OY''' *+* 3*/*^ ■+* /Y

Et si on fait x = i , i y' = o, on aura la même formule trouvée plus haut pour le développement de suivant les puissances de i et a.

Les expressions des fonctions z'> l" > . que nous venons de

trouver, donnent la composition des fonctions dérivées de fonctions quelconques des deux variables x, y.

XI /.' Cahier. ^ Mm

Ainsi , en faisant x' — i , ce qui revient à prendre x pour variable principale, c’est-à-dire à regarder y comme fonction de x ,.ii on veut que

soit une fonction dérivée d’une fonction de x et y, en la comparant à l’expression de j', .il faudra que l’on ait

Pour éliminer j de ces deux équations , il n’y a qu’à prendre leurs dérivées par rapport à y, pour la première, et par rapport à x, pour la seconde, on aura ainsi

4' (y) = et <*' (x) =

d’où l’on tire

C’est l’équation de condition connue que nous avons trouvée à la fin de la leçon quatorzième, d’après nos formules générales.

Si cette condition n’était pas remplie, il serait alors impossible que la formule (*> y) -4- y‘ <?> (x, y) fût une fonction dérivée exacte d’une fonction de x et y, indépendamment d’aucune relation entre a- et y.

Ainsi on ne pourrait pas supposer l’équation

dans le sens où l’on doit entendre l’expression de à moins de supposer en même temps une relation quelconque entre x et y, ou même entre x, y, j. •

En général, si on supposait l’équation

elle ne pourrait avoir une équation primitive qu’autant qu’elle satisferait à une équation de condition que nous avons donnée à la fin de la leçon quatorzième, et qui se réduif à

4 ' (y) — <*’(*) -i- 9' (z) * 4 (*>'}• z) — - ty(z) * Q(*>y> z) = °>

pour que la variable pût être une fonction de x et y indépendamment d’aucune relation entre x et y.

Si cette équation de condition n’a pas lieu, alors l’équation ellemême ne peut avoir lieu à moins qu’on ne suppose une relation quelconque entre x, y, de manière que deux de ces variables deviennent fonction de la troisième.

Ainsi, dans ce cas, en supposant j = f (x , y), on aura

= f (x) -+- y' f (y) ; et substituant cès valeurs dans l’équation ci-dessus, on aura alors une équation en x, y et y', par laquelle*on pourra trouver la valeur de y en x, et l'on aura y et 1 en fonctions données de x, la fonction f (x, y) demeurant indéterminée.

Mais comme on aurait alors une équation du premier ordre en x et y dont il serait difficile et peut-être impossible de trouver l’équation primitive , on a cherché les moyens de donner à la fonction arbitraire une forme telle que l’on ait immédiatement pour la détermination de y et £ en x, deux équations entre ces variables.

Pour en donner un exemple très-simple , supposons l’équation l' — xy (x -+- y y’),

on aura ici

4 (x, y) = x'y, Cf(x^y) = xy*/

donc

Ainsi il est impossible que z soit une fonction de x et y, regardées comme indépendantes entre elles.

On fera donc y — fx, et l’on aura y' z=z f r x; donc

ï = x % fx - 4 - r/‘x/'x; par conséquent z sera égal à la fonction primitive de x*/x -J- xf'xf X.

Mais on peut éviter la recherche de cette fonction primitive, en

2y6 ANALYSE.

mettant le terme x y* / de 1 expression de z'> sous la forme (+/ — ; ce qui réduit i’équation à cette forme

et supposant

moyennant quoi elle devient dont la primitive est

'Ainsi ces deux équations remplacent conjointement l’équation proposée, la fonction fx demeurant arbitraire.

On doit dire , à plus forte raison , la même chose des équations que l’on pourrait supposer entre x, y, z et y' 1', dans lesquelles les fonctions dérivées y', z! monteraient à des puissances quelconques.

Soit supposée, par exemple, l’équation

en faisant y = f x, on aurait

Et il faudrait, pour avoir z en x, trouver la fonction primitive de V ( 1 - 4 - /' x * ) ; ce qui est impossible tant que la fonction fx demeurera indéterminée, à moins d’employer les séries.

