LEÇON DIX-NEUVIÈME
Disgressiun sur les Équations aux différences finies.
Les premiers auteurs du calcul différentiel, Barrow et Leibnitz, ont considéré les quantités variables comme croissant par des différences infiniment petites , et ont inventé les équations différentielles pour déterminer les rapports de ces différences. Comme la supposition des quantités infiniment petites répugne à la rigueur de l’analyse, on a considéré depuis les *ccroissemens des quantités variables comme finis, et on a formé, à l’imitation du calcul différentiel, un nouveau calcul pour les différences finies, dans lequel les résultats sont rigoureusement exacts. Ce calcul , dont Tailor avait donné la première idée dans son Methodus iucrementorum , et dont on s’est beaucoup occupé dans ces derniers temps, sous le nom de Calcul aux différences finies , sert à trouver la loi des termes consécutifs d’une série ou progression dans laquelle on connaît l'expression ou la formation du terme général ; et réciproquement à trouver l’expression du terme général , d’après la loi des termes consécutifs.
,ir*\ j‘‘ 1 .
■ il
analyse:
Mais nous observerons que, dans ces recherches, la considération des différences n’est point nécessaire comme dans le calcul différentiel , et que leur emploi peut même être plus incommode qu’utile , parce que la suppression des termes infiniment petits qui produit la simplification du calcul différentiel, n’ayant point lieu dans les différences finies, il arrive souvent que les formules en différences sont plus compliquées que si elles contenaient immédiatement les termes successifs eux-mêmes. \ ^
D’ailleurs l’analogie .qu’on a cru pouvoir établir entre le calcul aux différences infiniment petites et le calcul aux différences finies , est plus apparente que réelle, malgré la conformité de quelques procédés et de quelques résultats; car, dans celui-ci, on considère les différens termes de la progression comme représentés par une même fonction de quantités différentes d’un terme à l’autre , et les équations aux différences finies ne sont que des équations entre ces mêmes fonctions : au lieu que les équations différentielles, ou aux différences infiniment petites, sont essentiellement entre des fonctions différentes de la même variable, mais dérivées les unes des autres par des règles fixes et uniformes.
Les équations aux différences finies , ne sont autre chose qu’une suite d’équations semblables entre différentes inconnues, par lesquelles on peut toujours déterminer successivement chacune de ces inconnues.
Mais la loi uniforme qui règne entre ces équations , fait qu’on peut regarder leurs inconnues comme formant une suite régulière et susceptible d’un terme général ; et l’expression de ce terme donne alors la résolution générale de toutes les équations. - • '
Ainsi le calcul qu’on a nommé aux différences fuies, n’est proprement que le calcul des suites, et ne peut être assimilé au calcul différentiel, qui est essentiellement le calcul des fonctions dérivées.
Mais on a pensé que la considération des différences finies pouvait conduire à celle des différences infiniment petites, et que le calcul aux différences finies conserverait toute sa rigueur, en devenant calcul différentiel par l’omission des termes infiniment petits. Et de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différènees
infiniment petites, comme ia limite du rapport des différences finies, et les équations différentielles, comme les limites des équations aux différences finies.
Je ne disconviens pas qu’on ne puisse , de cette manière , démontrer la légitimité des résultats du calcul différentiel ; mais , quoique cette marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l’infini exige toujours une espèce de saut , plus ou moins forcé , qui rompt la loi de continuité , et change la forme des fonctions.
Ayant réduit, comme nous l’avons fait, le calcul différentiel à ses véritables élémens, les fonctions dérivées, et l’ayant ainsi entièrement séparé du calcul aux différences finies , nous avons cru devoir dire deux mots de la nature et des usages de celui-ci, qui n’est, à proprement parler, que l’analyse ordinaire appliquée à une suite de quantités qu'on suppose dépendre d’une même loi.
Soit une suite de quantités
qui répondent à ces quantités en progression arithmétique o, i, li, 3 /, 4 i, &c.
