LEÇON SEIZIÈME

Comment l’Équation primitive singulière résulte Je l’Équation dérivée.

Par les principes que nous venons d’établir, on peut trouver l’équation primitive singulière d^toute équation dérivée dont on connaît déjà l’cquation primitive de Tordre immédiatement inférieur , ou dont on est en état de trouver celle équation à l’aide d’un multiplicateur. - .

0. Nous allons voir maintenant comment on peut déduire^i’équation primitive singulière de l’équation dérivée seule.

Pour cela , ii faut examiner ce que l’équation dérivée devient dans le cas de l’cquation primitive singulière.

Reprenons lé principe fondamental des équations primitives singulières.

Si F(x,y, a) =10, est l’équation primitive d’une équation du premier ordre, celle-ci sera le résultat de l’élimination de la constante a, au moyen de son équation dérivée F' (x, y) ci o, relative à x et y; et Icquation primitive singulière sera le résultat de l’élimination de la même quantité a, au moyen de l’équatipn dérivée F' (a) = o, relative ha. •

Supposons que l’on tire de l’équation F' (x, y) z=z o, la valeur de a en fonction de x, y et y' , que je représenterai par <p (x, y, y'), et qu’on substitue cette fonction au lieu de a, dans l’équation primitive F (x, y, a) = o, on aura une équation en x, y, y' qui serada dérivée de la proposée. *

Ainsi, en désignant simplement par (x, y, y'), on aurajf'Y* >)'• Q) °*T >our l’équation dérivée.

Prenons maintenant la dérivée de celle-ci , et , comme est une fou ction des variables x, y, y-', on aura cette équation

où l’expression F' (x, y) est la même chose que le premier membre de l’équation ci-dessus F' (x, y') = o, si ce n’est qu’à la place de a il y a sa valeur , tirée de cette même équation ; d’où il s’ensuit que l’expression dont il s’agit sera identiquement nulle , puisqu’elle est censée être le résultat de la substitution de la valeur de a , qui la rend nulle. * T

La dérivée de l’équation du preiÿer ordre F (x, y, <pj =o, se réduira donc simplement à .celle-ci ^ <}>' F' (<$) = o, laquelle se décompose , comme l’on voit , en ces deux-ci , *

<P' = o, # et F'.(.< P) = o.

La prenjjère <J>' = o; savoir , <J>' (x. y, y') = 0, est une équatio% du second ordre qui donne la valeur de y " en x, y et y'.

Cette équation a pour équation primitive <?> égal à une constante arbitraire; ainsi cp — a, et F(x, y, <ÿ) = o sont deux équations primitives du premier ordre de la même • équation du second ordre <$' F (<ÿ) =r*o; donc, par la théorie exposée dans la leçon douzième, éliminant y' de ces deux équations, on aura l’équation primitive de F (x , y, < pj == o, dans laquelle a sera la coûtante arbitraire; mais comme y n’est contenue que dans la fonction <p, le résultat de cette élimination sera le meme que celui de l’élimination de <p, par conséquent ce résultat sera F (x , y, a) = o, ce qui redonne la môme équation primitive d’où l'on était parti. *

Considérons maintenant l’aufre équation F' (<pj = o; celle-ci satisfait auss^, comme l’on voit, à la môme équation du second ordre; mais comme elle ne contient que les fonctions y et /, elle peut être regardée comme une équation primitive dû premier ordre de la même équatipn, mais sans constante arbitraire. Ainsi , en éliminant y 1 par le moyen de celle-ci, et de l’équation’du premier ordre F (x, y, q>) — o, on aura une nouvelle équation primitive de cette même équation , qui sera nécessairement différente de l’équation primitive F (x, y, a) — o.

Or, comme la quantité / n’est contenue que dans la fonction <J> , le résultat de l’élimination de y', des deux équations — o,

et F (x, y, <p ) o, sera le même que celui de l’éliminatipn de <p, comme nous l’avons déjà observé pius*haift; et ce résultat sera évidemment le même que celui de l’élimination de la quantité a des deux équations F' (a) =: o, et F (x,y,a) = 0. *

Donc, par ce qu’on à démontré dans la leçon précédante, ce résultat donnera l’équation primitive singulière de l’équation dérivée, dont F (x, y, a) = o est l’équation primitive- ordinaire , a étant la constante arbitraire.

D’où l’on doit conclure que l’équation F' (<$) — o donnera, par l’élimination de y', la même équation primitive singulière de la proposée du premier ordre F (x, y, q>) = o, qu’on eût trouvée d’après so$- équation primitive F (x, y, a) — o, suivant* les principes et la méthode exposés dans la leçon précédente. ,

On voit par là qu’il ejt toujours possible de mettre l’équation dérivée sous une formule telle que sa dérivée donne elle-même immédiatement l’équation primitive singulière, s’il y en a une; et c’est une observation qui n’avait point encore été faite jusqu’ici. •

Reprenons l’équation du premier exemple de la .leçon précédente, ^ x — 2 a y — a — b — o ,

en la regardant comme Une équation primitive dont a est la constante arbitraire; pour avoir l’équation dérivée qui ait la propriété dont il

s’agit, il faudra y substituer pour a sa valeur — tirée de la dérivée x — a y' — o.

Ainsi l’équation dérivée dont il s’agit sera #

b rrr o.

comme

En prenant la dérivée de celle-ci, on a

y *yy" ’* **

équation qui se réduit à H- —7 —J

nous l'avons déjà observé dans la leçon douzième.

En la mettant sous la forme

on voit qu’elle revient à a l — b, c-t prenant pour <f> la valeur de a, tirée de l’équation prime x — ay' = o. Le facteur du premier ordre donne l’équation

d'où l’on tire y' rrr — — , valeur qui, étant substituée dans lequatipn'du premier ordre, la réduit à x 1 — b H— xy % — y 1 — o; savoir, , x* — | -y 1 — b ==. o,

equat

ion

équation primitive singulière , comme nous l'avons déjà trouvé ; car l’équation dérivée que nous considérons ici , est la même que l’équation

que nous avons considérée dans le premier exemple de la leçon précédente ; mais, sous cette forme, elle n’aurait pas son équation prime décomposable en deux facteurs.

Le facteur du second ordre

étant fait égal à zéro, donnera la valeur de y n — — .

On aurait aussi facilement par ce facteur l’équation primitive ; car

étant la fonction dérivée exacte de -4-, il donnera tout de suite l’équa- " y 1

tion primitive du premier ordre -7- = a ; multipliant par a y', et

. prenant de nouveau les fonctions primitives , il vient x‘ =z 2 a y c, a et c étant des constantes arbitraires ; mais la proposée n’étant que du premier >rdre, ne peut avoir qu’une constante arbitraire. On y substi-

tuera donc pour y et y, les valeurs qu’on vient de trouver et — ,

et l’on aura x* — b — x* i-t- c — a =0, d’où l’on tire t = a -+- b; de sorte que l’équation primitive sera

x* zr - xay H— a b = o,

comme ci-dessus.

Il n’est pas même nécessaire de passer à une seconde équation primitive; car ayant trouvé ~-r zzz a, il ny a qu’à substituer tout de suite la valeur de y' = ~ dans la proposée du premier ordre , et l’on aura aussi x* — b — 2 ay — a' rzz o.

Considérons les équations du second ordre :

Soit F (x, y, y, a) o l’équation primitive du premier ordre d’une équation dérivée du second,

XU. e Cahier. A a

En éliminant a au moyen de l’équation F' (x, y, y') zzz o, on aura l’équation du second ordre; et en l’éliminant au moyen de l'équation F' (a) — o, on aura l’équation primitive singulière.

Soit <p (x, y, y', y"), ou simplement <p, la valeur de a en fonction de x, y, y' y" tirée de l’équation h ' (x, y, y') — : o , en substituant cette valeur dans l'équation primitive , on aura une équation dérivée de la forme F (x, y, y', <p) == o; et si on en prend l’équation dérivée, il est visible que la partie F' (x, y, y'), relative à la variation de x , y, /, sera identiquement nulle, puisque la quantité <p, qui y est regardée comme constante , est supposée déterminée par l’équation meme F' (x, y, y') = o.

11 ne restera donc que l’équation <p' F' (<p) = o, qui se décompose en <p' — o, et F' (<$) = o. ,

L’équation <p' = o, sera du troisième ordre, et donnera la valeur de y'". Son équation primitive sera évidemment , au moyen de l’équation dérivée F (x , y, y', <$) — o, on aura le même résultat que par l’élimination de c’est-à-dire, F (x, y, y', a) = o, équation primitive.

’ L’autre équation F' (<$) — o donnera aussi, par l’élimination dey', le même résultat que par l’élimination de <p, et par conséquent le même résultat que par l’élimination de <j, au moyen des équations F' (a) = o, et F (x, y, y , a) — o, qui sont les mêmes, en y changeant a en <p.

Donc ce résultat sera l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre, dont F (x, y, y', a) =z o est l’équation primitive du premier ordre. •

L’équation du second ordre

que nous avons déjà considérée dans les leçons précédentes , a pour dérivée

A N A L Y' S E,\ qu’on peut mettre sous cette forme

Le facteur y“ — ! — n étant que du môme ordre que la proposée, * , 1

donnera, par l'élimination de y“, une équation primitive singulière de

celle-ci ; car , en faisant y“ — — = o, ou a;' = —, valeur qui ,

étant substituée dans la proposée, donne — — ; 1 — ! = o; savoir,.

x* — y ' 1 — o, comme nous l’avons trouvé dans la leçon précédente.: L’autre facteur donnera l’équation du troisième ordre y" — — = 0.

qui, étant divisée par x, a pour primitive du second ordre — = — ,

a étant une constante arbitraire; celle-ci donne y" =: — : substituant

celte valeur dans la proposée , on a — — 1=0; savoir ,

x 1 — 2 a y' -+~ a 1 =: o, équation primitive, comme on l’a vu dans la leçon citée.

