CL

o=l— ^ ; éliminant • a de ces deux équations , on

Long-temps après, en 1754, Claiïaut, en résolvant quelques problèmes sur des courbes , fut conduit à une équation différentielle , dont" il obtint aussi deux intégrales différentes par le moyen de la différenciation ; il était parvenu à ces deux équations

(x — u) fia = y — <I>a, et dy = Vludx,

Uu et <t>u étant des fonctions données d’une variable u qu’il s’agissait d’éliminer.

L’élimination étant impossible en général , il eut l’idée heureuse de

différentier la première , et d'y substituer la- valeur de dy tirée de la

seconde; ce qui donne cette équation

( Ylu — uYl'u — & u) du = o;

d’où l’on tire deux valeurs de u, l’une donnée par l’équation ,

n« — uïl'u — G>'a = o;

l’autre par l’équation du = o, d’où l’on tire u = a, a étant une constante arbitraire.

Ces deux valeurs de u, étant substituées dans la première équation (x — u) n« = y — - «Da,

donneront deux intégrales en x et y, l'une sans constante arbitraire, l’autre avec ia constante arbitraire a, et qui sera

(x — a) Tla =7 — &a,

laquelle ne donne, comme l’on voit, que des lignes droites.

Clairaut examine ensuite quelques cas particuliers du mfyne problème, où il fait voir comment le calcul intégral ne donne jamais que les lignes droites exprimées par l’équation générale

xflrt — alla = y — $>a,

et comment les équations trouvées par la première méthode, échappent à l'intégration. *

« J’ai, été bien aise, dit-il, de montrer cette singularité de calcul, qui s’est présentée d’elle -même ; on pourrait l’énoncer , indépendamment du problème présent, de cette manière :

. » Il y a des équations différentielles capables d’avoir deux solutions

différentes l’une de l’autre, dont l’une (et même dans ce cas-ci la plus générale ) ri’a pas besoin du calcul intégral ; telles sont les équations

• x dydx — dy 1 zzz. y d x 1 — dy d x,

à laquelle .

4 y ■=. x" i x H— i , et i ax — u — — 4 y -H 1 — a satisfont également ; et

ady x - 4 - xdy 1 — y dydx = xdxdy -4- ydx \ qui donne pour solutions

V y — V 4 a, et b 1 y — zbx -+- 2 by — — 4 a.

» En général, 1 ~ ’ 7 = à une fonction quelconque de x, y, dx,

dy serait de cette nature; intégrée, elle donnerait une équation, et, sans aucune intégration, <b(x, y) = o serait l'autre. »

Voyei les Mémoires de l’ Académie des Sciences pour 1734,/. 2tj. En rapprochant ces différentes solutions de notre théorie, il est évident que celles qui ne renferment point de constante arbitraire, ne sont que des équations primitives singulières, et que les autres, qui contiennent une constante arbitraire , sont les équations primitives complètes ; mais Clüiraut a tort de regarder ces dernières comme moins générales, parce qu’elles ne représentent que des lignes droites.

A l’égard de l’équation différentielle

— —, T~ = F ( x -y- ’j) <ix -

on ne peut pas dire, en général, avec Clairaut, que l’équation finie 4 » (x, y) = o, est de la même nature que les intégrales qu’il avait

trouvées auparavant sans constante arbitraire; car cette intégrale peut être une équation primitive singulière, ou simplement un cas particulier de l’équation primitive complète.

Car si on fait, pour abréger, «I» ( x,y ) — j, et qu’on suppose qu’ayant tiré de cette équation la valeur dey en j, on* la substitue dans la fonc-

tion F (x, y, on aura une équation en * et j de la forme

4^- =f(*> l> -£) <**• ou b'eu z! = zf (*. Z- z')-

Pour que z = o soit une équation primitive singulière , il faudra

que z = a donne j = — , comme nous l’avons vu dans la

leçon seizième; or, en prenant la dérivée de l'équation précédente, on verra que cette condition ne peut avoir lieu que lorsque j = o donnera zf'(z') = 1 • Dans les .autres cas, l’équation j z: o ne pourra donc être qu’un, cas particulier de l’équation primitive complète.

En effet, en regardant d’abord z comme très-petite, et négligeant Z dans la fonction f(x, z> z')> on aura simplement z' — zf ( x )> d’où

l’on tire - 5 — —f (x), et prenant les fonctions primitives / z —f, (x) -f- k, k étant une constante arbitraire.