Désignons, en général, un terme quelconque de la première suite, par y, et le terme correspondant de la seconde suite, par x; désignons de plus, par y, y, y, &c., les termes qui, dans la première suite, suivent le terme y, et qui répondent aux termes
de 1a seconde.
Enfin, désignons, pour plus de simplicité, par les caractéristiques A, A*, &c. , les différences premières, secondes, &c. des termes de 1a première suite, de manière que l’on ait
A l’égard de la seconde suite, il est clair qu’on aura Ax = i et A*x = o, &c.
Cela posé , supposons d’abord que ia première suite soit formée de ia seconde par cette loi très-simple y — ax, a étant un coefficient constant pour toute la suite.
On aura donc aussi, en changeant y en y et x en x -4- i, l’équation ÿ — a (x -f- i) ; et comme les deux équations doivent avoir lieu en même temps, on pourra, si l’on veut, en éliminer la constante a.
Retranchant, pour cela, la première delà seconde, on aura y~y = ai; savoir, ùxy = ai; d’où l'on tire a — — j- ; donc, substituant cette
valeur dans la première, elle deviendra y =
La première équation y z= ax donne le terme général de la suite; l'autre équation - ■ donne la loi entre les termes successifs; car, puisque Ay zzz y — y, on aura
y = y -+* ou y = —r~ y-
Réciproquement, on voit que cette loi des termes étant donnée, le terme général sera nécessairement y — ax, a étant une constante arbitraire; et il est facile de se convaincre que cette expression de y en x est la plus générale qui puisse répondre à l’équation aux différences Ay =
Si la différence i de la progression arithmétique devenait infiniment petite, la différence correspondante Csy deviendrait infiniment petite
aussi, et leur rapport — —, que nous avons vu être égal à la constante
arbitraire a, serait toujours le même. Dans l’infiniment petit, ce rapport devient égal à la fonction dérivée y', en regardant y comme fonction de x, et l’équation devient alors y = xy', qui est l’équation dérivée, dont y = ax est l’équation primitive, a étant la constante arbitraire. Supposons maintenant cette loi
y — ax - f- a 1 ,
qui n’est guère plus compliquée que la précédente.
iq.6 ANALYSE.
On aura donc aussi-, en changeant y en y et x en ,v -4- i,
y = ax ai -+- a /
retranchant la première de celle-ci, et mettant &y pour;J — y, on aura
A y = ai/ d’où l’on tire a =: — — ; et substituant cette valeur à la place de a, on aura
équation aux différences finies, et qui est indépendante de la constante a.
La première équation donne donc l’expression du terme général , et la seconde donne la loi entre les termes successifs , de manière que cette loi étant proposée, on aura, par la première, le terme général avec une constante arbitraire a.
L’analyse précédente suppose que la quantité a est indépendante de x, puisqu’elle demeure la même dans les deux équations successives; mais si elle dépendait de x, de manière que les deux équations eussent néanmoins la même forme que dans le cas où elle est constante, il est clair que l’équation aux différences qui résulte de ces deux équations par l’élimination de a, serait encore la même; par conséquent on aurait aiors plus d’une équation en .v et y pour la même équation aux différences : c’est le principe qui donne les équations primitives singulières, comme on l'a vu dans la leçon quinzième.
Supposons donc, en général, que la quantité a, qui répond à x, devienne à, a, & c. , lorsque x devient x H— », x -+- zi, &c., les deux équations successives, dont l’une répond à x, et l’autre à x -+-», seront
y = ax ■ - f- a % ,
Or, si on suppose que les quantités a et à soient telles que l’on ait
la seconde équation deviendra
y a.fx -H- i) -+-.a' .
tomme dans ie cas où a est supposé constante; par conséquent on aura également, par l’élimination de a, l’équation aux différences
11 s’agit donc de trouver le terme général de la série dont les termes
consécutifs a et à, répondant à x et x — t— i, ont entre eux la relation déterminée par l’équation ci-dessus , qui se réduit à cette forme
et qui est, comme l’on voit, du genre des équations aux différences. Çette équation se réduit à 1 ‘ • " '
[a -+- a — t- (x H— i) ] (a — a J zzz o, et se décompose, par conséquent, en ces deux-ci,
ü — — o zzzz o 1 cl — | — cl — f— x | 1 zzz o .