Le même procédé s’appliqua aux équations d’un ordre quelconque; et l’on en peut conclure, en général, que toute équation dérivée est susceptible d’une forme telle que sa dérivée ait deux facteurs , dont l’un réppnde à l’équation primitive ordinaire , et dont l’autre donne immédiatement l’équation primitive singulière , s’il y en a une ; ce qui jette un nouveau jour sur la nature des équations primitives singulières: car il est évident que les deux facteurs de l’équation dérivée étant indépendans l’un de l’autre, doivent satisfaire chacun en particulier àcette équation, et, par conséquent aussi, à son équation primitive proposée,

En même temps on voit que le facteur , qui donne l’équation primitive singulière, et qui est du même ordre que la proposée, ne pourrit, pas satisfaire aux équations des ordres supérieurs , puisqu'il 11e satisfait, pas à celle qui résulte de l’autre facteur, et qui contient seule les, fonctiqps dérivées d’un ordre plus élevé que la proposée.

Je considère maintenant que , comme toute équation dérivée du premier ordre, telle que/ (x, y, y') ■=. o, ne peut*être que le résultat de l'élimination de la constante arbitraire a, au moyen de l’cquation primitive F (x, y, a) = o, et de sa dérivée F' (x , y) = o, ainsi que nous l’avons vu dans la leçon xil.*; et que l’équation F (x, y, q>) =: o, est déjà le résultat de cette élimination par ce que nous avons démontré plus haut, il s'ensuit, de la théorie connue de l’élimination, que si les deux équations f (x, y, y') = o et F (x, y, <$) = o, ne sont pas identiques, elles ne peuvent différer que par un facteur qui affectera l’une des deux, et qui ne pourra être qu’une fonction de x, y et /.

Supposons donc que M soit un pareil facteur , en sorte qu’on ait l’équation identique

f(x.y.ÿ) = M F .(x, y, Cf). #

On aura donc aussi

et prenant les fonctions dérivées, on aura

^ EV /„ I F (*>}>> ) y, y)

VF (f) — >7 AT '

puisque nous avons vu que la dérivée de F (x, y, <$) se réduit à <$'F '(<$)- On aura donc ainsi . •

f (*> y> y) = MF’ (Cf) x Cf' -+- f(x, y, /);

c’est la forme générale de la dérivée de la fonction f (x, y, y ') qui est le premier membre de l’équation proposée.

Oh voit par là , qu’étant proposée l’équation du premier ordre f ( x • y> y ) — — °> on pourra satisfaire à sa dérivée /' (x, y, y) = o, indépendamment da la valeur de y", par le moyen de l’équation du même ordre F 1 (<ÿ) =: o, combinée avec la proposée; de sorte que ces deux équations pourront être regardées également comme des équations primitives du premier ordre de la même équation dérivée f (x, y, y) = o du second ordre. Par conséquent il n’y aura qu’à

éliminer y' entre elles pour avoir une équation primitive de la proposée , laquelle ne sera qu’une primitive singulière , comme nous l’avons démontré ci-dessus.

Maintenant si, dans la fonction dérivée f'(x, y, y'), on sépare la pa*ie affectée de y ", elle' devient y* f (y) -+- f (x, y), suivant la notation que nous avons adoptée. Ainsi la dérivée de l’équation proposée f (x, y, / ) = o sera

et il est visible qu’on ne peut satisfaire à cette équation indépendamment de la valeur de y", qu’en égalant séparément à zéro les deux . fonction s f (y') et f (x, y); il est facile de voir, en effet, par la comparaison de l’expression précédente de f (x, y, y') avec la forme générale trouvée ci-dessus, que les deux équations F' (<pj o et f (x, y, y' ) = o emportent ces deox-ci , J 1 (y ) = o et /' (x. y) = o, et réciproquement.

On aura donc • l’équation primitive singulière de la proposée f (*• y- /) — °» en foi* 101 » dans sa dérivée y f (y') -t- /' (x, y) — o, les deux équations séparées f (y' J — o, et f (x, y) = o, et éliminant la fonction y au moyen de la proposée.

Si les deux résultats donnent la même équation entre x et y, ce sera l’équation primitive singulière; sinon ce sera une marque que la proposée ^n’admet pas d’equation primitive de cette espèce.

Lorsque les deux fonctions /' (y') et /' (x,y), ont un facteur commun, ce facteur, égalé à zéro, remplit les deux conditions, et donne l’équation primitive singulière par l’élimination de y', au moyen de ia proposée : c’est le cas où celle-ci est de la forme F (x, y, cp ) o, comme nous l’avons vu au commencement de cette leçon. 11 y a, au reste , une forme plus générale que celle-ci, où la dérivée est toujours décomposabie en deux facteurs , dont l’un donne l’équation primitive singulière ; nous en parlerons plus bas.

L’équation^ du premier ordre

f (x % — b) — zxyy — x* = o,qui est ia même que nous avons considérée au commencement de cette

leçon, mais multipliée par/*, a pour dérivée

On voit ici que les deux fonctions y' (x x — b ) — a y et y y' -4- x, n’ont aucun facteur commun; cependant, si on les fait chacune s^-garément égale à zéro , elles donnent ces deux valeurs de y' ; savoir,

LZ — et — — , qui , étant substituées dans la proposée , donnent * — b y x

ces deux-ci, •

lesquelles se réduisent à la même; savoir, (x x *4- y 1 — b) z=z o. Ainsi

est l’équation primitive singulière de la proposée, comme nous l’avions, déjà trouvé. ' .

Je remarque maintenant que l’équation du premier ordre f (x,y,y') — o, m ayant pour dérivée y" f (y') -4- f (x, y') = o, elle donne en général

Mais nous venons de voir que, dans le cas de l’équation primitive singulière, on a séparément f (y) = o et f (x, y J = o ; .donc on

aura, dans ce cas, y" — ce qui donne cette règle générale, et

fort simple pour trouver l’équation primitive singulière de toute équation du premier ordre, lorsqu’il y en a une. .

Cherchez, en prenant les fonctions dérivées, la valeur de la fonction seconde y", et supposez -la égale à zéro divisé par zéro , vous aurez deux équations en x, y et /, qui, étant combinées avec la proposée, donneront, par l’élimination de y’, deux autres équations en x et y. Si elles ont un facteur commun, ce sera l’équation primitive singulière de la proposée.

On peut appliquer ici l’exemple que nous venons d’apporter ci-dessus.

Soit encore l’équation du premier ordre

(x / — y) (x / — 2 y) -f- x’ “ a Sa dérivée sera

d’où l’on tire

^ * (ixy — ly)

Faisant cette expression — , on aura les deux équations

' xy" — y/. — 3X* = o, 2 xy' — 37 = o; d’où il faudra éliminer y' par le moyen de la proposée. La seconde

donne y' — - ; cette valeur , substituée d’abord dans la première,

donne celle-ci , — 3 x* = o ; et étant substituée dans la

proposée , elle donne — -+- x 3 = o : ces deux équations se

réduisent, comme l’on voit, l’une et l’autre à celle-ci, y 1 — 4.x 3 = 0, qui sera, par conséquent, l’équation primitive singulière de la proposée.

On peut s’en- assurer , en effet , par l’équation primitive qui est y a x — = o , où ü est la constante arbitraire. Sa dérivée

relative à <r, sera — x -+- — r = o, laquelle donne a r= x et

a zs=. V x; et l’équation primitive devient, par la substitution de cette valeur , y — 2 x / xr=o; savoir , y* — 4 .y 3 — o ; la même que nous venons de trouver.

11 est facile de voir, par l’expression générale de y“, que non-seulement cette expression devient ~ en vertu de l’équation primitive singulière, mais que les expressions des fonctions suivantes y"‘ , y"" , &c. deviendront aussi — en les réduisant d’abord en simples fonctions de x, y par la substitution successive des valeurs de y', y", &c. , tirée de l’équation proposée, et substituant ensuite la valeur dey en x, donnée par l’équation primitive singulière.

On peut regarder cetle propriété de l’équation primitive singulière, comine son vrai caractère distinctif; et l’on peut se convaincre d’ailleurs que son existence dépend, en effet, de ce que les valeurs des fonctions /,/",&c. , des ordres supérieurs à la proposée, demeurent indéterminées.

Car, si ces valeurs ne devenaient pas indéterminées dans le cas de l’équation primitive singulière , on pourrait , dans ce cas même , employer la formule générale donnée dans la leçon douzième ,

dans laquelle y°, y 01 , y 0 ", & c. sont les valeurs qui répondent à x — o; et la quantité y°, qui est la constante arbitraire, recevrait alors une valeur particulière dépendante de cette équation ; de sorte que la valeur dey en x, au lieu d’être une valeur singulière, ne serait plus qu’un cas particulier de la valeur générale contre l’hypothèse.

11 arrive donc ici ce qui a lieu dans les formules générales, lorsqu’il y a des cas qu’elles ne peuvent pas représenter, elles donnent alors zéro divisé par zéro; c’est, pour ainsi dire, le moyen que l’analyse emploie pour échapper aux contradictions : les racines imaginaires n’indiquent pas, à proprement parler, une contradiction, mais urte impossibilité.

Cette théorie s’applique également aux équations des ordres supérieurs au premier, et fournit des conclusions semblables.

En représentant par F (x, y, /, a) = o l’équation primitive du premier ordre d’une équation du second ordre, nous avons vu que celle-ci peut se réduire à F (x , y, y', ty) — o, et que sa dérivée sera alors <f F' (<pj = 0 .

Or, quelle que puisse être la forme sous laquelle une équation proposée du second ordre pourra se présenter, comme, en dernière analyse, elle doit toujours être le résultat de la même élimination qui donne ^ l’équation F (x, y, /, <ÿ) = o, il s’ensuit qu’elle ne pourra être que celle-ci multipliée par une fonction quelconque du même ordre, ou d’un ordre intérieur.