3e dénote par f avec un trait placé aa bas de la caractéristique f la fonction primitive dénotée par la simple caractéristique/; on pourra de même dénoter, dans l'occasion, par y, la fonction primitive dey,par la fonction primitive de y,, c’est-à-dire, la fonction primitive seconde de y, et ainsi des autres. Cette notation, que j’avais déjà proposée dans l’ouvrage sur la Résolution des Équations numériques, me paraît aussi propre pour désigner les fonctions primitives, que la notation ordinaire l’est pour les fonctions dérivées.

Maintenant il est clair que , dans l’équation /j =/ (x) -+- k , on aura z = o, en faisant la constante k infinie, puisque / o = — oo. Ainsi z == 0 sera alors »n cas particulier de l’équation primitive complète.

Euler

Euler avait aussi trouvé , dans sa Mécanique , différons exemples de cette duplicité d’intégrales ; il avait même donné des règle} pour les découvrir dans quelques cas, comme on le voit dans les articles 268, 303, 335 du second tjme de la Afécanique ; mais ce n’est que plusieurs années après qu’il s’est occupé ex professo de cette partie du calcul intégral dans un mémoire intitulé Exposition de quelques Paradoxes du câkul intégral, et imprimé dans le Recueil de l’Académie de, Berlin "pour 17^6.

Dans ce mémoire, Euler se propose différons problèmes relatifs aux tangentes, qui conduisent naturellement à des équations différentielles, et il remarque qu’ils ont chacun deux solutions , dont l'une résulte de l’intégration , et admet , par conséquent , une constante arbitraire , et dont l’autre est indépendante de l’intégration , et peut se trouver même par la différenciation de l’équation.

Voici un de ces problèmes. On demande une courbe telle, que, tirant de deux points donnés des perpendiculaires sur une quelconque de ses tangentes, le produit de ces perpendiculaires soit une quantité constante.

Faisons passer l’axe des abscisses par les deux points donnés , et soient/) et q les deux abscisses qui répondent à ces points, et, t la soustangente à un point quelconque, c’est-à-dire, la partie de l’axe comprise entre la tangente et l’ordonnée y , on aura / ■ — x pour la partie comprise entre la tangente et l’origine des abscisses ; donc t — x -+- p et t — x -4— q seront les parties de l’axe comprises entre les deux points donnés et la tangente.

Ayant abaissé de ces points des. perpendiculaires sur la tangente, on formera par là deux triangles rectangles semblables au triangle rectangle formé par la tangente,, l’ordonnée y et la sous-tangente t ; il est visible que, dans ces>triangles , les lignes J — x -4- p, t — x -t- q répondront t à la tangente même <^ui est V ‘( y % -+- t'), et que les perpendiculaires dont il s’agit répondront à l'ordonnée y; de sorte qu’on aura pùur ces perpendiculaires, les valeurs - .

XII/ Cahier. G g

ij4 ANALYSE,

par conséquent l’équation du problème sera

Æ étant une constante donnée. •

Or, le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente étant exprime par

la. fonction prime y', on a — y' , par conséquent t z=t — ; cette

valeur étant substituée dans l’équation précédente , elfe se réduit à

6 >—/»■*• py } (y — / » ^

équation du premier ordre.

Cette équation , étant mise sous la forme différentielle , et multipliée par dx % H— dy x , devient

(ydx — xily pdy) (ydx — xdy qdy) — k(dx x -t- dy l ) = o ;

c’est L’équation donnée par les'conditions du problème.

Euler remarque qu’il serait très-difficile d’intégrer cette équation directement; rttais qu’on y peut parvenir facilement en la différenciant. On a ainsi , en prenant dx pour constant

(ydx — xdy -+- qdy) (p •— x) d'y (ydx — xdy H- pdy) (q — x) J 1 y — îkdyd'y — o, équation toute- divisible par d' y.

En la divisant d’abord par d'y, on a celle-ci ,

(ydx — xdy -+- qdy) £p — x)

(ydx — xdy H- pdy) (q — x) — ikdy =r o,

rjui n’est que du premier ordre, cqrnme la proposée, et qui, étant combinée avec elle, donnera, par l’élimination de dy, pne équation * finie en x et y.

