Zi/ 4- (Zi)' 4- (Ïi7 -4- &c

les termes Yy -f- Zf» qui ne sauraient être des fonctions dérivées exactes,

tant que y et j ont des valeurs arbitraires, doivent être détruits, ce qui donnera d'abord l’équation générale

Yy -H Zi = o,

à laquelle on satisfera de différentes manières, suivant que les variables y et i seront indépendantes l’une de l’autre, ou quelles seront liées entre elles par des relations données.

On aura ensuite, en prenant les fonctions primitives, à cause de V = Ù , l’équation

O — Yy H- Y y -+- Ÿ y" -f- &c.

c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’équation aux limites

Si on veut que x varie aussi, on changera y et ienÿ— y'x, — Z x > et on ajoutera à U le terme V x.

Reprenons l’équation Yy-+-Z’z=.o. S’il n’y a aucune relation donnée par les conditions du problème , entre x et y , leurs variations seront indépendantes l’une de l’autre, et on ne pourra vérifier l équation dont il s’agit qu’en faisant séparément

deux équations qui serviront à déterminer y et 2 e n fonctions de x,

Mais , si les variables y et 2 étaient liées par une équation de condition entre x,y, 2 , que nous représentons par

il faudrait tirer de cette équation la valeur de 2 en x > y > et l a substituer dans l’expression de V ; mais pour faire usage de l’équation Yy-\rZi— o ,

il suffit d’avoir le rapport entre les variations y et j; et pour cela if n’y a qu’à considérer que la relation entre les quantités x , y, j devant subsister aussi dans l’état varié, l’équation F (x, y, z) = o devra avoir lieu

aussi en y mettant x -4- ix au lieu de x, et y •+■ iy -i y H- &c. ,

Z -f- >Z ■+■ Z Z ~f~ au lieu de y et quelle que soit la quantité i:

d’où et de ce qui a été démontré dans les premières leçons, il est facile de conclure que les dérivées de cette équation, relatives aux variations de x , y, z> devront avoir lieu aussi; de sorte que l’équation de condition F (x, y, i) =: o donnera les équations variées

Or, en regardant x comme variable, on a

F(x,y,i) — 'y F (y) -i- zF'(z),

puisque l’algorithme des variations est le même que celui des dérivées ; ainsi on aura l’équation

d’où l’on tire le rapport de / à lequel étant ensuite substitué dans l’équation Yy -J- Zj = o du maximum ou du minimum, donnera celle-ci YF'(z) - ZF'(y) = o,

qui étant combinée avec l’équation de condition F(x,y, z) = - o servira à déterminer les valeurs de y et ç en x.

Nous avons supposé dans le calcul précédent que x ne variait pas. Si on voulait tenir compte des variations de x, on aurait à la place de l’équation Yy - 4- Z£ = o, celle-ci ;

Y('y — y'x) H- Z (i — ix) = o.

Or, l’équation de condition F (x, y, z) = o donnerait, d'un côté,

l’équation dérivée

F'(x) -+- /F'(y) •+- z'F'(z)— o, et, de l’autre, l’cquation variée

xF'(x) -+- y F' (y) -f- iF'(z) = o:

substituant dans celle-ci la valeur de F(x), tirée de la précédente, on aura

(7 -y*) F' (y) -+- (i - zi)F'(z) = o;

et cette équation combinée avec l’équation ci-dessus, donnera également l’équation

yp'(z) — Z F' (y) — o.

On voit par là, en général, que la variation x de x, n’influe que sur l’équation aux limites, et nullement sur l’équation générale du maximum ou du minimum.

Supposons maintenant, pour embrasser le problème dans toute son étendue, que l'équation de condition entre x,y, contienne aussi les dérivées de y et g , et soit en générai de la forme

On tirera de là l’équation variée

F(x,y,y',y", 8t c. Z> Z > Z > & c -) — °> laquelle, en n’ayant égard qu’aux variations dey, j, se développera ainsi :

-4- ZF'(Z) -+- ÏF'(z) -4- Z 'F’(z) 4- z= o.

Comme les dérivées de j ne paraissent dans cette équation que sous la

forme linéaire, il est possible d’en déduire l’expression de j, en employant la méthode des multiplicateurs et prenant successivement les fonctions primitives; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et

compliqués,

compliqués, et ii est beaucoup plus simple d’employer les multiplicateurs de la manière dont on en a usé dans la Mécanique analytique, qui est toute fondée sur le calcul des variations.