Ainsi, si l’équation proposée est f (x, y, y', y") — o, on aura

nécessairement

f (x, y, /> y) = MF (x.y.y'.Cf).

M étant une fonction de x, y, y', y".

De là, en prenant les fonctions dérivées, et mettant F' ( ty) x Ç' pour F’ (x, y, y', <$), on aura, comme plus haut, l'équation

f'(x.y.y'.y) = MF'(q>) x q>' - v- ~ f(*,y,y',y).

D’où il "est aisé de conclure que l’on pourra satisfaire à la dérivée f (x, y. y', y") = o de la proposée , indépendamment de la valeur de la fonction tierce y'", au moyen de? deux équations du second ordre,

dont la seconde est la proposée; et qu’on aura l’équation primitive singulière de celle-ci, en éliminant y" des mêmes équations.

Or, la dérivée de la proposée étant de la forme

ff (y) f'(x,y. y ) = o,

en n’y peut satisfaire, indépendamment de la valeur de y'", que par les deux équations séparées f (y" ) = o et f (x, y, y'),=. o.

11 faudra donc éliminer y" de chacune de ces deux équations , au moyen de la proposée f (x , y, y’, y") z=z o; et si les deux résultats donnent une même équation , ce sera l’équation primitive singulière de* la proposée.

On voit, en même temps, que, puisqu'on a en général

les deux équations dont il s’agit rendent la valeur de y"' égale à — ; de

sorte que l’on peut regarder la condition de f = — comme celle

• qui détermine l’équation primitive singulière de la proposée du second ordre.

En appliquant les mêmes principes aux équations d’un ordre quelconque//.'", on en conclura que, pour trouve* son équation primitive XII/ Cahier. ■ B

singulière, si elle en a une, il .faudra tirer de sa dérivée, Ta valeur de la fonction y c ' , / r ' i de l'ordre suivant, et la faire m —, en égalant

séparément le numérateur et le dénominateur à zéro, et éliminer ensuite de ces deux équations la fonction y ( * } au moyen de la proposée.

Si ce; deux éliminations donnent un même résultat , ce sera l'équation cherchée.

Nous. avons vu plus haut, que l’équation du second ordre

a pour dérivée une équation résoluble en facteurs, dont l’un qui n’est que du second ordre, donne sur-le-champ l’équation primitive singulière par l’élimination de y". Mais si la même équation était proposée sous la forme-

xy — ly'y -\- x =z o,

sa dérivée

ne présenterait plus de facteur.

Or elle donne •

7 *(xf -/;•

Égalant à zéro séparément le numérateur et le dénominateur , ort a ces deux équations.

y — ir=o et xy

La première donne y" =: rfc i ; ce qui étant substitué dans la proposée, elle devient z(x rt; y') = o; savoir, y 11 — x 1 = o.

La deuxième donne y“ — — ; ce qui étant substitué dans la proy*

posée, elle devient — -t- x = o; savoir, y — x 1 — o.

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, comme nous l’avons déjà trouvé.

Considérons encore l’équation du second ordre

Prenons les fonctions dérivées pour avoir la valeur de /"', on trouvera

/' — / -+- xy" — xy" ~ y"' H- i(y' — xy") xy"' — 2 y" y'" = o. Savoir,

[ JL. h- 1(/ - xy') X - 1/JjT = o.

d’où l’on voit que/'" deviendra en*égalant à zéro le facteur par lequel il est multiplié.

On aura ainsi cette seule condition

d’où l’on tire

- i( / — xy") x — 2/ = o,

if l -H x 1 )

Cette valeur étant substituée dans -la proposée, donnera l’équation singulière

„ vv , . JL. v 4

laquelle se réduit tout de suite à celle-ci ,

ib(i -+- *V

L’équation du troisième ordre

que nous venons de trouver pour la dérivée de la proposée du second ordre, donne naturellement/'" = o, d’où l’on tire successivement, en prenant les fonction* primitives, y" ~ a, / =2 a x b et.

a, b, c étant des constantes arbitraires, relativement à l’équation /'" = 0;

Bb 2

mais comme la proposée n’est que du second ordre, elle aura une constante arbitraire de moins ; et en y substituant les valeurs précédentes de y, y y , elle devient c — 0 — a = o ; ce <qui donne c a -+- b 1 , de manière que l’équation primitive en x et y devient

y - — — x —4— b x — | — a —1 — h , comme on l’a vu plus haut.

Ainsi , dans ce cas , les deux facteurs de la dérivée de l’équation proposée, donnent directement, l’un, l'équation primitive singulière du premier ordre ; l’autre , l’équation primitive en x et y, comme nous l’avons déjà vu ci-dessus dans un autre exemple..

Nous avons vu, au commencement de cette leçon, que l’équation dérivée d'une équation primitive F (x, y, a) “ o, peut être représentée par F (x, y, <ÿ J o, où <J> est mis pour <?> (x, y, y'), cette

fonction étant la valeur de a, tirée de l’équation prime F' (x, y) = o; et nous avons vu en même temps que l’équation primitive singulière rend la fonction F' (<ÿ) nulle.

Supposons que l’équation dérivée proposée, soit réduite à la forme

donc, si dans l’équation F(x,y, <$) =rr* o on substitue à la place de y' sa valeur — f (x , y), elle deviendra nécessairement identique; par conséquent ses deux équations dérivées relatives l’une à x et l’autre à y, auront lieu chacune en particulier.

On aura donc ainsi, puisque la quantité / n’est contenue que dans la fonction <?, ces deux équations, dans lesquelles. F' (x), F' (y) et F' (<$) dénotent, comme à l'ordinaire, les fonctions dérivées de F (x, y, Qf), prises relativement à x, y, et <p ,

F'* (y) - F' (<P) X y (y') X fi (y) = o, d’où l’on tire

Or l’équation primitive singulière rend F' (<p) “ o ; donc elle rendra infinie les deux fonctions f (x) et f'(y)>

Ce qui fournit un caractère fort simple pour reconnaître si une valeur qui satisfait, sans constante arbitraire, à une équation dérivée donnée, est une valeur singulière ou simplement un cas particulier de la valeur générale.

Cette propriété peut servir aussi à trouver les valeurs singulières dont une équation dérivée est susceptible ; car si l'équation qui rend f ( xJ et f (y) infinies, satisfait en même temps à la proposée y' H- f (x, y) = o, elle en sera l’équation primitive singulière. L’équation,

qu'on a déjà considérée plus haut , donne

d’où l’on tire

/ (x‘ -+- / — b) * [V Cx‘ y 1 — b) — - yj‘ •

Ces deux quantités deviennent infinies par la supposition de Y (x x — t —y 1 — h) — y = o, ainsi que par celle de Y (x x y x — b) = o; la première donne x 1 — b — o, valeur qui ne peut satisfaire à la proposée qu’en faisant b — o; la seconde donne x**— y' — b = o; équation qui satisfait à la proposée, et qui en est, par conséquent, l'équation «primitive singulière, comme 011 l’a déjà vu plus haut.

Appliquons la même théorie aux équations du second ordre; on a vu qu’elles peuvent être représentées par F' (x, y, y', çj = o, en supposant que F(x,y, y', a) ro, soit l’équation primitive du premier ordre , et que ç ou <p (x, y, y') soit la valeur de a tirée de l’équation prime F' (x, y, y') — o.

On a vu, en même temps, que lequation primitive singulière est donnée alors par l’équation F' (<p) o.

Supposons maintenant que lequation proposée soit réduite à la forme

Donc, si dans l’équation F (x, y, y', <p) z — o on substitue pour/' sa valeur — f(x, y, y'), on aura une équation identique, dont, par conséquent, la dérivée aura lieu par rapport à chacune des variables x, y, y' en particulier.

Ainsi, comme la fonction/ n’est contenue que dans la fonctifin <p, on aura ces trois équations :

F' (y) - F' (<p) x <ff (y) x f (y) = 0;

d’où l’on tire

f (y) - rv

J (// — f (9) „ ( yj - . .

L’équation primitive singulière étant donnée par l’équation F' (<p) = 0, il s’ensuit qu’elle rendra infinies les trois fonctions dérivées/' (x) , f (y), f (y)’ &c.

En général, ou pourra prouver, de la même manière, que si l’on a une équation de l’ordre n. ,me , réduite à la forme

son équation primitive singulière rendra infinies les fonctions dérivées f'( x )> f (y), f (y'), &c. , jusqu’à la suivante, inclusivement,

Pour confirmer a posteriori, ce que nous venons de démontrer, considérons une équation du premier ordre, telle que y* -+- f (x, y) = o.

à laquelle satisfasse une valeur singulière de y, que nous désignerons par X, fonction de x.

On aura donc, par l’hypothèse, X' -+- f(x, X) = o; et pour que la valeur X ne' soit pas comprise parmi les valeurs de y données par l’équation primitive, il faudra qu’en supposant, en général , y = X-\~z> 1 étant une nouvelle variable, la valeur de z> tirée de l’équation primitive ordinaire , ne puisse jamais être nulle.

• Substituons donc X — H z au lieu de y dans l’équation proposée, on aura

Développons la fonction f (x, X -4- z) suivant les puissances de z> on aura généralement, en rapportant les fonctions dérivées à la seule variable X , ,

f(x. X -4- zj =f(x. X) -4- zf (X) -4- -f/'W -H ;

donc, faisant cette substitution, on aura, à cause de X' -\-f(x, X) = o, l’équation

Z r -H lf'(X) "H 4 -TW ■+• &c - = °-

qui servira à déterminer j en x.

Or, si la quantité ç pouvait devenir nulle, elle pourrait aussi être très-petite.

Supposons- la d’abord très-petite, et cherchons-en la valeur par approximation.

