LEÇON VINGT-DEUXIÈME

Continuation de la Leçon précédente.

Méthode des Variations , déduite de la considération des Fonctions.

La méthode des variations, fondée sur i'empioi et ia combinaison des caractéristiques J et «f^ qui répondent à des différenciations différentes, ne laissait rien à desirer; mais cette méthode ayant, comme le calcul différentiel , la supposition des infiniment petits pour base , il était nécessaire de la présenter sous un autre point de vue pour la lier au Calcul des fonctions : c’est ce que j’ai déjà fait dans la Théorie des Fonctions ; mais je vais reprendre ici cet objet pour le traiter d’une manière plus directe et plus complète.

Lorsqu’une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées ne satisfait pas aux conditions que nous avons trouvées dans la leçon précédente, elle ne peut pas avoir une fonction primitive, à moins qu’il n’y ait des relations établies entre ces variables , de manière qu’il n’y reste qu’une seule variable indéterminée; et les questions de maximis et de minimis dont il s’agit ici, consistent à trouver des relations telles, que la fonction primitive qui en résultera soit un maximum ou un minimum entre des limites données, c’est-à-dire entre des valeurs données de la variable qui demeurera indéterrriinée.

On voit d’abord que cette question dépend nécessairement de ce que la fonction primitive ne puisse avoir lieu sans une relation entre les variables; car si elle pouvait être une fonction déterminée des différentes variables et de leurs dérivées, elle ne serait plus susceptible que des maxima ou des minima du genre ordinaire, relativement à chacune des variables et de leurs dérivées considérées comme des variables particulières.

Considérons donc une fonction quelconque de x , y , y , y" , & c. que nous désignerons par V , et que nous supposerons n’avoir point de fonction primitive dans l’état où elle est; pour quelle en ait une, il faudra supposer y = cp*; et pour que la fonction primitive qui en résulte, et que nous dénoterons par U , soit un maximum ou un minimum entre des limites données qui répondent à des valeurs données de x , il faudra qu’en faisant varier tant soit peu la fonction cp x , la valeur de la fonction U , prise entre ces limites, diminue dans le cas du maximum, et augmente dans le cas du minimum.

Supposons que l’expression de y soit, en général, une fonction de x et i , que nous représenterons par cp (x,i),e t qui soit telle quelle devienne Cp x lorsque i = o.

La fonction U deviendra aussi une fonction de x et I, et pour quelle soit un maximum ou un minimum , il faudra qu’en donnant à i une valeur quelconque très-petite, et supposant d’ailleurs la composition de la fonction <p (x, i) arbitraire par rapport à i , elle ait une valeur moindre dans le cas du maximum, et plus grande dans le cas du minimum que lorsque i =■ o. Si on développe cette fonction suivant les puissances de i, elle deviendra

U -t- iÙ -t- — 0 - 4 - ~ U -+- &c. ,

en indiquant par des points les fonctions dérivées par rapport à i, dans lesquelles il faut faire , après la dérivation / = o, comme on l’a vu dans la leçon neuvième.

Ainsi l’accroissement de U, à raison de la quantité i, sera exprimé par les termes

i 0 -f- Ü -fj- Ù -h &c. ,

et il faudra pour le maximum, que la somme de ces termes ait une valeur négative, et pour le minimun que sa valeur soit positive, i étant une quantité quelconque très-petite et indépendante de x.

On a prouvé dans Ja leçon citée, qu’on peut toujours donner à i une valeur assez petite pour que le premier .terme i U surpasse la somme de tous les suivans; d'où il suit qu’alors l’accroissement de U aura le même signe que le terme i U ; mais il est visible que ce terme change de signe avec la quantité i qui n’y est qu’à la première dimension : donc il est impossible que l’accroissement de U soit constamment positif ou négatif en donnant à i des valeurs quelconques très-petites , à moins que le premier

terme i U du développement de U ne disparaisse, ce qui donne d’abord la condition £/ = o, qui est, comme l’on voit, commune aux maxima et aux minima.

Cette condition étant remplie , l’accroissement de U se réduira à

I* •• fl A

-7- U H — 77- U - 4 - &c. ; et par un raisonnement semblable à celui que

nous venons de faire, on pourra prouver aussi que le premier terme »* ••

—j- U devra être positif ou négatif pour que la variation soit positive

ou négative ;.mais ce terme étant multiplié par le carré de i , il est clair que son signe sera indépendant de /, et ne dépendra que de celui de la quantité U , laquelle devra donc être toujours négative dans le cas du maximum , et positive dans le cas du minimum; ce qui contient le caractère qui distingue les maxima des minima.

