LEÇON VINGTIÈME

Des Fonctions de deux ou plusieurs variables ; de leurs Fonctions dérivées. Notation et formation de ces Fonctions.

Nous n’avons encore traité que des fonctions d’une seule variable; car , lorsque nous avons considéré des fonctions de deux ou de plusieurs

z6 4 ANALYSE.

variables , nous avons regardé ces variables elles-mêmes comme fonctions d’une seule et même variable. Or, si on considère une fonction de deux ou de plusieurs variables indépendantes, il est claie que cette fonction pourra avoir différentes fonctions dérivées relatives aux différentes variables , et qui naîtront de la fonction primitive par le simple développement, en attribuant à chaque variable un accroissement particulier.

Ainsi le calcul des fonctions dérivées relatives A une seule variable^ conduit naturellement à celui des fonctions dérivées relatives à differentes variables, lequel n’est, comme l’on voit, qu’une généralisation du premier , et dépend des mêmes principes.

Si les inventeurs du calcul différentiel l’avaient regardé d’abord comme le calcul des fonctions dérivées, ils auroient été conduits naturellement et immédiatement au calcul des fonctions dérivées relatives à plusieurs variables ; et il ne se serait pas passé un demi-siède entre la découverte du calcul différentiel proprement dit, et celle du calcul aux différences partielles, qui répond au calcul des fonctions dérivées relatives à différentes variables. A plus forte raison , au lieu d’envisager ce dernier comme un nouveau calcul , on l’aurait seulement regardé comme une nouvelle application ou plutôt comme une extension du calcul différentiel, et on aurait, dès le commencement, embrassé sous un même point de vue et sous une même dénomination, les différentes branches du même calcul qui ont été long-temps séparées et comme isolées.

Soit d’abord f(x, y) une fonction quelconque de deux variables x et y, que nous regarderons comme indépendantes l’une de l’autre. Si dans cette fonction on substitue à-ia-fois x — j- i à la place de x, et y -+- o à la place de y, les deux quantités i et o étant indéterminées, qu’ensuite on développe la fonction f (x -+- i, y -+- o) suivant les puissances ascendantes de / et o , il est clair que le premier terme sans i ni o sera la fonction proposée f(x, y), et que les autres termes seront de nouvelles fonctions de x et y multipliées successivement par i, o, i 1 , io, o \ i 1 . Sic.

Ces fonctions seront aussi dérivées de la fonction primitive f (x, y) ?

et

et on trouvera la loi de leur dérivation en considérant successivement les dérivées relatives à chacune des quantités i et 9.

Pour cela, on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable x qui devienne x -+~ i, la variable y demeurant la même , et on développera la fonction f (x -t— », y) comme une simple fonction de ,v. On supposera ensuite que, dans les fonctions dérivées relatives k x, la variable y devienne y H— 0 , et 011 développera chacune de ces fonctions comme des fonctions de y, en regardant alors la variable .y comme une constante.

' II naîtra ainsi, du développement de ffx -4- », y - 4 - 0), différentes fonctions dérivées de la fonction primitive f(x, y), dont les unes seront relatives à la variable x , les autres seront relatives à«Ia variable y, et d’autres enfin seront relatives en partie à la variable x et en partie à la variable y ; la loi du développement étant toujours la même, mais appliquée successivement aux differentes variables.

Mais, pour ne pas confondre dans la notation ces différentes fonctions dérivées, on pourra dénoter les fonctions dérivées relatives à la seule variable x, par des traits appliqués, comme à l’ordinaire, à la caractéristique de la fonction et suivis d’une virgule ; les fonctions dérivées relatives à la variable y, par des traits appliqués à la même caractéristique , mais précédés d’une virgule ; enfin , les fonctions dérivées relatives en partie à la variable x et en partie à la variable y, par des traits séparés par une virgule, de manière que ceux qui précèdent la virgule se rapportent à la variable x, et ceux qui la suivent se rapportent à la variable y.