Pour cela, on négligera d’abord, vis-à-vis du terme qui contient z> les suivans qui contiennent j 1 , j’, &c. , comme étant beaucoup plus petits, et l’on aura pour la première approximation, l’équation

if (X)~ o, .

laquelle étant divisée pür z< a pour équation primitive

en prenant X pour la fonction primitive de/' (X), prise par rapport

à la variable *, dont X est une fonction donnée, et k pour une ’ constante arbitraire ; de là ori tire

en faisant a = e*.

Ayant ainsi la première valeur approchée de j , on la substituera dans les termes négligés , et on pourra trouver une seconde valeur plus approchée; et ainsi de suite. •

De cette manière la valeur de j contiendra la constante arbitraire a, et elle deviendra nulle en faisant a = o; par conséquent X ne sera pas une valeur singulière, contre l’hypothèse.

On doit conclure de là que, pour que X soit une valeur singulière non comprise dans la valeur générale , il faut que le développement de f(x, X -4- i) contienne d'autres puissances de z que les puissances entières et positives.

Supposons donc que ce développement donne, en général,

f(x, X -4— z) — f (x , XJ -4— Pz — t— Qz" — I— &c.,

m, n, &c. étant des nombres quelconques qui vont en augmentant, et P, Q, &c. , des fonctions de x, on aura l’équation en j

Z -4- Pl -+" Ql H- &c. = o.

On aura donc aussi, pour la première approximation, z' -4- Pi" — o,

équation qui , étant divisée par z , a pour équation primitive y— — |- V=k ,

en prenant V pour la fonction primitive .de P, et k pour la constante arbitraire.

Or, pour que X soit une valeur singulière de^, il faut que la valeur 1 z= o, qui y répond, ne puisse pas être contenue dans celte équation.

11 faut donc que l’exposant i — « de £, soit un nombre positif; car, s’il était négatif, — " deviendrait infini lorsque j — o, et répondrait à la supposition de k infini.

S’il était nul , on aurait le dàs que nous venons d'examiner , où m = i , et où z = o répond aussi à k infini.

Au contraire , lorsque i — m est positif, z — ° donne aussi z' ~ m = o, et l’équation devient alors V — k, ce qui ne peut pas être.

Donc, pour que X puisse être une valeur singulière de y , il faut que le développement de f(x, X H- z) contienne une puissance Z dans laquelle m < i.

En considérant la fonction f (x, y), son développement, lorsqu’on y met^ -f- z à la place dey, est, en général ,f(x.y) H— zf’O) ~+~ & c -î donc , suivant la théorie que nous avons exposée dans la leçon huitième , pour que ce développement donne , dans le cas de y = X, une puissance de z moindre que la première , il faudra que , dans ce cas , la valeur de f (y), c’est-à-dire, de f (X), devienne infinie.

Or l’équation proposée donne /= — f (x, y), et, prenant les fonctions dérivées / = — /' (x) —y’f (y) — — /' (x) -4-/' (y) x f(x.y); donc f (x) = f (y) x f( x, y) — /.

Par conséquent on aura, lorsque y = X, f (y) — oo et f' (x) = oo, comme nous l’avons trouvé par la nature même des équations dérivées.

Dans l’exemple ci-dessus, où

la valeur singulière de y est Y (b — x*) ; ainsi X = Y (b — • x‘); et substituant Y (b — x x ) -f- z à la place de /, la fonction dont il s’agit devient

y [x i y (b — h‘) -+- i‘j — y (b — »*/— z’ laquelle, étant développée suivant les puissances de z> donne

où l’on voit que le second terme du développement contient la puissance / z> dont l’exposant est moindre que l’unité.

D’ailleurs nous avons déjà vu que les valeurs de f' (y) et f (x) deviennent infinies lorsque y x -H x x — i = o.

Xll.‘ Cahier, C c

L’analyse par laquelle nous venons de prouver que le développement de f(x, y z) doit contenir une puissance de z moindre que la première, lorsqu’on donne à y une valeur singulière, est due à Euler, qui a donne ainsi le premier critaire général pour reconnaître si une valeur qui satisfait à une équation différentielle , est ou non une valeur singulière non comprise dans l’intégrale. Voyez I e premier volume de son Calcul intégral, problème 72.

il restait À déduire de là, la règle que, 4 ans ce cas, la valeur de f (y) devient nécessairement infinie; c’est ce que Laplace a fait depuis dans le Mémoire déjà cité sur les solutions particulières des équations différentielles , imprimé dans le Recueil de l’Académie de Sciences , pour l’année 1 772.

LEÇON DIX-SEPTIÈME. v

Équations dérivées qui ont des Équations primitives singulières données. Analyse d'une classe d’ Equations de tous les ordres quir ont toujours nécessairement des Équations primitives singtdières.

St les équations primitives singulières ont moins d’étendue que les équations primitives proprement dites , parce qu’ell^ ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu'une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d’équations dérivées ; et c’est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux , et qu’il peut être utile dans plusieurs occasions , nous allons en donner ici une solution, pour servir de > complément à notre théorie des équations primitives singulières.

Représentons par F (x, y, a, b) — o une équation primitive entre x, y et deux constantes a ex b, dont l’une soit une fonction quelconque de l’autre, ou qui dépendent, en général, l’une de l’autre par l’équation O (a , b) — o.

O 11 aura l’équation dérivée qui en résulte , en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations

Donc, si on tire des deux premières les valeurs de a et b en fonctions de x, y, y', et qu’on désigne ces valeurs par

on aura l'équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de a et b dans l’équation de condition <P(ei, b J = o. -

Ainsi , en mettant simplement (<p, = o.

Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura pour équation primitive F(x, y, a, b) — o, les deux constant^ a et b étant liées par l’équation <b(a, b) = o.

Et l’on aura en même temps les deux équations

Donc toute valeur de y en x qui satisfera à la même équation = o, et qui ne rendra pas les fonctions <p et 4' constantes,, ne pourra pas être comprise dans l’équation primitive générale, et sera par conséquent .une valeur singulière.

Soit y = Sx cette valeur singulière, Sx étant une fonction donnée de x, en substituant Sx et S'x au lieu de y et y' dans les fonctions <p et -4, elles deviendront de simples fonctions de x; et éliminant x entre elles, on tttira une équation entre 4 constantes , elle ne sera pas comprise dans l’équation primitive générale , et ne sera, par conséquent, qu’une équation primitive singulière.

La solution se réduit donc à ceci : soit y = Sx la valeur singulière donnée de y, en fonction de x. Ayant pris une équation quelconque F (x, y, a, b) — o, en x,y, et deux constantes a et b; de cette équation et de son équation dérivée F'(x,y) o, on tirera les valeurs de a et b

Ce 2

en fonctions de x, y, y'; on substituera dans ces valeurs Ex et à ia place de y et y , on aura deux équations qui , par l’élimination de x , en donneront une en a et h, que je représente par 4» (a, b) =r o.

Si maintenant on substitue dans cette équation à ia place de a A b leurs premières valeurs en fonctions de x, y, y', on aura l’équation dérivée dont y z=z £.v sera l’équation primitive singulière, et dont F (x, y, a, b)z=z o sera l’équation primitive ordinaire, les constantes a et b étant l’une fonction de l’autre déterminée par l’équation (a, b) z= o. Prenons, par exemple, l'équation

y — a. x — o = o, son équation prime sera

y y' — ax = o; et l’on tire de ces deux équations

= jlL., b = / - x y y »

Supposons maintenant que l’on ait l’équation primitive singulière y — Ax — B = o;

elle donne

donc

y = Ax ■+■ B, y x = A x x 1 -+- zABx -t- B x ,

y y''— A‘x -t- AB;

de sorte que , par cej substitutions , les valeurs de a et b deviendront

, b = ABx

d’où l’on tire, en éliminant x, cette équation en a et l

savoir ,

(a — A 1 ) (b — B x ) — AB 1 = o;

ab — B 1, a — A l b zzz o.

Donc, substituant ici les premières valeurs de a et b en a-, v /

on aura i équation au premier ordre

“ (y ~ *yy') — B ' ~ — <4* (/ — *?/) = o,

dont celle-ci y — A x — B — o, s&a l’équation primitive singulière. Son équation primitive ordinaire sera

/ -* ax 1 — b — o; en supposant entre a et b l’équation ci-dessus;

ah — B' a — A 1 b — o;

de sorte que , comme cette équation donne b — ~ a l’équation primitive sera !

a étant la constante arbitraire.

En effet, si on cherche l’équation primitive singulière d’après celle-ci, on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à a,

d’où l’on tire

JS* A 1

Substituant cette valeur dans la même équation , on aura / — A x x * qp 1 ABx — B 1 = o; ce qui donne y — Ax ziz B ,

où les signes ambigus sont à volonté.

En général , il est facile de voir qu’on aura le même résultat * (a, b) = o , en substituant d’abord ians l'équation supposée F (x, y, a, b) = o, la valeur donnée / = Sx, et éliminant ensuite * par le moyen de son équation prime relative à x.

Or, st l’équation <b(a, b) — o, donne b — ^ a , et q U ’on substitue cette valeur a la place de b, il s’ensuivra que l’équation

aura lieu en même temps que son équation prime relative à a-. Mais a étant alors une fonction de x , l’équation prime relative à x et et, doit avoir lieu ; donc la partie relative à et aura lieu aussi en particulier; ce qui est le caractère de l'étjuation primitive singulière.

Ainsi, ayant pris une équation primitive quelconque en x, y, a et b, il n’y aura qu’à éliminer y au moyen de l'équation primitive singulière donnée, ensuite éliminer x par. celle-ci «et par son équation prime relative à x, on aura sur-le-champ une équation en et et b, qui sera l'équation de condition $ (a, b) =0, par laquelle il faudra déterminer l’une des deux constantes a et b par l’autre. Ensuite on pourra, d’après la même équation primitive, chercher, si l’on veut, l’équation dérivée par l’élimination de la constante arbitraire.