Telle est la théorie générale des maxima et minima que nous avons cru devoir rappeler ici pour 11e rien laisser à desirer.

Dans les questions ordinaires, la quantité U , qui doit être un maximum

ou un minimum, est une fonction donnée de x , et les dérivées U, U, &c. sont prises par rapport à x; alors l’équation U = o devient U'a=o, et donne la valeur de x ; ensuite lé signe de £/’ distingue le maximum du minimum.

Dans les questions dont il s’agit ici , la fonction U n’est donnée que par sa fonction dérivée V ; la fonction x est l'inconnue, et les dérivées

Ù, 0 , & c. sont censées prises par rapport à la quantité i qu’on suppose

contenue

contenue dans la fonction <p (x, i) : ainsi fa difficulté consiste à déduire ces dérivées de la fonction donnée V.

Or, y étant <j>x, lorsque <ÿx devient <ÿ (x, i) , y deviendra

y -+■ ty y -*-77 y &c -:

en dénotant , comme plus haut , par des points les fonctions dérivées par rapport à i, dans lesquelles on fait ensuite i = o ; de sorte que ces fonctions deviennent de simples fonctions de x , qui peuvent même avoir une valeur quelconque, parce que la composition de la fonction {x , i ) est supposée arbitraire par rapport à i.

Ainsi, en prenant les fonctions dérivées par rapport à x, il est clair que y deviendra pareillement

et y" deviendra de même

et ainsi de suite.

/# . . *« . * Il . o

•Faisant ces substitutions à la place des quantités y, y, y ", &c. dans la fonction donnée V , et développant ensuite les puissances de /, cette fonction deviendra

V h- / V ~ V -f- V -t- &c. ; et par la théorie des fonctions dérivées , exposée dans les premières

leçons, il est facile de conclure que la quantité V, qui étant multipliée par / forme le premier terme du développement, sera la fonction dérivée de V en y supposant x constant, et y, y, y", &c. des variables indépendantes dont les fonctions dérivées soient respectivement y , y , y", &c. De même V sera sa fonction dérivée du second ordre, prise relativement

aux mêmes variables, et supposant que y, y', ÿ", & c. soient les fonctions secondes dey,/,y", &c., et ainsi de suite.

Supplément, F

Nous appellerons , en générai , variations du premier ordre , du se* cond, &c. ces dérivées marquées par des points et relatives à la quantité i,

dans lesquelles cette quantité est supposée nulle ; ainsi y sera la variation

du premier ordre de y , y sera la dérivée ordinaire de cette variation,

y sera la variation du second ordre dey, et ainsi de suite. De même,

V, V, & c. seront les variations du premier, du second ordre, &c. de V ;

et U, il, & c. seront aussi les variations du premier, du second ordre, &c. de U : et pour former ces variations, on suivra les mêmes règles que pour les fonctions dérivées ordinaires.

Ainsi, en faisant

V — f(x,y,y,y, 8cc.),

on aura , suivant la notation employée dans ces leçons ,

V = yf'(y) H- y'f(y) -4- jf(f) + &c.

Il est visible que cette fonction V est la même chose que celle que

nous avons désignée par V au commencement de la leçon précédente,

en changeant seulement y en u , parce que nous avons supposé alors que l'accroissement dey était représenté simplement par iu.

Maintenant, puisque U est supposé la fonction primitive de V en y faisant^ = cp.v, quelle que soit la fonction <J)v, elle le sera aussi en faisant y = (x, i). Dans ce cas, nous avons vu que U devient

U —h iÙ H — — U -4- & c. , et V devient V — f- iV H — — V 4- &c. ; de sorte que comme i peut être une quantité quelconque, il faudra que les variations 0 , U, &c. soient respectivement aussi les fonctions primitives des variations V, V, &c. ; ainsi on aura

La condition du maximum ou du minimum consiste donc en ce que la

fonction primitive de V soit nuüe , quelle que soit fa valeur de y : or si , pour pfus de simplicité , on représente la valeur de V par la formule

N'y - 4 - Py -t- Qy -+- Rÿ"' -4- &c. ,

et qu’on emploie relativement aux dérivées de y , les transformations qu’on a enseignées au commencement de la leçon précédente, relativement aux dérivées de u dans l’expression de V, et dont l’objet est de réduire à des fonctions dérivées exactes tous les termes qui contiennent

des dérivées de y , on aura cette transformée

*+■ (P y / — (Q’ÿf (R"}/ -Sec.

-4- (Qj')' — (R' y y &c.