Cette notation conserve mieux l’analogie qui doit régner entre les fonctions dérivées et la fonction primitive f(x, y), dans laquelle la virgule sépare les deux variables indépendantes x et y, que celle que j’avais employée dans la théorie des fonctions , en appliquant au bas de la caractéristique / les traits relatifs aux fonctions dérivées par rapport à la seconde variable y.

D’ailleurs nous trouvons plus convenable d’employer, comme nous l’avons déjà fait dans la leçon dix-huitième, les traits inférieurs pour désigner les fonctions primitives d’une fonction donhce.

XI /.* Cahier. L I

De cette manière on aura donc , en premier lieu ,

ffx-h-i, y) —f(x, y) -4- if' (x,y)-\ — ’-f"' (x , y) - 4 - (*, y)

-+- Sic.

Substituons maintenant par-tout y -4- 0 à la place de y , on aura f(x —H i , y -H o) — f (x, y H- 0) -4— if ’(x, y 0)

-+- — f’(x, y 0) H- -jjf"' ’(x, y -+- 0) -4- &c. Développons successivement les fonctions

m fl*» y -+- °)'f‘( x > y -+- °)> y °)> & c -

comme des fonctions de y -4- 0, on aura pareillement

f( Xt y H- 0)=f(x, y) -+- of'(x.y) -4- ±f'(x,y) -4- -^f"(*,y)

f'(x.y-*- 0) =f’(x,y)-+-of''(x,y) h- ~f^(x,y)-¥- &c.

f’(x,y-+-o) =f'(x,y)-{-of‘'(x.y) -4- &c.

et ainsi de suite.

Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de i et o, on aura ce développement complet

f(x -H it y H- 0) = f(x, y) -t- if> (x, y)- 4- of (x, y)

~P(*»j) ■+■ * of " ^ y) t - /'" 7 ;

dans lequel la forme générale des termes est

analyse:. 267

Dans l’opération que nous venons de faire pour avoir le développement àef(j r i, y - 4 - o), nous avons commencé par substituer, •Bans f (x, y), x -+- i pour x, et nous avons développé suivant i; nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, y -+- 0 pour y, et nous avons développé suivant 0.

Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat si on commençait l’opération par la substitution de y -4- 0 à la place de y, et par le développement suivant 0, et qu’on fît ensuite la substitution de x -f- / pour x, et le développement suivant /.

De cette manière on aurait d’abord les fonctions primes, secondes, &c. relatives à y, c’est-à-dire, suivant la notation que nous venons d’employer les Fonctions

Ensuite on aurait les fonctions primes, secondes , &c. de celles-ci relatives à x, et qui seraient désignées par

et on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être.

Mais il faut remarquer que, dans le premier procédé, la fonction seconde f‘ '(x, y), relative à-la-fois à x et à y, s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de f (x, y) relativement à x, ce qui donne f’(x, y), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y; d’où résulte la fonction seconde f’' (x, y); et dans le second procédé la même fonction s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de f(x, y) relativement à y, ce qui donne f’’(x, y), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à x, ce qui donne également

D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive f(x, y) à la double dérivée f'*' (x, y).

Et, comme on doit dire la même chose des autres fonctions dérivées dénotées par des traits séparés par une virgule, on en peut conclure, en général , que les opérations indiquées par les traits placés avant et après la virgule, sont absolument indépendantes entre elles, et qu’elles conduisent aux mêmgs résultats, quelque ordre qu’on suive en prenant les fonctions dérivées relativement à x et y, indiquées par les traits qui précèdent ou qui suivent la virgule.

Ainsi on aura également la valeur de la fonction dérivée triple y), en prenant la fdhction seconde def(x, y) relativement à x , et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement ky, ou en prenant d’abord la fonction prime de f (x, y) relativement à y, et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à x ; ou bien encore en prenant la fonction prime de f(x, y) relativement à x, ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y, et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à x, et ainsi de suite.