Dans l’exemple précédent, en substituant Ax — f- B pour y, dans l’équation

y* — et x* — b — ô,

on a *

dont l’équation prime est

(A 1 — a) x -t- AB — o;

celle-ci donne

et cette valeur, substituée dans la première, donne, sur-le-champ, l'équation de condition

(A 1 — et) ( B 1 — b) — A X B X = o, comme plus haut.

En prenant d’autres équations en x, y, a et b, et opérant de la même manière, on trouvera autant d’équations du premier ordre qu’011 voudra, dont la même équation

y — Ax — B = o

sera l’équation primitive singulière.

On voit aussi que la même équation en x, y, a et b pourra donner

telle équation primitive singulière qu’on voudra , suivant ia relation qu’on établira entre les constantes a et b.

Enfin, on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver ia relation entre deux constantes quelconques a, b d’une équation donnée < en x, y, a et b, pour que cette équation soit l’équation primitive ordinaire et complète, répondant à une équation primitive singulière donnée.

On peut appliquer la même méthode à ia recherche des équations du second ordre ou des ordres supérieurs dont l’équation primitive singulière sera donnée.

Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée» par

On prendra une équation. quel<?bnque en x , y, et trois constantes arbitraires a, b, c.

On tirera de cette équation et de ses équations prime et seconde, les valeurs de a, b, c en fonctions de x,y, y' et y".

On substituera dans ses fonctions les valeurs de y' et y" en x et y tirées de l’équation primitive donnée, c’est-à-dire, — f(*>y) à la place de /, et

à la place de y" ; on aura a, l, c exprimées en fonctions de x et y. ce qui donnera trois équations , d’où , éliminant x et y, il résultera une équation en a, b, c, que je représenterai par

Cette équation, en y substituant les premières valeurs de a, b, c en fonctions de x, y, y’, y", sera l'équation du second ordre , dont la proposée / -+- f(x, y) = o sera l’équation primitive singulière, et l’équation en x, y, a, b, c en sera l’équation primitive en x et y , en supposant entre les trois constantes a, b, c la relation donnée par l’équation <l> (a, b, cj — o.

Si I équation singulière donnée était du second ordre, on prendrait une équation en x, y, et quatre constantes a, b, c, Sic., et ainsi de suite.

208 analyse.

Supposons que l’équation primitive singulière soit y' zzz Ay, et

prenons l’équation

y — — x x hx — c zrz o:

d'où l'on lire les deux dérivées, prime et seconde,

y' — ax — b = o, et / — a = o; ces trois équations donnent

a z=. y",* b = y' — xy", c — y — xf — y.

Mais la proposée donne

/ = Ay, y" — A y' = Ay; donc, substituant ces valeurs, on aura

a = A x y, l z=. Ay(i — Ax), c =y(i — Ax -J x x ).

Eliminant x et y on trouve l’équation

a H— A 1 (b x — xac) = o,

dans laquelle , en substituant les premières valeurs de a, b, c, il vient l'équation du second ordre

dont la proposée y ' z=. A y sera l'équation primitive singulière , et l’équation supposée

y ■ — — x — bx — c zz: o 4 2

sera l'équation primitive en x pt y, en supposant l’équation tt x -+- A 1 (b x — 2 ac) zzz o; de sorte que , comme cette équation donne

on aura

jr . , a» A 1 b'

x xa

a et b étant les deux constantes arbitraires.

Les

- Les équations de la forme ® (a, b, c) — o , que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités a, b, c , & c. sont les valeurs en x , y, y', &c. des constantes a, b, c, &c. tirées d’une équation primitive F (x , y, a, b, c. . . ) — o, et de ses dérivées F' (x, y) — o, F" (x, y) = 0 , &.C., constituent une classe remarquable d’équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d’une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l’équation.

Pour le démontrer, soit d’abord F(x, y, a, b) = o une équation quelconque en x, y , et deux constantes a et b.

En regardant ces constantes comme arbitraires, l’équation dont il s’agit sera l’équation primitive d’une équation du second ordre en x, y, yf et y", qui résultera^ de l’élimination de a et b au moyen des deux équations dérivées F 1 (x, y) — o, F” (x, y) z=z o; et cette équation pourra toujours , comme nous l’avons vu , se mettre sous la forme

Maintenant, si on commence par tirer les valeurs de a et b des deux équations

F (x, y, a, b) z= o, et F 1 (x, y) = o, et que ces valeurs soient représentées par les fonctions

*?(*> y> /) et y ’ y').

il est clair que les deux équations

a — <p (x, y, y') et b — \(x, y, y'),

où a et b sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier ordre de l’équation précédente y" ~\~f(x, y, y') =0; ' par conséquent leurs dérivées

<P' (x, y, y') == o et (x, y, y') = o

devront coïncider avec cette même équation, en donnant la même valeur dey" en x, y et y', ' -

XII S Cahier. * D d

Or <p'(x, y. y') = <p' (x, y ) -+- y" <?'(/)

et \'(x, y, y') = (x, y) -+- / (ÿ),

juivant la notation abrégée que nous avons adoptée ; donc on aura 9 (*, y) 4Y *>y)

expressions de y" qui seront nécessairement identiques. On aura donc

par conséquent , en substituant ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées <p' (x.y.y'J, 4' / (*> y> /)> c’est-à-dire , de a' et b', et regardant maintenant a et b comme fonctions de x,y, y', on aura • ■

Cela posé, soit 4> (a, b) = o une équation du premier ordre, sa dérivée sera

et en substituant , les valeurs de a', b', qu’on vient de trouver, elle deviendra

Cette équation a , comme l’on voit , deux facteurs , l’un qui n’est que du premier ordre, comme l’équation proposée, l’autre qui contient y" , et qui donne proprement l’équation dérivée du second ordre.

Celui-ci donne l’équation y" f(x, y, y') = o; d’où il s’ensuit a ' = o, b' = o par les formules trouvées plus haut. De sorte que ies fonctions a et h seront constantes.

Prenant donc a et b pour^des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre <p(x,y t y') = a, \(x,y,y') — b;

A N A LYSE, d’où, éliminant la fonction dérivée y', on aura une équation en x. y, a et b, qui sera l’équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l'équation F(x, y, a, b) = o, d’où l’oif avait "déduit les fonctions <p(x, y. y') et \(x,~y, y' ).

Mais il faudra que les constantes a et b de cette équation, satisfassent à la condition $ (a, b) ==: o donnée par l’équation proposée; ce qui les réduira à une seule , qui sera par conséquent la constante arbitraire de l’équation primitive de la proposée.

Le facteur du premier ordre tp' (y') x (a) (ÿ ) * (b)

donnera, de son côté, l’équation en x, y et y',

en supposant qu’on y mette pour a et b leurs valeurs <p(x,y,y') et (*>*y . y); et cette équation, d’après la théorie exposée dans la leçon précédente , .donnera sur-le-champ l’équation primitive singulière de la même équation proposée , en éliminant y' par le moyen de ces deux équations.

Or il est facile de voir que, si on représente par ’i'/x, y, y') = o la fonction donnée Q>(a, b), dans laquelle a — <p(x, y, y'), et b = \(x, y, y'), ce facteur se réduira simplement à -i' (/), puisque les expressions <f>' (y') et ■>]/ (y' ) ne sont que les fonctions dérivées •fr' (/) = o, de à et b, prises par rapport à y' seule.

Ainsi on aura l’équation primitive singulière de la proposée ■f - (x , y, y') o, dans le câs où elle est réductible à la forme 4> (a, b) = o, en éliminant y' de cette équation au moyen de sa dérivée prise relativement à y' seule.

En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs , on prouvera que , si l’on a ine équation du second ordre , représentée par "i '(x, y. /, y" ) — o , dont le premipt membre puisse être une fonction quelconque (a, b, c) de trois fonctions a, b, c ; déterminées par une équation quelconque F (x , y, a, b, c) zzz o , entre x, y, a, b, c, et par ses deux équations dérivées F’ (x, y) — o, F” (x, y) = o, prises en regardant a, b, c comme constantes, l’équation proposée aura nécessairement une équation primitive singulière du

premier ordre , qui sera ie résultat de l’élimination de y", au moyen de son équation dérivée 4 // (y") = o, relative à y".

• Et l’on aUTa l’équation primitive en x et y, par l’équation même F (x, y, a, b, c) = o, en prenant les constantes a, b, c de manière quelles satisfassent à l’équation donnée <b(a, b, c) = o; de sorte qu’il en restera deux d’arbitraires.

Et de même pour les équations des ordres supérieurs.

Prenons l’équation

x 1 — 2 a y — a — b — o ; sa dérivée sera x — a y' z=. o; de ces deux équations on |ire

Si maintenant on prend ^>our l’équajion <b (a, b) = o, celle-ci, b = à une constante, on aura l’équation du premier ordre

où b est une constante quelconque.

Ainsi on aura tout de suite l’équation primitive singulière, en éliminant y' au moyen de l’équation dérivée prise relativement à y', laquelle sera

d’où l’on tire y' =r ; et substituant cette valeur de /, on a

x x -+- y* — b = o, comme on l’a déjà trouvé par d’autres voies. Prenons encore l’équation

bx — c = o,

on aura les deux dérivées

y — a x — b rrr o , y" — a = o ;

doù l’en tire

xy , c z=z y — xy H — y

Soit, par exemple, $ (a, b, c) c ~ b 1 — a , on âura l'équation du second ordre

• • ' ♦ dont l’équation primitive singulière résultera de l'élimination tle y“ , au moyen de son équation dérivée relative à y"; savoir,

-j h- *x(/ — xy") — 2 y" — o;

ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé.