(Ry"J &C.

où l’on voit que tous les termes, k l’exception de ceux qui forment la première ligne, sont des fonctions dérivées exactes; de sorte que leurs fonctions primitives sont connues et déterminées, quelle que soit la

quantité y ; au contraire , les termes de la première ligne étant tous

multipliés par y, ne peuvent avoir de fonction primitive, à moins qu’on

ne donne à la variation y des valeurs particulières : donc , comme cette variation doit demeurer indéterminée, il sera impossible que la fonction primitive de V devienne nulle, à moins que la première ligne de l’expression de V ne disparaisse, ce qui donnera l’équation indépendante de>

N — P < 2 " — - R'" -4- Scc. =rz o.

Cest l’équation qui contient la relation nécessaire entre les variables

x et y pour l’existence du maximum ou du minimum , et que nous appellerons équation générale du maximum ou du minimum. En géométrie, c’est l'équation de la courbe qui jouit de la propriété de maximum ou de minimum. Il est facile de voir que cette équation sera en général de l’ordre a«, si la fonction proposée V est de l’ordre n, c’est-à-dire, si elle contient la dérivée y (v ; de sorte que son équation primitive en x et y ,

contiendra a« constantes arbitraires.

La première ligne de la valeur de V ayant disparu, on aura, en prenant la fonction primitive de V ,

• -+- (R — &cc.j y

la quantité K étant une constante arbitraire.

Cette fonction ayant maintenant une valeur déterminée, pour que cette valeur soit nulle entre les limites données, il faudra que la différence des valeurs qui répondent à ces limites, soit nulle.

Désignons par Ù 0 et Ù , , les valeurs de U qui répondent à la première et à la seconde limite, dans lesquelles x aura des valeurs données, et représentons de la même manière les. valeurs des autres quantités dans

ces limites; on aura cette équation particulière aux limites £/,— -£/ 0 =o; savoir ,

. (Pt Çf t - 4 -

-h (Q, — R', •+- Stc.J /,

à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minium du genre ordinaire; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de y en x pourra admettre.

Si les valeurs de y , y , y" , & c. étaient supposées données aux deux limites, alors il est visible que les variations y D , y or y" 0 , &c. et y, , y ' , ,

y",, & c. seraient nulles à-la-fois; par conséquent l’équation ayant lieu „ d’eile-même , ne donnerait aucune condition à remplir.

Si , au contraire , aucune de ces valeurs n’était donnée , alors il faudrait égaler séparément à zéro tous les coèfficiens de ces mêmes variations , ce qui donnerait autant d’équations relatives à chacune des deux limites.

Mais il arrive le plus souvent que les valeurs dey et de ses dérivées aux deux limites, ne sont ni toutes données ni toutes arbitraires, mais qu’il y a entre elles des relations données par la nature du problème;

alors il faudra, par le moyen de ces relations, réduire les variations y, y,

y", &c. dans les deux limites, au plus petit nombre possible, et égaler à zéro les coèfficiens de celles qui demeureront indéterminées.

L’équation générale

que nous venons de trouver pour le maximum ou le minimum de la fonction primitive de V, est, comme l’on voit, la même que celle que nous avons trouvée dans la leçon précédente pour l’existence de cette fonction, indépendamment d’aucune relation entre les variables.

On volt maintenant ia raison de cette identité des formules par la conformité des opérations analytiques dans les deux cas.

Il est d’ailleurs évident que lorsque la fonction V est d’elle -même urfe dérivée exacte, sa fonction primitive est une fonction déterminée de x, y, y , y", & c. qui doit alors être rapportée aux deux limites, de manière que l’équation

ne doit plus donner de relation entre x et y, et par conséquent doit se vérifier d’elle-même.

C’est par cette considération qu 'Euler a trouvé le premier cette même équation, ou plutôt l'équation équivalente

jp

dx

dx *

Sec. o ,

pour la condition de l’intégrabilité de la formule Z dx. Condorcet a observé ensuite que si la formule fZdx était intégrable, il fallait que la variation S'fZdx le fût aussi; et de là il a conclu que les équations de condition pour l’intégrabilité devaient être les mêmes que les équations entre les variables pour les maxima et minima. Notre analyse ne doit rien laisser à desirer sur cet objet.

Nous avons supposé jusqu’ici que la variation de x était nulle ; c’est ce qui a toujours lieu lorsque les limites sont fixes : mais comme dans la plupart des cas, les limites sont variables, il est bon de voir ce que doit donner la variation de x.

Pour cela, il suffit de considérer que la fonction U étant censée une

fonction de x, si on fait croître x de i>ç, l’accroissement de U sera, comme on l’a vu dans les premières leçons ,

ixU' U" H- &c. ;

or, £/ — V par l’hypothèse; donc

et ainsi de suite.