Mais , en introduisant une troisième variable , on peut avoir des expressions finies de x, y, z, en fonctions de cette même variable.

Pour cela , il faut rétablir la fonction prime x' qui est — 1 lorsque x est la variable principale, et substituer par conséquent,

A et ~ à la place de y' et z', conformément aux principes établis

**dans la leçon septième. Ainsi l'équation sera

Pour résoudre cette équation de la manière la plus générale, nous empioîrons un principe dont nous ferons, dans la suite, un plus grand usage, et qui consiste à trouver d’abord des expressions de x, y, 3, qui y satisfassent avec des constantes arbitraires, et à rendre ensuite ces constantes variables , de manière que les expressions des dérivées x 1 y, y restent les mêmes.

Prenons un angle arbitraire u ; puisque sin. w* -f- cos. u* = 1 , en multipliant le second membre de l’équation proposée par sin. «*-4-cos. «*, le premier ne changera pas.

Or le produit de x n —H /' par sin. «* -j- cos. »*, peut se mettre sous la forme

(/ cos. u — x' sin. (/ sin. v x' cos. uj‘ ;

de sorte que l’équation proposée deviendra

y’ = (/ cos. — x' sin. u) * -H (/ sin. ai -+- x' cos. u ) * Supposons

y sin. u -f- j/ cos. u = o,

ce qui est permis à cause de l’indéterminée u , oh aura, en extrayant la racine carrée des deux membres,

j' = / cos. u — x ' sin. u.

Regardons d’abord l’angle a comme constant; les deux équations que nous venons de trouver, auront p«*r primitives ces deux-ci,

1 z=z y cos. u — x sin. u H— a, y sin. u -+- x cos. u ù, m et b étant les deux constantes arbitraires*

, Ainsi ces deux équations donnent des valeurs de y et £ en x, qui satisfont à l’équation proposée quelles que soient les valeurs des trois constantes a, b e t «, comme 00 peut s’en assurer par la substitution.

Or il est facile de concevoir que ces tnt 1 mes valeurs satisferont» encore à la proposée, en supposant que les quantités a, b et o> soient variables, pourvu que les dérivées x 1 , y', z' restent les mêmes; ce qui aura lieu si, en prenant les dérivées des deux équations précédentes, les termes dus aux dérivées de a, b et a se détruisent.

Il n’y aura donc qu'à prendre les dérivées des mêmes équations par rapport à a, b et u, et déterminer, par leur moyen, les variables a et b.

Regardons dans ces dérivées la variable u comme la principale, nous ferons a 1 = 1 , et l’on aura

— y sin. u — x cos. o> -+- a' = o,' y cos. « — • x sjn. « r= b'.

Mais nous avons déjà y sin. u H- x cos. or = b; donc on aura . b j a' — 0, ce qui donne b. — a’, et, par conséquent, V a . Ainsi on aura ces trois équations

2 = y cos. « — x sin. u H- a,

y sin. u -H x cos. u = a',

y cos. « — x sin. u z=z h*‘

Mais, a étant une fonction quelconque de «, si on la dénote par fu, on aura a' = /' «, a“ = /"«; et les trois équations précédentes fourniront ces expressions de x, y, z en u,

x =r cos. u x u — sin. « x f u

y = sin. u y. f u — |— cos. u x f u

la fontion f u> demeurant arbitraire.

Ces formules pourraient servir à trouver des courbes rectifiables; car si x et y sont les coordonnées rectangles d’une courbe plane, et z l’arc correspondant , on sait , par le calcul différentiel , et je l’ai

démontré rigoureusement dans ia Théorie ries Fonctions, que l’on a

t= y (* ,x -+- fh

en regardant x et y comme fonctions d’une même Variable quelconque.

Si on fait f'u = m, on a f u = 0 et f u rr= m u -f- n; les formules précédentes donneront

x = m cos. u, y z = m sin. «, j = mu H— n; ce qui est le cas du cercle.