Lorsqu’on connaît i’cquation primitive F (x, y, a, b . . .) o, avec l’équation $(a, b. . .) — o, qui donne la relation entre les quantités a, b, c, 8 é c. , on peut trouver directement l’équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions de x , y, y', & c.; car, ayant réduit les quantités a, b, & c. à une de moins .par le moyen de l’équation de condition $(a, b. . .) z=z o , il n’y aura qu’à appliquer à l’équation primitive F (x , y, a; b. . .) = o, la méthode générale exposée dans la leçon quinzième.

Mais la difficulté est de reconnaître à posteriori , si des . fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d’une même équation primitive , de manière quelles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.

Pour la résoudre, j’observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions, est que leurs dérivées ont entre elles des rapports exprimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s’agit. En effet, par rapport aux fonctions du premier ordre, nî>us avons déjà vu plus haut que les fonctions $(x, y, y’) et 4 ^*» y. /)> qui

représentent les valeurs des constantes a et b tirées de l’équation géné-

rale F (x, y, a, b) = o, et de sa dérivée F’ (x, y) =r o, sont telles que leurs dérivées <p r (x, y, y' ) et (x, y, y'), que nous avons désignées par a' et b‘, ont la forme suivante

de sorte que l’on a simplement

où l’op voit que les fonctions dont il s’agit ont la propriété que la fonction seconde y“ disparaît du rapport de leurs dérivées, et que ce rapport est le même que si on prenait ces dérivées relativement à la variable y' seule.

Soit, par exemple, l’équation à la ligne droite y ax b — o , sa dérivée sera/' -f- a — o; ainsi on aura a — — y' et b — xy' — y.

On aura donc , en dénotant simplement par. <p et 4 ces expressions de a et b, <p = — y', 4 xy' — y; prenant les fonctions dérivées,

il viendra <p' = — y", 4* = xy" ; donc = — . *

Si on ne prenait <p’ et 4-' que relativement à /, on aurait <p’ = — i ,

4' = x, et = , comme précédemment.

Soit encore l’équation

. y * — x 1 — z a x — (— a 1 — b 1 crc o,

qui est à un cercle dont le rayon r= b, et dont le centre est dans l’axe des abscisses à la distance a de leur origine.

La dérivée ‘sera y y’ x — a — o; d’où l’on tire<* = x -H yy' = <pi

de là on atira, par les substitutions, b— y V (i -+-/*) = 4'- Sj , maintenant, on prend les dérivées de <p. et 4» on aura

?>' = .■ ->-/'->-//■ +'=///'■ ■+-/'!-+- f/Sn -

et de là

Si on ne prenait les dérivées <p' et que relativement à y', on aurait

<P' = >’• 4 ' = VTT

donc’

comme ci-dessus.

On pourrait prouver, par une analyse semblable, que les fonctions de x, y, y' et y" J qui expriment les valeurs des quantités a, b, c tirées d’une équation F (x, y, a , b , c) = o, et de ses deux dérivées F' (x, y) = o, F" (x, y) rzz o,- dans lesquelles ces quantités ‘sont traitées comme constantes, ont des dérivées dont les rapports sont indépendans de la fonction tierce y"’, et qui sont les mêmes que si on 11 e prenait ces dérivées que relativement à la fonction seconde y" , parce qu’en désignant ces fonctions par

<P (x, y, y', y"), 4 ( x , y, /. y), et i(x, y, / y), les trois équations

jp (x,y, //) = a, 4 (x, y, /, y’I = b, l(x,y,y', y") = c,

où a, b, c seraient des constantes arbitraires, seront les trois primitives d’une même équation du troisième ordre, telle que

à laquelle les dérivées de ces équations devront, par conséquent, satisfaire ; et de même pour les fonctions du même genre des ordres supérieurs. Mais on peut s’en convaincre encore d’une manière plus directe, que voici :

En dénotant simplement par <p et 4 les fonctions <p(x, y, y'), 4- (x,y,y'), ■ qui expriment les valeurs des instantes ’a et b tirées de l’équation F(x, y, a, b) = o, et de sa dérivée F' (x, y) = o , il est clair que l’équation F (x, y, <p, 4,1 = o sera identique; ^ie, par conséquent, sa dérivée

F' (x, y) -+- <p r F' (<p) -+- 4'FY4; = 0

aura lieu d’elle-même; mais on a déjà F' (x, y) = o , donc on aura séparément l’équation <p' F' (<p) -f- 4 '' F 1 (\) = o, laquelle donne

Or, comme 4 et q> ne contiennent que x, y et /, il est visible que

‘ la valeur de -|v- ne sera qu’une fonction du premier ordre.

Ainsi , dans le dernier exemple , où

F(x, y, a, b) ±= y % -4- ** — lax a — b\ si on change a en <J>, et b en 4* on aura

donc

donc — — - = — — , comme nous l’avons trouvé par une autre

voie.

De môme, si <p, 4> X sont les fonctions dex.y ,/ et y“ qui exprimetit les valeurs des constantes a, b, c, tirées de l’équation F (x, y, a, b, c)= o , et de ses deux dérivées F' (x, y fzzz o, F" (x,y) o, en substituant ces fonctions à la place de a, b, c, on aura des équations identiques, dont, .par conséquent, les dérivées auront lieu aussi.

On aura donc, et» premier lieu, F(x, y, <p, 4, X) =.o, et, par conséquent , sa dérivée

F(x,y) -+- <p'F'(<p) -4- 4 SF(\) -h X'F'(X) = o; mais on a déjà F' (x, y) — o ; donc on qura l’équation

<P' F' (ç) -+- \'F'(\) H- X'F'/XJ = o.

Ensuite , comme l’équation F'(^,yJ = o contient , outre les 0 quantités x, y, y', les trois fonctions 4» X> si on la dénote par

f (x, y, y', <p. 4» X), on aura aussi l’équation identique f (x, y, y', <p, 4 / . X) = ° » et» par conséquent, la dérivée

$(*. y. // h- vT(<P) -H 47' tà) -+- Vf (V = °ï

mais on a déjà f (x, y, y') — o, puisqu’il est visible que f (x, y, y') est la môme chose que F" (x, y); donc on aura aussi l’équation

<p'f (<p) 4- 774/ -i- Vf (X) = o.

• • Si on combine celte équation avec la précédente, il est clair que,

puisque les quantités <p' , 4-', X' n'y sont qu’à la première dimension » .

et en multiplient tous les termes, il est clair, dis-je, qu’on en tirera les

valeurs

valeurs de

et de en fonctions des quantités .y, y, y', ^

** », et £; de sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre.

Et ainsf de suite. flP

Si les fonctions et ^ exprimaient les valeurs des 'constantes a. et b tirées de l’équation du premier ordre F (x, y, y*, a. b) — o, et de sa dérivée F' (x, y, y') o , ces fonctions seraient alors du second ordre ; et on trouverait , par le même raisonnement , que le rapport

~~r de leurs dérivées, serait exprimé également par — ; de sorte

que ce rapport serait une fonction du second ordre, et, par conséquent, du même ordre que les fonctions <p et rj/.

En général, il résulte de l’analyse précédente que si <p, |, &c.

sont des fonctions d’un ordre quelconque qui expriment les valeurs des constantes a, b, c, &c. , tirées d’une équation en x, y, y', y", &c. , a, b, c, &c., et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes. *

Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de .v , y, y', y" , &c. sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes , c’est-à-mre, dans lesquels il n’entre que des fonctions dérivées dey du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d’autant de constantes tirées d’une équation primitive et de ses dérivées successives ; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.

* Car, si on désigne par < p, vJ,, £, &c. les fonctions dont 11 s’agit, et que M, N , &c. soient les valeurs des rapports des darivées 4/. £', &c. à la dérivée <J>', ces valeurs étant, par l’hypothcse, des fonctions du même ordre que les fonctions données -4,^, &c., on aura donc les équations 4' = M<p'. I' — Nq>', &c.

Supposons <p' — o, on aura, donc aussi — o, z=z. o,; donc <p = a, 4 1 = b , £ = c, &c. , a, b, c, & c. étant dos constantes.

Ces différentes équations seront donc autant d’équations primitives de la Xll. e Cahier. E e

même équation p' = o, puisqu’elles ont lieu en même temps quelle; par conséquent, en éliminant de ces mêmes équations , <p — a, 4- = b, ‘ £ — c, &c., les plus hau^s fonctions dérivées de la variable y, on aura une équation primitW d’un ordre inférieur, qui contiendra les constantes a, b, c, Scc. , et qui sera l’équation primitive génératrice de la forme F ( x , y, y' , y" . . .a , b, c . . . ) = o , d’où résultent les fonctions <p , -J,, £, &c. , en les prenant pour les valeurs des constantes a, b, c, &c. , tirées de cette équation et de ses dérivées successives F' (x, y, y', y" .. .) = o, F" (x, y, /,./ . . .) = o, &c.

Ainsi , si l’on avait entre ces fonctions une équation quelconque d> (<p, <4i = o , "et que l’on reconnût que leurs dérivées

&c. ont entre elles des rapports du même ordre que ces fienctions , on aurait tout de suite les équations primitives <J> = a,

4 b , % ■=. c, Scc.; et. de là l'équation primitive principale F (x, y, y. . ,a,b, c, Scc.) — o, dans laquelle les constantes a, b, c, & c. seraient arbitraires, hors une qui devrait être déterminée par l’équation donnée, laquelle se réduit alors à $ *( a , b, c . . .) — o.

On aurait ensuite l’équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.