Soit, par exemple,

on aura les fonctions primes , relatives à x et y ,

fi*. y) = /■'(*. y) = -

La première donnera , relativement à y, la dérivée

et la seconde donnera également , relativement à x,

ensuite on aura, relativement à x et à y seuls,

fi*, y) = y-.f"(*. y) =

La dérivée, relativement ky, de/"' (x, y), sera

et la dérivée, relativement à x, de f''(x, y), sera aussi

et ainsi des autres.

A l’imitation de ce que nous avons fait sur les fonctions d’une variable, si on suppose que la variable j soit une fonction de deux variables x et y, soit explicite, soit donnée simplement par une équation quelconque entre x, y et %, on pourra désigner par

ses différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre j les traits avec la virgule qu’on applique à la caractéristique f

Ainsi x devenant x -+- i et y devenant en même temps y o, la valeur de £ deviendra

et le terme général de cette série sera

On voit que les fonctions de deux variables engendrent, par le développement , différentes sortes de fonctions dérivées dont la dérivation répond à chacune de ces variables; et que ces^^ctions dérivées se forment de la même manière et par les mêmes règles que celles d’une seule variable, en considérant chaque variable séparément et successivement ; d’où il s’ensuit que tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d’une seule variable, pourra s’appliquer de même aux fonctions de deux variables relativement à chacune d’elles.

On pourra donc aussi étendre la théorie des fonctions dérivées aux fonctions de trois variables ou d’un plus grand nombre; car il ne s’agira que de répété^, séparément, pour chaque variable, les mêmes opérations, et de les désigner par une notation semblable.

Dans les leçons précédentes, où nous ne considérions que lés fonctions dérivées relativement à une seule variable , lorsqu’il s’est présenté des fonctions de plusieurs variables, nous nous sommes contentés de

renfermer, sous la caractéristique des fonctions dérivées, la variable par rapport à laquelle nous voulions avoir la fonction dérivée.

Ainsi , pour ne pas anticiper sur ce qui regarde les fonctions dérivées relatives à plusieurs variables , nous avons dénoté jusqu’ici par f (x ), f"(x), &c. les fonctions dérivées de f(x, y), relatives à la seule variable x, qui, suivant la notation précédente, seraient f‘(x, y), f"’(x, y), ftcJ

Cette manière de noter les fonctions dérivées relativement à une seule variable, nous suffisait alors; et nous pourrons remployer encore quelquefois pour plus de commodité, pourvu qu’on soit prévenu de son identité avec la notation que nous venons d'établir.

Quoique dans les fonctions de deux variables que nous considérons ici, les deux variables soient censées indépendantes, et que ce soit même cette indépendance qui produise les differentes espèces de foire (ions dérivées dont nous venons de parler , rien n’empêche cependant qu’on ne puisse regarder ces variables elles-mêmes comme des, fonctions d’une autre variable quelconque, mais fonctions indéterminées et arbitraires.

Par cette considération, on peut ramener, en quelque manière, la théorie des fonctions de deux variables à celle des fonctions d'une seule, et appliquer , sur-tout au développement des fonctions de deux ou de plusieurs varïaUu, ce que nous avons démontré dans la leçon dixneuvième, sur fi^Téveloppement des fonctions d’une seule variable.

Soit 1 une fonction de deux variables x et y; supposons que chacune de ces variables soit elle-même une fonction d’une autre variable t , de manière que 1 devienne aussi une fonction de t; sous ce point de vue, lorsque t devient t — p- /', j deviendra, par la formule générale (leçon deuxième),

Et si, dans ce développement, on veut s’arrêter au terme (leçon neuvième) ,on aura les limites du reste par le terme qui suivra; savoir.

en mettant t -H- i fi |a place de / dans la fonction g tf " , et prenant la plus grande et la plus petite valeur de cette fonction depuis i =: 0 jusqu’à la valeur donnée de du des valeurs quelconques plus grandes et plus petites que celle-ci..: > - ! -

Or, x et y étant supposées fonctions de t, lorsque / devient / -4- r, .r et y deviennent, “par la meme formule générale,

x -f- ix‘ -J- — x " -J- &c.,

et y -f- iy' -+- — y" -f- &c.;

et on trouvera les valeurs des fonctions dérivées g'j, g", &c. en x, y, x', y', x", y", &c., par les procédés exposés dans la leçon sixième.