La première donne à = a, et, par conséquent, a égal à une constante quelconque ; c’est le cas que nous avons supposé d’abord.
La seconde donne une relation entre a et à, d’après laquelle il faut trouver le terme général.
Pour simplifier cette équation , je suppose d’abord
a = u mx -t- n,
m et n étant des constantes, et a «ne nouvelle variable; j’ai à = ù H- m(x H- i) -t- n,
et l’équation devient, par ces substitutions,
« H— u — I— (zm 1) x 211 -t- (m -+- \) i =z o,
où je peux faire disparaître les termes indépendans de a.
Je fais donc
2 m -+- 1 ~ o et zn -H ( m -+- 1) i = o ; - *
ce qui donne m =
— , n — — -L; de sorte qu’en faisant l’équation se réduit à cette forme plus
simple, a - 4 - u — o.
J’observe maintenant, qu’en supposant s = br", b et r étant des constantes, on a ù — br et la substitution donne br‘ ‘ -4- br * = o , équation divisible par br‘, et qui donne r‘ H- 1 zzz o : d’où l’on
tire r* z=z — 1 et r = ( — 1 ) \
Ainsi l’expression u — b ( — 1 ) ' satisfait à l'équation avec la constante arbitraire b. En effet, en supposant cette équation en a et x, pour faire disparaître la constante^, on prendra l’équation successive « = b (— 1) = — b (— et, éliminant b,
on aura a -4- u' z=z o, équation proposée.
Donc l’expression générale de a sera
et cette valeur , substituée dans l’expression de y, donnera un nouveau terme général avec une constante arbitraire b, qui satisfera également
à la même équation aux différences y — -r-
Pour faciliter cette substitution , je mets l’expression donnée de sous cette forme
y = (a -h JL)-
et j’y substitue , pour a, la valeur qu’on vient de nouvelle expression de y
trouver ; il vient cette
Comme b est ici une constante arbitraire, on peut aussi la faire • disparaître par (équation successive, dans laquelle x devient x — f— /, et y devient y ou y H- Ay; on aura ainsi
Ay = [— b (— i
à cause de f — 1) ‘ =: ( — 1) T ■*“ * = — ( — 1 ) ‘ •
Retranchant de cette équation fa précédente , et observant que fa différence des deux carrés est le produit de la somme et de la différence des racines , on aura tout de suite
d’où l’on tire
A , 1 — lx '
Ay == tb (— l) >
et cette valeur, substituée dans la première équation, donne l’équation aux différences
savoir ,
x Ay
qui est la même qu’on avait trouvée dans le cas où a était la constante arbitraire.
Si maintenant on suppose que la différence i devienne infiniment petite, la différente correspondante A y le deviendra aussi; mais leur
rapport
, qui, dans le premier cas, est égal à a, et, dans le
* jc i
second, est égal à b ( — 1) — — — — p, demeurera fini; ce
rapport devient alors la fonction dérivée de y , regardée comme fonction de x; et l’équation aux différences devient, par conséquent, y = xÿ -4- y' 1 , qui est , en effet , l’équation dérivée dont la primitive est y — ax -4- a , a étant la constante arbitraire.
Car, en prenant les fonctions dérivées, on a / — a; et substituant cette valeur, il vient y — xy' -4- y' 1 .
Mais que devient alors la seconde expression de y qui contient la constante arbitraire b!
XllS Cahier. I i
Suivant les principes des infiniment petits, le terme — - — doit être rejeté vis-à-vis du terme fini b ( — \) ~ ; ainsi on aurait simplement
y = tW - ') *]' - -f = *' - 4-
à cause de ( — 1 ) « = 1 “ — 1 .
Mais cette valeur de y ne satisfait pas à l'équation dérivée, à moins qu’on ne suppose b z=z o ; car elle donne / = —
Faisant la substitution, on a — — — • = — 1 — , et,
par conséquent , b z=z o.