Par exemple, si on pressait l’équation du premier ordre *

sans quon sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exprimer les constantes tirées d’une équation primitive et de sa dérivée, on examinerait d’abord leurs dérivées , qui sont 1 -4- y 1 -4- y y“ et

/ Y ( ( -+- y' 1 ) — - y y y — ; comme celle-ci se réduit à

, on voit d’abord que son rapport à la première sera

-, sans <jbe la fonction seconde y"

exprimé simplement par ^ J — —

puisse y entrer. On est donc assuré par-là que les deux fonctions x - 4 - y y' et y Y ( 1 -4-yy peuvent provenir d’une équation primitive qu’on trouvera en faisant les deux équations x -4- y / — a , y Y ( 1 -4 - /*) = b, et éliminant y', ce qui donne celle-ci, y ' - 4 - (a — x) 1 = b 1 , laquelle

ANALYSE. 2 r 9

corncide avec celle d’où nous avions déduit les expressions de a et b dans le dernier exemple.

Maintenant l’équation proposée deviendra simplement (a, b) = o, par laquelle on déterminera ^*en a; de sorte que l’équation précédente ne contiendra plus que la constante arbitraire a, et sera alors la •primitive complète de la proposée.

On pourra tirer de là la primitive singulière , en éliminant a au

moyen de la dérivée prise par rapport à a seul , suivant la méthode

de la leçon quinzième , ou bien il n’y aura qu’à éliminer y' de la

proposée, au moyen de sa dérivée prise par rapport à y' seule, comme

nous l’avons vu plus haut relativement aux équations de ce genre.

LEÇON DIX -H UITIÈME.

Sur diÿ'érens Problèmes relatifs à la théorie des Équat'tpns primitives singulières. . •

Presque dès la naîssancp du calcul différentiel, il s’est présenté aux géomètres , des problèmes qui dépendent de cette théorie , et qu’ils ont résolus par des artifices particuliers.

Leibnitz , dans uif mémoire intitulé : Nova calculi differentialis applicatio, et Inséré dans les Actes de Leipsick de i 694 (L'oyez I e n -° LXI des Œuvres de Jacques Bernoulli), donne la manière de trouver la courbe fornjée par l'intersection continuelle d’une infinité de courbes renfermées dans une même équation, en faisant varier dans cette équation le paramètre qui les différencie; ce qui donne une nouvelle équation par laquelle on a une valeur du paramètre en fonction des coordonnées , et cette valeur étant substituée dans l’équation proposée , donne tout de suite une équation finie pour la courbe cherchée.

Il applique ensuite cette méthode à une question qu’on regardait alors comme très-difficile, et qui consiste à trouver la courbe dont les normales ou perpendiculaires ont une relation donnée avec les parties de l’axe interceptées entre l’origine des abscisses et les normales.

Leibniti considère c«te courbe comme formée par l'intersection continuelle d’une infinité de cercles qui ont leurs centres sur l’axe; alors les rayons des cercles deviennent les normales à la courbe , et la relation donnée par le problème, entre les normales et les parties correspondantes de l’axe , a lieu entre les rayons et les abscisses qui répondent aux centres des cercles.

Nommant x, y les coordonnées du cerclera l’abscisse qui répond au centre, et b le rayon, on aura

savoir,

y* -+- x l — ia x a 1 — b 1 = o ,

pour l’équation du cercle.

Maintenant l’équation proposée entre b et a, donnera b en fonction de a; il ne restera ainsi que le paramètre a, qu’on déterminera, comme on vient de le dire; et l’équation en x et y deviendra alors celle de la courbe formée par l’intersection de tous les cercles, et aura, par conséquent , la propriété demandée.

Supposant, avec Lcibnit j, que l’équation entre a et b soit celle de la parabole b 1 = ak, k étant une constartte, l’équation en a-, y et a.

sera

— ak' =

Faisait varier a seul suivant la notation du calcul différentiel, on a

f( | ? jp

( — ■ i.v -+- la — k) Ja o; d'où l’on tira a zzz ; substi-

tuant cette valeur dans l’équation précédente, on a, après les réductions,

y - kx — = o

pour la courbe cherchée,* qu’on voit être aussi une parabole.

On peut s’assurer à posteriori , que cette courbe résout le problème. En effet , on sait que y étant l’ordonnée qu’on regarde comme fonction de l’abscisse x, la fonction prime y' exprime le rapport de l'ordonnée à la sous-tangente, lequel est le même que celui de la sous-normale à

A N A LYSE. : 2 - 2 -l

l’ordonnée ; de sorte que y y' est l’expression de la sous-normale ; p»r cônséqueijl y Y ( i -+- y’ 1 ) sera celle de la normale, et x -f - yÿ celle de la partie de l’axe entre l’origine et la normale ( Voyez la seconde partie de ta Théorie des Fonctions analytiques).

Or, 1 équation qu’on vient de trouver donne y 1 z=z kx , et,

• ' * fa 1

* prenant la dérivée, i y y' zzzk; donc la normale sera Y (kx H ),

et la partie de l’axe sera x , laquelle (fiant multipliée par k .

devient , comme l’on voit , égale au carré de la normale.

Le problème est donc résolu de cette manière; cependant on doit être surpris que Leibniti n’ait pas remarqué que sa solution n’admet point de constante arbitraire dans l’équation de la courbe, .tandis qu’il est évident que le problème conduit naturellement à une équation différentielle, dont l’intégrale ne peut être complète que par l’introduction d’une constante arbitraire. •

En effet , nomnftnt a la partie de l’axe qui répond à la normale , et b la normale, on a, comme on vient de le voir, les expressions

a = x - +- yÿ, b = y Y (i y");

donc, si on veut que b = Fa, on aura l’équation dérivée . y V (i -+- /V = F(x -J- y y'), dont il faudra chercher l’équation primitive.

Suivant la notation du calcul différentiel , on aurait à intégrer l’équation différentielle

Dans l’exemple proposé, o%a b* — a k, par conséquent, Fa = / (a AL et l’équation dérivée devient .

Si on tire de cette équation la valeur de y y', on a

ou bien

Divisons toute l’équation par î V ( — -4- kx — y x ), on aura

équation dont la primitive est visiblement

Æ- étant une constante arbitraire. •

Cette équation devient , en faisant disparaître le radical ,

-i t- kx — / = fk — x)\

équation au cercle.

« Si on fait h — a — , a étant la constante arbitraire , on a

«elle-ci,’ ‘

7 1 - 4 - x l — xax -4- a — ak zrr o.

Cette équation est, comme l’on voit, la même .que l’équation au cercle dont Leibnitz a tiré sa solution par la variation de a; ainsi on peut dire que l’équation au cercle, dans laquelle a, abscisse qui répond au centre, est^la constante arbitraire et dont le rayon est V ak, est l’équation primitive qui résout le problème dans toute sa généralité : il est évident, en effet, que tout cercle dont le centre sera sur l’axe, et dont le rayon aura, avec la distance du centre à l’origine des abscisses, la relation qu’on suppose entre la normale et la partie de l’axe correspondante, satisfera à la question. *

L’équation à la parabole trouvée par Leibnitz, ne peut donc être qu’une équation primitive singulière; en effet, en prenant dans la même équation au cercle, les fonctions dérivées relaiivement à la constante arbitraire a, comme on l’a enseigné au commencement de la leçon quinzième , on a Icquation — ix i a k = o , laquelle

donne a

cercle, donne y 1 —

-, valeur qui, étant substituée dans l'équation au

kx — o, comme Leib/iit7 l’a trouvé;

d’où l’on doit conclure que la solution de Leibnitz n’est donnée que par l’équation primitive singulière.

On a vu que Leibuiti avait déduit cette solution de la considération de la courbe formée par l’intersection continuelle de tous les cercles que l’on aurait en faisant varier continuellement la constante a; c’est, en effet, une propriété générale des équations primitives singulières, d’appartenir aux courbes formées par l’rntersection continuelle des courbes représentées par l’étjuation primitive complète , en faisant varier continuellement la constante arbitraire , qui différencie toutes ces courbes.

Comme cette propriété est, pour ainsi dire, la caractéristique de cette espèce d’équations primitives , il est intéressant d’en avoir une démonstration. .

Pour cela , on remarquera que ta courbe formée par l'intersection continuelle d’une série de courbes infiniment peu différentes l’une de l’autre , n’est autre chose que la courbe qui embrasserait ou toucherait ' toutes ces courbes, et qui aurait, par conséquent, dans chacun de ses points, une tangente commune avec une de ces mêmes courbes.

Or, soit F (x, y, a) = o l’équation générale des - courbes dont il s'agit, tf^tant le paramètre qui est constant dans chacune d’elles, mais qui varie de l’une à l’autre ; comme la courbe qui doit les embra'sser a un point commun avec chacune de ces courbes , elle aura aussi les mêmes coordonnées x, y, et la même équation entre ces coordonnées;

- mais, avec cette différence que le paramètre a sera variable dans, l’équation F (x, y, a) = o, tant qu’elle appartiendra à la courbe qui embrasse toutes les autres.

De plus il faudra que la position de la tangente soit la même dans la codrbe où a est constant , et dans celle où a est variable.

Or, on sait que cette position ne dépend que de la fonction prime/’, puisque — est l’expression de la sous-tangente ; donc il faudra que la

IZJf •ANALYSE.

valeur de y', tirée de la dérivée de 1 équation F (x, y, a) = o, soit la même, soit qu’on y regarde a comme constante, soit qu’on la regarde comme une variable fonction de x; ce qui ne peut avoir lieu , à moins que la partie de la fonction dérivée relative à a ne soit nulle.

Cette partie est, suivant la notation adoptée, a' F' (a) ; donc on aurft l’équation F' (a) = o, laquelle servira à déterminer a en x et y. Or, c^te équation est, comme l’on voit, la même que celle qui donne l’équation primitive singulière, lorsque F(x, y„a) — o est l'équationprimitive ordinaire, dans laquelle a est la constante arbitraire, comme nous l'avons vu dans la leçon citée.

Donc l’identité de l'équation primitive .singulière et de l’équation de la courbe, qui embrasse toutes celles qui sont comprises dans l’équation primitive ordinaire, est démontrée, et résulte des principes mêmes de la chose.