En effet, cette dernière équation étant multipliée par dy, et retranchée de la première multipliée par 2, on aura celle-ci,

2y'dx x -t- ydydx (p -t- q — zx) — 2 kdx x = 0;

zx)

d’où l’on dre

dx j(p

mais la même équation donne

d > y (p ? — lx )

dx ■ z [h — (p — X) (q — x)]

donc, comparant c es deux valeurs, et multipliant en croix, on aura celle-ci ,

laquelle .se réduit à

[(p — if -+" 4 k Jy % -+- 4 ^ (p — x ) (l — *) =■ 4 **/ .

otfc plus simplement encore, à

éqtiaiion'à une ellipse dont le carré du petit axe est k, et le carré du

grand axe est k -4- ) > de sorte *l ue <t - sera la distance

du centre au foyer ; et comme le centre de l’ellipse répond à l’abscisse

£ ; il “s’ensuit que les deux foyers répondent aux abscisses p et q,

a • ■ ’ * et sont, par conséquent, dans les deux points donnés.

En effet, on sait, par la théorie des sections coniques, que le produit des perpendiculaires menées de* chacun des foyers sur une tangente quelconque, est constant, et égal au carré du petit axe.

L’çquation que nous venons de trouver ne renferme point de constante arbitraire , puisqu’elle provient de deux équations différentielles

dg premier ordre par l’élimination de —— ; mais on aura une autre

équation, avec une constante arbitraire ,*par le moyen de l’autre facteur </* y, lequel donne l’équation du second ordre ri 1 y — ' p ; d’où l’on tire dy — adx, a étant une constante arbitraire; cette équation étant combinée de nouveau avec la proposée , on aura celle - ci ,

Cgi

(y — ax -f- ap) (y — ax -+- aq) z=. k ( I -+- d’où l’ on ** re

r -„^.<i±JÎd. — ± y [(, t H-iviZ-l/y,

équation à deux lignes droites.

Il est visible, en effet, que la ligne droite satisfait aussi au même problème , pourvu qu'elle ^pit placée de manière que le produit des deux perpendiculaires menées des deux points donnés sur cette ligne, soit égal à k.

Si , dans les expressions générales de ces perpendiculaires trouvées ci-

dessus, on substitue pour t sa valeur-^- ou bien - f* -, suivant la notation

r y dy

du calcul différentiel , on a

y — pdy

Y (dx‘ -y- dy')

et

•/ — xdy - 4 - qdy Y (dx x ~f dy') '

Soit y = ax -+- b en général l’équation à la ligne droite, on aura dy =r adx ; substituant ces valeurs, les deux perpendiculaires

b -y- ap b -y- a a „

t— , et 1 on aura 1 équation

deviendront

et

'(!>-+• ap) (b

aq) = A fl ■

a'); d’où l'on tire

ce qui donne les mêmes lignes droites que nous venons de trouver.

Telle est l'analyse d 'Euler , que j’ai rapportée en entier, et même avec un peu plus de détail , pour servir d’exemple dans une matière qui est encore peu traitée dans les ouvrages élémentaires.

On voit que ce problème admet réellement deux solutions trèsr différentes, puisque l’une donne des. lignes droites, et l’autre donne une ellipse.

Euler n’a pas cherché à rapprocher ces deux solutions et à les faire dépendre l’une de l’autre; il s’est contenté de donner cette duplicité de solution comme un parad<&e de calcul intégral, par la raison que l’équation qui contient une constante arbitraire , et qu’on doit , par conséquent, regarder comme l’intégrale complète, ne renferme cependant pas l’autre équation finie, qui satisfait également à l’équation

différentielle, ce qui parait,, en effet, contraire aux principes du calcul différentiel. ,

Eu/er regarde aussi comme un paradoxe, que la différenciation puisse suppléer à l’intégration , ce qui ne doit s’entendre cependant que de l’intégrale sans constante arbitraire, qui résulte immédiatement de la différentielle de l’équation proposée, combinée avec cette même équation ; car, pour l’autre intégrale qui dépend d’une intégration subséquente, elle est conforme aux principes généraux du calcul.

D’après la théorie que nous avons donnée sur les équations primitives singulières, ôn voit clairement Que ces paradoxes d 'Euler ne sont que des résultats particuliers de cette théorie.