Ainsi il faut dire que le passage du fini à i’infiniment petit , anéantit non-seulement les quantités infiniment petites , mais encore la constante arbitraire.
Au reste, en faisant b =* 0 , l'expression 7 = — -^—devient
une valeur singulière ; car, en prenant les fonctions dérivées relatives à a dans l’équation primitive y = ax -H a, on a x -4— a a — o;
d’où a — — — , et de là y = — — .
Ainsi on peut regarder aussi la seconde expression de y comme une valeur singulière du terme général; mais comme elle conserve la constante b tant que les différences i sont finies , il est clair quelle a la même généralité que la première , en sorte qu’on peut supposer que la valeur de y soit donnée lorsque x = o ; ce qui n’a pas lieu pour les valeurs singulières des équations primitives ordinaires.
Feu Charles , de l’Académie des Sciences , est le premier qui ait fait cette remarque importante, qu'à une même équation aux différences finies, peuvent répondre deux équations intégrales ou sans différences, ayant chacune une constante arbitraire.
Voye% J es Mémoires de cette Académie pour l’année 1783.
Mais les conséquences qu’il a voulu en déduire dans la suite (Mémoire de 1788), relativement aux intégrales des équations différentielles , sont
tout-à-fait illusoires ; elles prouvent seulement qu’on ne peut pas appliquer immédiatement à l’infiniment petit proprement dit , les résultats trouvés dans la supposition du fini, et que, dans le passage du fini à l’infiniment petit, il faut supprimer entièrement tous les termes qui peuvent contenir l’infiniment petit, quoique ces termes puissent n’être pas eux-mêmes infiniment petits.
Ainsi , dans la formule
! = [*(- x ) ^ jl' 7 "’
le terme b ( — 1 ) ~ ne devient pas infiniment petit par la supposition de / infiniment petit ; néanmoins ce terme , contenant Itf différence i, qui devient infiniment petite dans l’équation différentielle, doit être supprimé pour avoir un résultat exact. En effet, en effaçant tout ce qui contient /' dans l’équation précédente, on a simplement y — — ~ , comme cela doit être pour satisfaire à l’équation dérivée.
La raison en est que, dans le passage supposé du fini à l’infiniment petit, les fonctions changent réellement de nature, et que le qu’on emploie dans le calcul différentiel , est essentiellement une fonction différente de fa fonction/, tandis que tant que la différence dx a un* valeur quelconque, aussi petite qu’on voudra, cette quantité n’est que la différence de deux fonctions de la même forme ; d’où l’on voit que si le passage du fini à l’infiniment petit peut être admis comme moyen mécanique de calcul, il ne peut servir à faire connaître la nature des équations différentielles , qui consiste en ce qu’elles donnent des rapports entre les fonctions primitives et leurs dérivées.
On peut trouver , d’une autre manière , les mêmes expressions de y qui satisfont à l’équation aux différences
En prenant l’équation successive qui répond à x -j- i, on a aussi
mais y r= y -4- A y, A y z=z Ay - 4 - A 'y; donc, retranchant la première équation de la seconde, 011 aura
Ay = x
-4- Ay -4- A y’ 4 -
savoir, en multipliant par i et réduisant
équation qui se décompose, comme i’011 voit, en deux
.1 , iA* + a’»
A y irr o et x - 4 - / - 4 - — ; — :
La première donne tout de suite Ay — à une constante qui étant supposée ai, on aura Ay = ai; substituant cette valeur dans l’équation aux différences , on aura, comme plus haut, y z= ax -f -a % .
Retenons maintenant la supposition A y — ai, mais en regardant
a comme une variable dépendante de x , on aura A ÿ = à i et
A 'y = (à — a ) i; donc l’autre équation deviendra x-+-i-+-a-t-à = o, qui est la même que nous avons trouvée plus haut, et d’où nous avons tiré
On aura donc
Ay = i[b(— I J -T 1 Lj;
et comme l’équation aux différences peut se mettre sous la forme
la substitution de cette valeur de A y donnera
y = LH- 1) + - -f/ -
comme plus haut.
