x et y, l’équation dérivée de F (x,y, a, b) = o n’est plus simplement F’ (x, yj — o, mais devient

laquelle se réduit cependant à F' (x, y) = o, en déterminant a et b par les deux conditions F' (et) zzz o et F' (b) =r o, qui sont celles de l’équation primitive singulière double.

Comme la fonction dérivée F' (x, y), étant développée, renferme les variables x, y, y', et les deux constantes et et b, désignons-Ia par <p (xi y, /, a, b) ; il est clair que la troisième équation F* (x, y) r= o , où a et b sont regardées comme constantes, deviendra cp' (f,y,ÿ) = o; mais, dans le cas où ces quantités sont variables*, elle deviendra

qui ne se réduit plus à <$' (x, y, y') zzz o , parce que Ijs deux fonctions <$' (a) et <$>' (b) ne sont pas nulles.

XU; Cahier. . Z

îyS A N A L Y S' E..

Ainsi il est impossible que l’équation -F (x, y, a, b) = o, dans laquelle a et b sont des fonctions de x et y déterminées par les conditions F' (a) — o , F' (b) = o , satisfasse généralement à l’équatioç <ju second ordre qui résulte de la même équation.par l'élimination des quantités a et b, au moyen de ses deux dérivées, première et seconde, prises en regardant a et b comme constantes.

On peut étendre cette théorie aux équations primitives des équations de* ordres supérieurs.

Ainsi, si l’on a l’équation primitive

où a, b, c sont trois constantes arbitraires, et qu’on détermine ces trois quantités par les trois conditions

F' (a) = o. F' (b) = o. Fl (c) = o.

on aura une équation primitive singulière triple , qui sera , par censée quent, la primitive singulière d’une équation du premier ordre , qui sera elle-même la primitive singulière d’une autre du second ordre , laquelle sera enfin la primitive singulière de l’équation du troisième ordre, dont la même équation F (x, y, tt, b, c) = o serti la primitive ordinaire complète avec les trois constantes* arbitraires a, b, ^ mais cette équation primitive singulière triple ne satisfera ni à l’cquation du troisième ordre, ni même à sa'primitive singulière du second ordre.

*Nous avons démontré plus haut , que les fonctions (x), 'î*' (y), $'(/),&. c., (y ( *~’- } ) diït des valeurs infinies dans le cas de l’équa-

tion primitive singulière^ ta dérivée, dont $(x, y, y* , y" ...y(*~ ‘ >) = o est la primitive ordinaire, avec la constante arbitraire a.

On peut qpnclure de là, tout de suite, que tout multiplicateur qui

rendra une écjuation de l’ordre quelconque n, telle que

vCJ

une dérivée exacte d’une équation de l’ordre inférieur n — t , deviendra nécessairement infini en vertu de l’équation primitive singulière de la même équation.

Car, Soit M ce multiplicateur, on aura donc, par l'hypothèse ,

M [y(') -/ (x,y, y . ..y(*~ ‘JJ = V(x,y,y . . .y ( *~ 1 >); et l’équation primitive sera

Or, *' (x,y,y...y( n - y =y f *; *' frf* “ *' (x,y./...yC ~ l >).

Donc M = V(yf a - ')); par conséquent la quantité yJ/ deviendra infinie par la substitution de la valeur de y(*~"> donnée par l'équation primitive singulière.

Cette conclusion suit aussi directement de la forme même des multiplicateurs que nous avons donnée dans la leçon treizième. En effet, si l’équation est du premier ordre, comme y -t -f(x,y) o, elle n’aura

qu’une équation primitive, telle que F (x , y, a) = o ; et tous les multiplicateurs de cette équation sont nécessairement renfermés dans la

formule * ° p . étant une fonction quelconque de a, en

supposant qu’on substitue pour a sa valeur tirée de la même équation F (x, y, a) — o; donc, puisque l’équation primitive singulière rend la fonction F' (a) infinie, tous les multiplicateurs deviendront aussi infinis.

Si l'équation dérivée est du second ordre, comme y -+-/ (x,y,y r ) == o r elle pei* avoir deux équations primitives différentes, chacune du premier ordre, telles que

F (x, y, /, a) =0, et FLç, y, y', b) = o; et la formule générale des multiplicateurs, sera

4 > (a, b) étant une fonction quelconque de a et b, c'est-à-dire, de leurs valeurs déterminées par les équations précédentes.

Or «l’équation primitive singulière rend nulle chacune des deux fonctions dérivées F' (a), F' (b) ; donc tous les multiplicateurs deviendront infinis dans le cas de cette équation ; et ainsi de suite.

i8o ANALYSE.

Par exemple , l’équation . •

, * y * (*' -V -y qui est la même que celle qu’on a considérée ci-dessus, a, pour l’un de ses multiplicateurs , la quantité

En supposant ce multiplicateur infini, on a x* -t- y % — b = o pour son équation primitive singulière ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a déjà trouve.

On a donc ainsi un nouveau moyen de trouver les équations primitives singulières par les multiplicateurs.

Mais , quoiqu’il soit prouvé que tout multiplicateur doit devenir infini par l’éqdation primitive singulière , on ne peut pas dire réciproquement cfue toute équation qui rendra un multiplicateur infini, sera une équation singulière. En effet, la formule générale des multiplicateurs étant pour le premier ordre il est évident que sa

valeur peut devenir infinie sans que l’on ait F' (a) z=z o; car pour cela il suffit que l’une ou l’autre des fonctions $ a, F' (y) , reçoive une valeur infinie.

Au reste , on peut se convaincre aussi , par ce raisonnement fort simple, que l’équation primitive singulière doit rendre infini «ut multiplicateur d’une équation d’un ordre quelconque n , de la forme

yfJ -J- f (x0y, y ' . . ,y (n “* ')) — o.

Car M étant un multiplicateur de cette équation , on aura

et l’équation deviendra

dont l’équation primitive sera

a étant une constante arbitraire.

Maintenant l'équation primitive singulière doit satisfaire à la proposée

et ne doit pas être comprise dans sa primitive complète

Donc la valeur de y (,, ~'J, tirée de la primitive singulière, étant substituée dans la fonction $ (x, y, y' . . . y (M ~ ,J ), ne doit pas la rendre égale à une constante, par conséquent elle ne devra pas rendre nulle sa dérivée^»' (x, y, y! . . .y (m 'JJ.

Donc cette valeur doit rendre nulle la quantité

et ne doit -pas rendre nulle la quantité

ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’elle rendjÿ la quantité M infinie.

C’est à-peu-près de cette manière que Laplace a démontré le premier cette proposition importante , que d’autres géomètres avaient entrevue, mais dont on n’avait pas encore donné une démonstration rigoureuse. Voyez son Mémoire sur Us Solutions particulières , parmi ceux de l’Académie des Sciences de 1772.

K yrj la noie du Q." 1 Piisson , à -la fin de la leçon dix- huitième.