Donc, pour avoir l’accroissement de U dans ce cas, il suffira d'ajouter respectivement aux variations Ù, Ü , &c., les termes xVj x'V ' , &c.; ainsi, comme V=.Ù' , il faudra ajouter à la valeur de V trouvée dans

l’hypothèse où x ne varie pas, le terme (V x)' .

Mais comme la variation de x influe aussi sur celle de y en tant que cette quantité est fonction de x, il faudra, dans ce cas, retrancher de celle-ci ce qui est dû à la variation de x , dont nous venons de déterminer l’effet total sur les variations de U.

En effet , on a vu ci-dessus que y étant , lorsque <J>x devient <§(x, i), * i* —

y devient y — I- iy H — y -+- &c. : or, x devenant en même temps

x -H i x , y devient par là

y -H- ixy -4- — y" -+- &c.

De la même manière, ÿ qui est aussi fonction de x , deviendra

y ixy H j— y H- &c. ;

' et y deviendra

•* # • My X* fl —

donc l’accroissement total de y sera exprimé par

Î (y ■+• xy) -f- — (y -+- 2 xy -+- x 1 y") H- Sic . ,

où l’on voit que ÿ xy , ÿ 2 xy -f- x l y", &c. sont les variations

totales de y, dans le cas où l’on a égard à la variation x de x.

Désignant, pour un moment, ces variations par (y), (y), Sic. ; pour les distinguer des variations y, y, Sic. qui ont lieu lorsque x est nulle,

on aura

/ H- iy = (y) • y ■+• 3.x y -+- X 1 / — (y), &c. ;

donc

et prenant les dérivées par rapport à x ,

Ce sont les valeurs qu’il faudra substituer à la place de y, y, y", 8cc. dans la variation V prise en regardant x comme invariable : donc , si on a égard à la variation de x, l’expression de V trouvée ci-dessus, deviendra, en mettant simplement y au lieu de (y),

N(y — y'x) -f- P (y— yx)‘ -h Q( ÿ—yxj" -f- R(y—yx/"-+-8cc. -f- (Vx)' : ainsi les termes de la transformée , qui seront multipliés par les variations y et x, sans être des dérivées exactes , seront simplement

(N — P' H- Q — R w -H &tc.) (y — y'x); d’où l’on voit que l’équation générale *

trouvée d’après la seule variation de y, satisfait en même temps à la variation de x : donc cette variation n’influera que sur l’équation aux limites Ù, — 0 o = o, dans laquelle il faudra ajouter à la valeur de U le terme Vx, et y changer ÿ en y — y x.

On peut parvenir au même résultat d’une manière moins simple , mais plus directe, en considérant immédiatement les variations de x et de ses dérivées.

Pour cela, il faut d’abord dépouiller la fonction V de la supposition de r'=i, pour pouvoir tenir compte des variations de x', x", &c., ce

qui

qui se fait en substituant, comme on i’a vu dans les leçons precedentes,

~r au lieu de y , . - au fieu de y", et ainsi de suite , et multipliant

la fonction V par x pour quelle puisse être la fonction dérivée de U. Soit, pour abréger,

J 7-=P> ir = ^ir= 1 r> &c..

il faudra dans V substituer p, q, r, & c. à la place de y , y", y", &c. ; moyennant quoi cette quantité deviendra fonction de y, p, q , & c. , et l’on aura la dérivée

V = Mx H- Ny -4- Pp -+- Qq -h R/ ■+■ &c.

qui se réduit à

V — (Ai — h* Np — Pq — H Qr •+■ R s — 4 — &lc.)x, et la variation

V =' Mx -4- N y -4- Pp -+- Qq -4 - R r •+- &c. : ainsi tout consiste à trouver les valeurs des variations p, q, r, & c.

Or, p étant = -r-, on aura

P — — 7 — p = 7 V-qx,

à cause de = q.

On peut faire ici x' i , et Ton aura simplement

p — (y — p* / -+■ qx.

De même q étant ~ , on aura

■rx.

Mais la valeur de p donne

p — qx = (j — pi y;

Supplément.

donc faisant cette substitution , et supposant .v' — i , ce qui est permis ici , ii viendra

i = (y — p *)" -+- rx.

On trouvera de la même manière

r = (y - pif -+■ ri,

et ainsi de suite.

Par ces substitutions, la variation V deviendra (M-+- P q -+- Qr-h- R s -+- &c.; x *+* Nÿ -+■ P (y — px/ -h Q('y — p x)" -+* R (y — p x/" &c.