Celte manière de trouver ia seconde expression de y, revient à ia méthode que nous avons exposée dans ia ieçon seizième, pour les équations primitives singulières.
En supposant i infiniment petit, les valeurs de a et a , qui répondent à x et x -+- i, ne doivent différer l’une de l’autre que d’une quantité infiniment petite; par conséquent, par le principe des infiniment petits,
l’équation a -f- a -i- x — t— i = o se réduit à za -+- x — o;
ce qui donne a = — — ; d’où l’on tire y - — — — , comme dans le cas de b = o.
En effet, l’expression de a *
■ donne, relativement à x «+- i,
a — — b (- ip
où l’on voit que , dans le cas de / infiniment petit , la différence entre a et à demeure finie tant que la constante b n’est pas nulle.
En général , soit F(x,y, a) = o l’équation par Laquelle le terme général y est déterminé en fonction de x , a étant une constante quelconque.
Cette équation est censée avoir lieu également pour les termes successifs y, y, &c. qui répondent aux valeurs successives x-+-/,x-+-zi, &c. t
de x; ainsi on aura F (x -+- i, y, a) ■=. o, et on pourra, par la combinaison de ces deux équations, éliminer la constante a.
■ On aura, de cette manière, une équation sans a, mais qui sera en x, y, et y; et si, à la place dey on substitue y ây, l’équation sera en x, y et A y ; ce sera alors proprement une équation aux différences premières.
De même, sîTéquation du -terme générai renferme deux constantes
2 j 4 - ANALYSE.
a et b, comme F(x, y, a, h) — o, on pourra faire évanouir ces deux constantes par le moyen des deux équations successives
F(x i, y. a, b) = o, F (x -+- xi, y, a, b) — o.-
L’équation résultante sera alors entre x, y, y et ÿ, ou bien entre les quantités x, y, Ay et A * y, en substituant y -4- A y pour y, et y — J— x Ay -4— A 1 y pour ÿ; ce sera donc une équation aux différences secondes, et ainsi de suite.
Donc réciproquement toute équation aux différences premières ou entre deux termes successifs , comportera une constante arbitraire dans l’équation du terme général ; toute équation aux différences secondes, ou entre trois termes successifs , comportera deux constantes arbitraires dans l’équation du terme général, et ainsi de suite.
On peut, en effet, se convaincre que cela doit être, par la nature même de ces équations. .
Considérons, par exemple, une équation quelconque aux différences premières entre x, y et ÿ; et supposons qu’ayant tiré la valeur de y on ait y — f (x , y).
Comme la même équation doit avoir lieu dans toute l’étendue de la série , en faisant successivement x o , i, xi, 3 i, & c. , la variable
y deviendra y, y, y, y, &c. et y deviendra en même temps y, y, y, y, &c. Ainsi l’équation proposée donnera cette suite d’équations,
y —f(o, y), y =zf(i, y), y = f(xi, y), &c.;
Donc, substituant successivement les valeurs précédentes, tous les
termes y, y, y, & c. seront donnés par le premier terme y; et un
terme quelconque y, répondant à x, sera donné en x et y.
Ainsi l’expression du terme général contiendra nécessairement la ** valeur arbitraire et constante du premier terme y.
Si l’équation proposée était aux différences secondes ou entre les termes successifs y, ÿ, y, on pourrait en tirer la valeur de y, et l’on g aurait y = f(. x, y, y).
Donc, faisant successivement x == o, », 2», 3»', &c. , on aurait ; = /f°> /. // ) = f(î- y> y)> y = /A», y, y;, &c. ; de
sorte qu’en substituant toujours les valeurs précédentes , on aurait les
termes y, y, y, &c. donnés en y et y ; par conséquent le terme général
Ol Ol
y répondant à x serait exprimé en x, y et y, dans lequel y et y ont des valeurs arbitraires et constantes.