Si on ne veut avoir le développement de g que par rapport aux

accroissemens ix' et iy' de x et y, il n’y aura qu'à supposer x' et y’ constans, par conséquent x" = o, y" = ô, &c.| et x' et y' pourront être des coefficiens constans quelconques.

Si , dans les accroissemens de x et y, on voulait considérèr les deux termes ix' -t- x ", et iy' y", on ne ferait alors que

x w — o , y'" — o, &c. ; et x', x", y', y" pourraient être prises pour des constantes quelconques ; et ainsi de suite.

Soit , par exemple ,

on aura, en prenant les dérivées d’après la leçon sixième , et supposant x‘ , y' constantes ,

zm(xx' - 4 -

tt

zm(x ,% -4—

• Açin (m —

\)(xx' -+-

i" = izm(m — 1 )(x' x -\rÿ x ) (xx' -\ryÿ)(x* y')"

-t- 8 m(m — 1 ) (m — z) (xx' -+-yÿ)'(x x -f- y"

et ainsi de suite.

* Donc, lorsque x et y deviennent x -4- ix', y -f- iy', on aura

f(x -+- (y -+- i/rr = /r

im (x x'-+-y/) ( x '+y') m -'i+[xm(x>'+-f)(x' -f-// ^m(m — 1^ ^ ArA y —l— y y)* ( x -+- y l ) M ’/ -4- &c.

Si l'on veut s’arrêter à ces trois premiers termes, alors le terme

suivant étant 7"', on aura les limites du reste en substituant

x -4- ix', y - 4 - iy' au lieu de x , et de y, dans l’expression de j", et prenant la plus grande et la plus petite valeur de cette expression depuis i = o.

Si ru — 3 est un nombre positif, et que x 1 et y' soient aussi des quantités positives , il est facile de voir que la plus petite valeur de i' H sera

il m(m — l) (x ,% -f- /V (**’ -+- y y’) (* % -H -4- 2 m(m — 1) (m — 2) (xx‘ - 4 - yy'P (x* -t- y l ) m ~ 5

qui répond à i z=z o , et que la plus grande sera cette même quantité, en y mettant x -4- i\' et y -4- iy' à la place de x et y.

Si on voulait avoir le développement de j répondant à x -4- i, et y -f- 0, comme dans le commencement de cette leçon, il est clair qu'il n’y aurait qu’à faire x ' z= 1, et iy' = 0, on trouverait des résultats semblables.

Car, en désignant par des traits sans virgule, les fonctions dérivées par rapport à la variable principale t, et par des traits séparés par une virgule , les fonctions dérivées relativement à chacune des variables x et y, comme nous l’avons fait ci-dessus, on aura, suivant ce qu’on a vu dans la leçon sixième sur les dérivées des fonctions composées, d'autres fonctions,

de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à la variable principale t

z" .= *" z'' -H y Z'' *+■ X' W' y —H- y' Cz' ')'•

Mais

Mais i’’ et étant aussi regardées comme des fonctions de x et/, leurs dérivées relatives à / seront

Donc substituant

z! ' = *Y'' -4- /V - 4 - *" z"’ - 4 - ix'/z'’’ - 4 -

et ainsi de suite. v

Si les fonctions dérivées x' et relativement à t, sont constantes.

en

sorte que x ” r=

tt

- 4 - rzr

— ( rn(m — \)

■ 4- ôcc.

Ces valeurs , substituées dans la formule générale

Z h t z > JL f h JL j- -4. Sec.,

donnent ' 0

-+- -t- 2^/z '' 7 -H /* rV