Il est évident que l’équation à l’ellipse qui est sans constante arbitraire, n’est que l’équation primitive singulière de l’équation c^u premier ordre, donnée par les conditions du problème, puisqu’elle résulte du facteur du même ordre qui multiplie la dérivée dè la même équation; et que l’équation à la ligne droite , qui vient dp l'autre facteur du second ordre, est donnée par l’équation pritnitivë complète, avec une constante arbitraire , conformément à la théorie développée dans la leçon seizième.

Si de l'équation à la ligne droite y z=z ax -H b, et de sa dérivée y’ = a, on tire les valeurs des constantes • a et b , on a a = /, b = y — xy ; et ces valeurs, substituées dans l’équation donnée par les conditions du problème; savoir, m

fournissent celle-ci , . •

(y — */ -+■ pf) (y — */ ■+• l/) = * ( l *+“ f)’

qui est, comme l’on voit, l’équation du premier, ordre à laquelle le problème conduit directement. Ainsi cette équation appartient à la classe que nous avons examinée à ia fin de la leçon précédente , dont la forme générale est (a > b) = o, et qui est toujours susceptible d’une équation primitive singulière qu’on peut obtenir par l’élimination

2jS ANALYSE.

de y' , au moyeu 3e la dérivée relative à y', ce qui redonne le résultat que nous avons trouvé.

Si I’6n voulait tirer l’équation primitive singulière de l’équation primitive complète, d’après la théorie de ta leçon quinzième, il n’y aurait qu’à substituer d’abord dans l’équation de condition en a et la valeur de b tirée de l’équation y =: ax — b, ce qui donnera l’équation

(y — ax -+- ap) (y — ax -f- aq) — k ( t -+- a x ).

qui est à deux lignes droites, et qu’on peut regarder comme l’cquation primitive du problème, dans laquelle ^est la constante arbitraire. Ainsi il n’y aura qu’à, éliminer a au moyen de cette équation et de sa dérivée, d’où l’on aura encore le même résultat, puisque l’équation en y' a la même forme que l’équation en a; ce qui sert de plus en plus à rapprocher les différentes méthodes que nous avons données.

Nous avons démontré, à l’occasion du problème de Leibnitz? que toute équation* primitive singulière représente la courbe formée par l’intersection continuelle des lignes représentées par l’équation primitive complète; ainsi on peut dire que l’ellipse qui résout le problème d’ Euler, est formée par l’intersection continuelle de toutes les droites représentées par l’équation .

(y — ax ap) (y — ax -H aq) = k (i -H a 1 ), en supposant que la constante a varie de l’une à l’autre.

Par cette considération, *n pourrait donc, aussi résoudre le problème d 'Euler comme Leibnitz avait résolu celui dont nous avons parlé au commencement de cette leçon, et parvenir directement à l’ellipse, qui n’est donnée par l’analyse que d’une manière indirecte.

Jusque-là on n'avait considéré les équations primitives singulières que comme des solutions particulières qui se présentaient d’elies-mêmes et sans intégration, et on n'avait encore aucun moyen pour reconnaître à priori , si une pareille solution pouvait être comprise ou non dans la solution générale donnée par l’intégrale complète de l’équation différentielle du problème. Euler a donné le premier une règle générale pour cet objet, dans le prenpier volume de son Calcul intégral;

ANALYSÉ, . Z 3 o .

et Laplace a montré ensuite comment on peut déduire de l’équation différentielle , les solutions particulières qui échappent à l’intégrale complète , comme nous l’avons rapporté à la fin de la leçon seizième. * 11 restait à décbuvrir la liaison entre ces intégrales particulières et les intégrales complètes, ainsi qu’entre les courbes données par les unes et les autres; et à rappeler toute la théorie de ces différentes intégrales, aux premiers principes du calcul différentiel ; c’est ce qu’on a fait dans un mémoire sur ce sujet , imprimé dans le Recueil de l’Académie de Berlin de 1774, et dans un autre mémoire imprimé dans le même Recueil pour 1 77p.

• Comme ce point d’analyse est un des plus intéressaus par ses différentes applications, j’ai cru devoir en développer toute la théorie dans ces leçons, en y joignant des considérations nouvelles et des détails historiques qui peuvent faire plaisir aux analystes et servir à l’histoire de cette partie des mathématiques.