Et ainsi pour les équations aux différences plus hautes.
On voit par là que le nombre des constantes arbitraires qui doit entrer dans l’expression complète du terme général, est nécessairement égal à l’exposant de la plus haute différence qui entre dans l’équation proposée ; d’où l’on doit conclure que toute expression du terme général qui satisfera à une équation aux différences , et qui aura autant de constantes arbitraires que cette équation en admet en raison de l’ordre de ces différences , devra être regardée comme complète , de quelque manière qu’on y soit parvenu.
Mais la même équation pourra encore être susceptible d’une autre expression générale qui répondra à l’équation primitive singulière , et qu’on pourra trouver par les mêmes principes.
Car si F(x, y. a) z= o est l’équation qui donne l’expression générale de y en x avec la constante arbitraire a, on aura l’équation entre les
termes successifs y et y ou y et y Ay, en éliminant a des deux
équations F (x , y, a) = o, F ( x, y, a) = o; et le résultat de cette élimination , qui sera l’équation aux différences , sera la même , soit que la quantité a soit une constante ou une quantité dépendante ,de x , pourvu que dans ce cas elle soit telle que l’on ait
Cette équation étant délivrée des fractions et des radicaux , sera
toujours divisible par à — a, puisqu’en effet à — a satisfait ; et il est clair que cette racine donne a égal à une constante, comme on l’avait supposé d’abord.
Si 1 équation ne contient les quantités a et à qu’à la première dimension , le résultat de la division ne contiendra plus ces quantités,
ainsi à a — o sera la seule racine , et il n’y aura alors qu’une
seule expression du terme général.
Mais si ces mêmes quantités forment plusieurs dimensions dans l’équation dont il s’agit, elles s’y trouveront encore après la division par à — a, et l’on aura une nouvelle équation entre a et à, qui sera, par conséquent, aux différences premières par rapport à la variable a, et qui pourra donner encore une ou plusieurs valeurs de a avec de nouvelles constantes arbitraires. C’est le cas de l’équation que nous avons considérée ci-deSÎus.
En regardant a comme une fonction de x, à qui répond à \ -+- i,
deviendra, par le développement, a = a -H ia' — a " -+- &c.,
et la fonction F (x, y, à) deviendra aussi
F (x, y, a) -t- ta' F' (a) -4- &c.;
par conséquent l’équation en a et à deviendra ia' F' (a) -4- 5cc. “o.
Lorsque / devient infiniment petit, les termes qui contiennent /\ /'*, Scc. devant être négligés vis-à-vis de ceux qui ne contiennent que /, l’équation précédente se réduit à ia' F' (a) = o, laquelle donne a' = o, et, par conséquent, a constante ou F' (a) = o; d’où l’on tire a en fonction * de x ; c’est le cas des équations primitives singulières. *
Dans ce cas donc, l’expression de a ne peut plus contenir de constante arbitraire ni dépendre de la quantité i ; par conséquent il faut que les termes qui renfermeraient i dans l’expression générale de a tiréede l’équation en a *et à, disparaissent absolument dans le cas de / infiniment petit , quand même ces termes ne deviendraient pas alors infiniment petits , comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent.
La plupart des formules qu’on a trouvées par la considération des différences finies , et qu’on a ensuite traduites en calcul différentiel , présentent des difficultés analogues dans le passage du fini à l’infiniment
petit.
petit, et qu’on ne peut iever que par le même principe de rejeter indistinctement des formules finies tous les termes qui contiendraient des différences infiniment petites, de quelque manière que ces différences s’y trouvent contenues. ’ .
Ainsi, par exemple, on a, en employant les différences successives,
y =y-+- Ay,y=y-+- îA; A y, y = y
3 Ay -h 3 A' y -+- A 5 /, &c.;
y — y -\-mAy -f-
c’est l’expression du terme m. rmt qui répond an terme x série x, x -+- i, x -t- zi, &c.