H- N (y—px) P(ÿ—pic/-+~Q(y—px/'-t-R(ÿ—px)"'-y-&.c. Or, on a trouvé ci-dessus,

M -H N p -H Pq -f- Qr &c. rz: ~t-/

d’ailleurs, p = . donc faisant ces substitutions, et supposant ici

x' = 1 , on aura simplement

V—V'x Nfÿ—y 'x) Pfy—yxf -+- Q(y—yx/' -f- R(ÿ —y'*)'" -+- &c.

C’est la valeur complète de la variation de V , déduite des variations de x et de y et de leurs dérivées.

Mais on a vü qu’il faut mejtre Vx à la plaçe de V; donc on aura

PV-t- Vx à substituer à la place de V dans les formules données plus

haut ; donc mettant ici la valeur de V qu’on vient de trouver, et observant

que

Vx - 4 - Vx = (Vx/,

on aura, en faisant *■' = 1 , le même résultat auquel on est parvenn ci-dessus par une autre voie. *

Au reste, en regardant ia quantité V comme une fonction de x, y et de leurs dérivées x , x“, &c. , y , y", &c. , on pourra traiter les variations de x comme on a fait celles dey.

Dans ce cas, la fonction V étant représentée par

f ( x, x', x", &c . , y, y , y, &.C.J , on trouverait les termes

xf (x) -+- x'f(x') -f- xf(x'), &c-

à ajouter à la variation V ; et en désignant ces termes par la formule

»x -f— px -f- qx -h- T x -4- &c. ,

on parviendrait par des opérations relatives à la variation x et analogues à celles, qu’on a employées pour la variation y, à 1a transformée

de sorte que la partie de la valeur de V qui ne serait pas une dérivée exacte, serait

Lorsque / est censée une fonction de x, et qu’on peut par conséquent faire x' = i , nous venons de voir que 1a variation simultanée dey et x, donne pour la partie de V qui n’est pas une dérivée exacte, la formule

il faut donc alors que la formule précédente coïncide avec celle-ci, et que l’on ait par conséquent

n — p‘ ' H- q - r" -4- &c. = —y’(N— ?-+-(£ — R"' -+- &LC.J; d’où l’on voit que l’équation

n — p — q — r -4* occ. — . o t , ; ,

que donnerait la variation de x, est toujours équivaietfte à l’équation M — P H- G" &c. = o

qui provient de la variation de y.

En effet , nous avons déjà trouvé par une autre voie , dans la leçon précédente, que ces équations ont toujours lieu à-la-fois.

Un des avantages du calcul des variations est de pouvoir faire varier indistinctement les indéterminées x ou y et leurs différentielles , et l’identité des équations du maximum ou du minimum , déduites de l’une et de l’autre de ces variations , a été un des premiers résultats de ce calcul, auquel les anciennes méthodes n’auraient pu conduire ; mais les démonstrations qu’on en a données dans le second et dans le quatrième volume des Mémoires de Turin, sont moins directes que celle qui se déduit des formules qui représentent cette double variation , et que nous venons d’exposer d’après Euler. Voyez le tome troisième de son Calcul intégral.

Considérons maintenant le problème dans toute sa généralité , et d’abord soit, comme ci-dessus,

on aura

Soit, de plus, pour abréger,

Y—f (y) - [f(/n -+- [/(/))" - [ f(jT)T &c -

Y—f (y") - [f(yV] & C.

La variation V, dans le cas où x ne varie pas, sera

V — Yÿ —H ( YyJ H— (Ÿyjf -+- (Ÿyf H- &c. , où les termes qui ne sont pas sous la forme de fonctions dérivées, doivent

s’évanouir, ce qui donne d’abord, comme on l’a vu, i’équation générale

Ensuite, à cause de V — & , on aura la variation de U

ü = rÇ 4- r/ -t- rÿ -4- & c .

et l’équation aux limites sera

Si on veut que x varie en même temps que y , on changera y en y — y x , et on ajoutera à U le terme V x.

Supposons , en second lieu , que la fonction proposée contienne une troisième variable avec ses fonctions dérivées j', j", &c. ; on fera, relativement à cette variable, des opérations analogues à celles qu’on a employées pour la variable/; et (a valeur de V, en supposant x invariable, se trouvera composée de deux parties semblables, l’une relative à /, l’autre relative à j.

Ainsi, en supposant

et conservant les expressions de Y, Y, Y, & c. , on fera, de plus;

Z =/(z ) - I ’fun

z ~ f a ) — l ran t/wr- &c.

z = f'(zV - &c.

et l’on aura sur-le-champ

(Ÿÿ)' - 4 - (Y// (Ÿy 7 4 - Scc.