En prenant pour fu des fonctions quelconques.de sin. u et eos. u, on aura autant de courbes algébriques qu’on voudra , dont ia rectification sera algébrique aussi; problème sur lequel les géomètres se sont autrefois beaucoup exercés, et dont on peut voir differentes solutions dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Les équations dont noue venons de nous occuper, sont connues sous le nom A’ équations qui ne satisfont pas aux conditions Jintégrabilité. On trouve des solutions élégantes de plusieurs de ces équations dans un Mémoire de Monge, imprimé dans le Recueil de l’Académie des Sciences pour l’année 1784.

La notation que nous avons employée pour désigner les fonctions dérivées de £ par rapport à x et y , par des traits séparés par une virgule, est, comme l’on voit, très-simple et conforme à la nature de la chose,; mais elle ne met pas en évidence les variables auxquelles chaque grouppe de traits doit se rapporter; et si ion avait des fonctions de plus de deux variables , la multitude des virgules pourrait rendre la notation incommode , et causer de la confusion par rapport aux variables auxquelles Jes différentes fonctions dérivées répondraient.

On pourrait, dans ces cas, employer avec avantage la notation que j’ai déjà proposée dans l’ouvrage sur la Résolution des Équations numériques ( p. 210), et qui dérive aussi de 1a nature de ce calcul.

* En effet, la formule donnée plus haut,

fait voir que si on veut considérer à part les dérivées relatives à x et y,

on a, par rapport à x, j' = x' il’; donc j'' = -^7-; ici il ne doit

être pris que par rapport à ia variable t en tant quelle est renfermée dans la fonction x ; et pour indiquer ce point de vue , il n’y a qu’à

enfermer l’expression -^7- entre deux crochets ; ce qui donnera

On aura pareillement, par rapport à y, il = / u' ; donc j*' — —r ;

et renfermant l’expression -^7- entre deux crochets , pour indiquer

qu’ici la dérivée il n’est relative à la variable t qu’autant quelle est renfermée dans y, on aura

De cette manière , l’expression de ia dérivée il preftdra cette forme

©ù l’on voit que (\~), (-^r) ne sont proprement que les coefficieni

de x' et de / dans l’expression de la dérivée j'.

Comme la variable t, dont on suppose que x et y sont fonctions,’ demeure indéterminée , en la prenant pour x on aurait x' 1 i

l’expression -) deviendrait alors simplement (il), et indiquerait,

comme elle le doit, la fonction dérivée de 1 par rapport à la variable principale x; de même, en prenant y pour t, on aurait y' = 1 , et

l’expression (-y~) deviendrait aussi ( il) et indiquerait la fonction

dérivée de j par rapport à la variable principale y.

Mais , pour distinguer ces fonctions l’une de l’autre , nous retiendrons toujours les lettres x' et y' sous 1 et nous entendrons simplement

par (-~r)> (-^~r) > * es fonctions dérivées de j par rapport à x et y.

' D’ailleurs

» ANALYSE. .' v 281

D’ailleurs cette manière d’ex {*i mer les fonctions dérivées a l’avantage de faciliter la transformation de ces .fonctions lorsqu’on veut les rapporter à d’autres variables.

Ainsi, comme l’expression (—•) indique que 2 est regardé comme fonction de x, l’expression réciproque ( — -) indiquerait que x serait

regardé comme fonction de j/ et il est facile de se convaincre, par ♦la nature de ces expressions, que l’on a en effet

comme si les parenthèses n’existaient pas, de sorte que Ion aura

Al) — ï —

* Si donc, au lien de regarder 2 comme fonction de x et y, 01» voulait regarder x comme fonction de 2 et y , on substituerait d’abord

à la P bce de (~r)-

Ensuite , pour avoir la valeur de l’autre fonction dérivée (-U) , on

remarquerait qu’ici la variable x est censée constante, puisque 2 n’est regardée que comme fonction de x.

Or, x étant supposée fonction de y 1, on aura, en général,

donc , pour que x soit constante , x! devra être zéro , ce qui donnera < l’équation

d’où l’on tire