Si donc on fait mi =r u, le terme répondant à x -tla substitution de au lieu de m
■f- &.c. ; mi de la
u, sera, par
Ay
i)(»- zJJ ^
Cette formule, donnée d’abord par Newton à la fin des Principes pour ï interpolation des lieux des comètes , a été ensuite appliquée, par Tailor, au cas où les différences i devenant infiniment petites et égales à dx, les différences A y, A 1 y, &c. deviennent dy, d l y, &c.
Alors, en négligeant les termes i, zi, 3/, &c. vis-à-vis de u, on a la formule
dy u' d'y u • d'y
' dx z dx
Sic.,
• 2.3 dx '
qui exprime la valeur de ce que devient y lorsque x devient a- C’est la formule connue sous le nom de théorème de Tailor. Cependant , comme les coefficiens de i dans les facteurs successifs de la première formule, vont en augmentant continuellement, il est visible que, quelque petit que soit », il se trouvera à la fin multiplié par un coefficient si grand, que sa valeur pourra devenir comparable à celle de «, et ne pourra plus être, sans erreur, négligée vis-à-vis de celle-ci. Mais la suppression de tous les multiples de i, quelque grands XI 1 / Cahier. K k
qu’ils soient, est néanmoins commandée par la nature de la chose, afin que les quantités &c. cessent d’être exprimées par les dif-
férences finies des quantités y, y, y, &c., qui sont des fonctions semblables de x, x -4- /, jr - 4 - 2/', &c. , et deviennent simplement les fonctions dérivées y', y", &c. de la même fonction y.
En effet, la quantité y étant regardée comme une fonction de x, la formule dont il s’agit doit donner la même fonction de x -4- »; et nous avons démontré, d’une manière directe et rigoureuse, que cette fonction, développée suivant les puissances de », est exactement égale à la série ■
/ n a tu «
La formule des sinus des arcs multiples s’applique de la même manière au développement des sinus par l’arc , et est sujette aux mêmes difficultés.
En effet, on a, comme on l’a vu dans la leçon dixième,
stn. mx
stn. x ’
m cos. x
stn. x
cos. x
Supposons x infiniment petit et m infini , en sorte que mx ait une
valeur finie 7; donc m — — , et les coefficiens
m, , , Sic.
deviendront , en rejetant vis-à-vis de £ tous les multiples de x , quelque
grands qu’ils puissent cire, — , , - — , &c.
D’un autre côté, sin. .v se réduit à x, et cos. x à 1; donc, faisant
ces substitutions, on a
sin. Z = Z —
1 • z — Sec . ,
formule exacte et rigoureuse, comme nous l’avons trouvé par les méthodes directes.
Avant de terminer cette leçon , j’ajouterai encore quelques réflexions sur le passage des différences finies aux différentielles. J’ai avancé, au commencement de la leçon , que ce passage consiste réellement dans un changement de fonction. Je vais prouver que l’analyse indique et effectue ce changement par des expressions qui deviennent alors zéro divisé par zéro.
Considérons, en effet, la différentielle d.fx; suivant les principes rigoureux du calcul des différences, on a d.fx =f(x dx) — fx; et par conséquent
</•/» f(* dx ) — f*
Cette valeur de 'Jj - devient ~ lorsque dx = o ; pour savoir ce qu'elle doit être dans ce cas-là, on suivra la règle exposée à la fin de la leçon huitième, et que nous avons déduite de principes indépendans du calcul différentiel.
On prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, relatives à la variable dx, et on y fera ensuite dx = o.
On aura ainsi f (x dx), et (faisant dx =. o), f'x pour la valeur de - - - - - - , lorsque dx = o.
Cette valeur est, comme l’on voit, la même que celle que donne le calcul différentiel, comme nous l’avons observé à la fin de la leçon 2.*
Si l’on considère de même les différences secondes, on a d’abord rigoureusement
d* .fx = f(x - 4 - 2 dx) — %f(x -H dx) -f- fx;
donc
d'.fx f(x -+- 2 dx) — zf(x -+- dx) -f- fx
_____ Tx i *
d % fx O
En faisant dx — o, cette valeur, de - - devient — ; on prendra
donc alors les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la variable dx, ce qui donnera
f‘ (x -+• xdx) — /Y* dx)
Cetle expression devient de nouveau lorsqu’on y fait dx = 0; c’est pourquoi îl faudra prendre encore les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la même variable dx ; on aura ^f(x -t- xdx) — f" (* dx).