Cette considération géométrique est très-importante pour la théorie des équations primitives singulières; elle sert à lier entré elles les courbes représentées par l’équation primitive .ordinaire-, et par l’équation primitive singulière , comme le principe analytique qui sert de1>ase à cette théorie , sert à lier entre elles ces mêmes équations par la variation de ia constante arbitraire.

Ainsi le problème analytique que nous avons résolu au commencement de la leçon précédente, se rîduit à trouver des courbes qui', ayant un paramètre variable, puissent former, par leur intersection mutuelle, une courbe donnée.

On peut donc présenter ce problème ainsi :

Ayant deux courbes dont les équations soient données , et dont l’une contienne deux constantes arbitraires , trouver la relation nécessaire entre ces deux constantes, pour qu’en faisant varier celle qui demeure arbitraire, on ait une infinité de courbes du même genre, qui, ppr leur intersection continuelle, forment toujours l’autre courbe donnée.

Pour le résoudre, il n’y aura qu’à chercher, par les méthodes«xposées dans la, leçon précédente , la relation entre ,les constantes a et i de 1 équation donnée F(x,y, a, b) — o, pour qu’à cette équation, regardée comme une équation primitive ordinaire, réponde lequation * primitive

primitive singulière y — £x, qui sera celle de la courbe qui doit être formée par l’intersection continuelle des courbes données par l’autre équation. Voyez la note du C. en Hachette, à la fin de cette leçon.

Le problème résolu par Leibnitz, l'a été aussi par Jean Bernoulli, dans ses leçons de Calcul intégral (toai. III des oeuvres de Jean Bernoulli, leçon xiv), mais par une autre voie qui l’a conduit au même résultat. En considérant deux normales infiniment proches, il observe que l’accroissement infiniment petit de la normale, est à l’accroissement de la partie de l’axe qui répond à la normale , comme la partie de l’axe comprise entre l’ordonnée et la normale, est à la normale même; ce qui est facile à voir par la similitude des triangles.

II a ainsi, suivant l’esprit du calcul différentiel, en nommant, comme plus haut, a la partie de l’axe qui'répond à la normale, et b la normale même, l’équation

d’un autre côté, la considération du triangle rectangle dont b est l’hypothénuse , et y et a — x , les deux côtés , donne l’équation

De ces deux équations il tire

Or les conditions du problème donnent b en fonction de a; ainsi on aura x et y en fonction de a, et chassant a, on aura l’équation de la courbe cherchée en x et y. . •

En supposant, cot*ne dans l’exemple de Leibnitz, & — V (k a),

on a -4— z=z — V (—); donc , faisant ces substitutions dans les valeurs de x et y, on aura

x ■ a% / = V (ak —);

d’où, éliminant a, il vient /* — kx H — pour l'équation de la

XII/ Cahier. F f .

courbe cherchée, qu’on voit être la même parabole que Leibnitz avait trouvée par une méthode tout-à-fait différente.

Telle est la solution de Jean Bernoulli, qui coïncide, comme on le voit, avec celle de Leibnitz, et sur laquelle, par conséquent, on peut faire les mêmes observations.

D’abord on peut être* étonné que Bernoulli n’ait pas remarqué que ce. problème appartient essentiellement à la méthôde inverse des tangentes , et que, par conséquent, la solution générale dépend d’une intégration qui doit nécessairement .introduire une constante arbitraire dans l’équation entre x et y; et cela est même d’autant plus étonnant, qu’il avait donné auparavant, dans les mêmes leçons, les expressions différentielles de la normale et de la sous-normale, et que le problème nte consiste qu’à établir, entre ces quantités, une relation donnée.

Ensuite il est clair, par ce que nous avons vu plus haut, que la solution de Bernoulli dépend d’une équation intégrale ou primitive singulière ; et pour le démontrer par sa propre analyse , il suffit de considérer qu’on aura directement l’équation en x et y, en substituant la valeur de b en a donnée par le problème dans les deux équations

et y H- (a — x) = b ,

et éliminant ensuite a.

Ainsi, en supposant b — Y (ka), ces deux équations 3eviennent k

y' -b- (a — */ = ka;

la première donne — — a — x ; d’où l’on gre a — x -t- —

ce qui, étant substitué dans la seconde^' on a y 1 H = Æx H

savoir, y* = kx -f- , comme on l’a trouvé.

Or, je remarque que l’équation différentielle #

ou bien l <i b — (a — x) d a, n’est autre chose que la différentielle de l’autre équation

en faisant varier seulement a et b. *

Ainsi , comme b est supposé fonction de a , la solution se réduit à faire varier a seul dans l’équation

et à éliminer ensuite a au moyen de cette nouvelle équation , ce qui revient, comme l’on voit, au procédé de Leibnit j, puisque l’équation est la même que son équation au cercle : on voit aussi que ce procédé coïncide avec celui qui donne l’équation primitive singulière de l’équa- , lion dérivée ou différentielle , dont la même équation

y' -4- x 1 — 2 ax -4- a — b * = o serdît l’équation primitive, a étant la constante arbitraire.

On aura donc cette équation dérivée, en éliminant a de l’équation primitive par le moyen de sa dérivée y y' -4- * — a = o; ou bien en déterminant a et b, par le moyen de ces deux équations , et substituant leurs valeurs dans celle qui renferme la relation entre les quantités a et b, donnée par les conditions du problème.

Or ce* équations donnent

a — x -+- y y', b = y Y ( 1 - 4 - / l J, expressions qu'on voit être les mêmes que nous avons trouvées plus haut pour la normale b, et pour la partie de l’axe a qui répond à cette normale ; de sorte que si la relation 'entre ces deux quantités est représentée, en général, par <b(a,b) = o, lcquation dérivée qui répond à la primitive

y % - 4 - x 1 — 2 ax Ht a* — A* = o

sera

C’est l’équation générale du problème de Leibniti et de Bernoulli, dont ils ont trouvé l’un et l’autre, par des méthodes différentes, l’équation

Ff 2

primitive singulière , sans se Jouter de l’espèce de contradiction

que leurs solutions présentaient avec les principes même du calcul «

différentiel.

Avant de quitter cette analyse , il est bon de montrer à priori, pourquoi les expressions des constantes a et b , tirées de l’équation au * cercle

et de sa dérivée y y’ -f- x — a = o , sont les mêmes que celles qu’on trouve pour la normale et pour la partie correspondante de l’axe, . dans une courbe quelconque rapportée aux coordonnées x, y.

■ Si l’on conçoit un cercle qui touche une courbe dans un point, il est clair que son rayon , dans ce point , deviendra la normale à la courbe. Or, l’équation dont il s’agit, est, comme nous l'avons déjà vu, celle d’un cercle dont le centre est dans l’axe et répond S l’abscisse a, et dont le rayon est b; et pour que le cercle touche une courbe donnée, il faut premièrement qu’il ait un point commun avec elle, dans lequel, par conséquent, les coordonnées x, y seront les mômes; il faut ensuite que la valeur dey' soit aussi 1» même dans le cercle et dans la courbe,

• oomme nous l’avons démontré rigoureusement dans la seconde partie de la Théorie des fonctions analytiques : ainsi , pour que b devienne la normale à la courbe, et que a soit la partie de l’axe qui y répond, il faudra que l’équation y* — t- (x — a) 1 — b 1 = o , et sa dérivée, prise en regardant a et b comme constantes , y y' x — à — o , aient lieu en même temps , par rapport’ aux coordonnées x, y de la courbe; d’où l’on tire, pour a et b, les valeurs données ci-dessus.

Les solutions de Leibniti et de Jean Bernoulli offrent les premiers exemples des équations primitives singidières ; mais Tailor est peut-être le premier qui ait trouvé directement une équation primitive singulière d’après l’équation dérivée.

Dans son ouvrage intitulé Methodus incrément oium , qui a paru en 1715, Tailor étant parvenu (pag. 17), pour la solution d’un problème, à l’équation différentielle (j’emploie ici, pour plus de commodité, la

analyse; 22 ÿ

notation, différentielle k la place de la notation fluxioftnelle des anglais ,’ ces deux natations exprimant la même chose dans le fond) , '

1 = y — *zy -jj 0.-+- z)

dans laquelle^ est fonction de ç, il la différentie, et il obtient i’équa-i tion, où J z est constant

d’où il tire

f— 2 z? *+■ 2 (' -+- zv 4t^4f — o:

<*V = o , ou iy — ■( i h- z 2 ) == .o.

Cette dernière équation donne — — l’équation proposée à

^ y zz

t-j- ; ce qui réduit

savoir , i

problematis.

Z* = y 2 , qui est, dit -il, singularis quadim saiuiio

•En faisant d' y = o, on a y = a -f- £3; donc

- = rtet y = a,

• lorsque j = o; mais, dans ce cas, la proposée donne i == a H- b % ; donc b = V ( 1 — et 1 ), a étant la constante arbitraire.

11 est évident, par ce que nous avons démontré dans les dernières leçons, que la solution que Tnilor nomme singulière, n’est autre chose qu’une équation primitive, singulière de l’équation du premier ordre

1 = / — *zy/ -+• ( 1 -+- £)/',

dont y = a - 4 - j V ( t — a) est l’équation primitive complète ; car la dérivée de celte équation du premier ordre étant ( en faisant 1' — j )

. / 2 zy -+- 2 ( t -+- zV /] y = o,

le facteur dû premier ordre — 2 Z y -f- 2 (1 -+-£)/ donnera l'équation primitive singulière, et l’autre facteur / donnera l’équation priiniti\ e complété, comme nous lavons montré dans la leçon septième.

i On peut aussi* tiret ia première de la seconde , par les principes exposés dans la leçon quinzième; car l’équation primitive complète étant y z=. a -H Z V ( t — a), sa dérivée relative à a sera