En faisant ici dx o , on a enfin /" x pour la valeur de — - A lorsque dx = o.
C’est, en effet, la valeur de la différentielle seconde de fx, divisée par dx 1 .
On doit conclure de là, en général, que les expressions —,
employées dans le calcul différentiel, ne peuvent être prises que pour des symboles des fonctions dérivées f, y , &c.
Nous avons observé plus haut , que Ta'dor n’était parvenu à la formule qui porte son lions, que d’une manière peu exacte. On peut, par les principes précédens, donner à son procédé toute la rigueur que l’analyse peut demander.
Si, dans la formule générale d’interpolation donnée ci-dessus, on fait y = fx, elle devient
dans laquelle
A .fx
o ( ta — - i) (* - xi)
— ffx -J- xi) __
a f(x -t- i) -H- fx,
Cette formule est générale quel que soit i; mais en faisant i — o , les valeurs des expressions . t ’/* ■ , &c. deviennent
Or ces expressions sont les mêmes que celles que nous avons considérées ci-dessus, en changeant A en d, et / en dx.
Ainsi elles deviennent/' x, f y, &c., dans le cas de i = o.
On a donc alors
f ( x —H u ) fx —H a f'x — H — — f"x — {— &c.,
comme nous l’avons trouvé dans la leçon deuxième , d’une manière rigoureuse et directe.
On peut conclure de ce que nous venons d’exposer, que ceux qui, d’après Euler , regardent les différentielles comme de véritables zéros , et, par conséquent, leur rapport, comme celui de zéro à zéro, sont dans toute la rigueur de l’analyse; parce qu’une fonction qui satisfait en général aux conditions d’une question , ne saurait changer de forme pour un cas particulier , qu’en passant par l’état de — ; comme on peut le prouver par plusieurs exemples.
On sait que la somme des n premiers termes de la progression géométrique
1 — I — ci — h- a — | — 0} ■ I 1 &c.,
En regardant cette expression comme une fonction de », on voit que cette fonction est de la forme exponentielle. *
Cependant, dans le cas de a = 1 , la série devient l •+• 1 -+■ 1 -+-&c., et la somme de « termes est ».
Ainsi , dans ce cas , il faut que la fonction exponentielle change de forme et devienne une simple fonction algébrique , ce qui ne peut se faire que par une espèce de saut , que l’analyse indique alors par 1 expression — .
En effet, en faisant a z= 1 , la formule — — devient — ; et
pour en trouver la valeur, il faut prendre les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, relativement à la variable», ce qui donne «»" — et par conséquent », en faisant a = 1.
La fonction primitive de x" , ou l’intégrale de x *dx , est, en général, «• + ■
est exprimée par
Pour quelle commence au point où x a, il en faut retrancher
la constante
; et l'on a alors la fonction
Cette fonction de * est toujours algébrique i mais dans le cas où n = — 1 , elle devient ; ce qui indique quelle doit alors changer de forme.
Pour trouver la nouvelle fonction, on prendra les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur de l’expression précédente, relativement à la variable //; l’on aura ainsi, par les formules dorinées dans la leçon quatrième, x’" 4 " 1 Ix — a” ‘ la.
En faisant » — — r , on a Ix — la ou / — pour la fonction primitive de — comme on i'a trouvé dans la même leçon par d’autres principes.
. La série
cos. x
sin. x
x cos. x J sin. x *
<’ ‘> <" - , CO,. > Jb. «• - Scc.
est représentée généralement par la fonction en sinus, on le voit par la formule rapportée plus haut.
-, comme
Cette fonction devient — lorsque h z=z o , auquel cas la série se réduit à
tin v tin v 1 tin »1
3 co*. x J