On se contentera donc de multiplier le premier membre de cette équation par un coefficient indéterminé A, et de l’ajouter à l’expression précédente de la variation V , en ayant soin en même temps de transformer tous les nouveaux termes de manière que les fonctions dérivées des variations y et z ne se trouvent que dans des fonctions dérivées exactes , comme on l’a pratiqué à l’égard des termes de la valeur de V. On aura ainsi une nouvelle expression de V , dans laquelle on pourra

maintenant traiter les variations de y et z > comme indépendantes , à raison de l’indéterminée A.

Soient, pour abréger,

(Z) = A F'(z) - [A/'YzVT [AFYOT -

(Z) = KF'(i) - [(AF'(z')]' -4- &c.

(Z) = AFYzV -

Les termes \ ajouter à l’expression de la variation V , seront

■+■ [mu -+- imn &c.

-+- [(Z )zY -+• [(ZJÏ)' -+- &c.

Donc, puisqu’on peut maintenant regarder les variations y et j comme Supplément. H

indépendantes , on aura d’abord , par les principes posés ci - dessus , les deux équations générales du maximum ou du minimum ,

entre lesquelles il faudrait éliminer l’indéterminée A ; et l’équation résultante, combinée avec l’équation de condition, donnera les valeurs de y et j en x.

Ensuite la variation U deviendra

-4- [ Z -4- [Z -+- (ZJ]£ Sic. ,

vàleur qu'on substituera dans l’équation aux limites

Si on veut avoir égard en même temps à la variation de x, on ajoutera à Ù le terme Vx, et on changera les quantités y , £ et leurs dérivées en y — y x, z — Z*’ et dans I es dérivées de celles-ci.

11 faudrait, à la rigueur, dans ce cas, ajouter à la valeur de V le terme A [x F(x,y,. % .^]\ d’après les formules trouvées plus haut pour la valeur complète de la variation de x' F (x , y,. . .). Ce terme se transforme en [A x F (x, y,. . .)Y — A ' x F (x , y,. . .) ; mais il disparaît ici en vertu de l’équation F (x , y,. . .) = o. Il faudrait néanmoins le conserver si l’équation de condition n’était donnée que par l’équation variée F(x,y,.\ .)=■ o.

Dans l’équation aux limites , on pourra regarder aussi les variations x.y et z> ainsi que leurs dérivées, comme indépendantes, à moins que la nature du problème ne donne aussi des conditions particulières aux limites.

Supposons, par exemple, que l’on ait une ou plusieurs équations de condition entre les quantités x, y, y, y", Sic., z> Z> Z> &C. , rapportées

aux deux limites, c’est -à' dire centre les quantités x ol y ol yà, yà, 8cc. Zo, là, là', &c. *„/„ y,", &c. z,, z,\ i", &c. , et que le maximum

ou le minimum ne doive avoir lieu que parmi les fonctions qui , prises entre les limites données, satisfont à ces conditions; il faudra que les mêmes équations subsistent dans l’état varié, c’est-à-dire, en y mettant

x -t- Ix, y -+- iÿ- 1 - à— y -+- &c. , z -+- iz H z -4- Scc. à la place

de x,y, z; par conséquent on aura aussi les variations de ces équations , comme nous l’avons déjà vu plus haut.

Désignons par

^ ( * o, y a » y a , Scc. Zo, Zo , Scc. x*, , y , , y, &c. z , , Z, » Scc.) — o , une de ces équations de condition ; elle donnera l’équation variée

V (xJ y a $>' (y J H- 1 *' IzJ -h yà *' (y à) H- &c.

(x,) - 4 -/, V( y,) -+- z, fa) -t~yà (yà) *+• &c. = o.

On multipliera cette équation et les autres semblables par des coèfficiens indéterminés <*,, fi, &c., et on les ajoutera à l’équation des limites données ci-dessus, après quoi on pourra traiter toutes les variations

x \ , y o, y 0 ,y 0 , Scc. y,,y, ,y, , &c. g, , s, , z, , &c.

comme indépendantes, et égaler à zéro chacun de leurs coèfficiens, ce qui donnera autant d’équations particulières aux limites qu’il y aura de ces variations. On satisfera ensuite à ces équations par le moyen des coèfficiens arbitraires «t, fi, & c. et des constantes arbitraires qui entreront dans les expressions de y , z en x.

A l’égard des variations &c. j, , là, Scc., il est bon de remar-

quer que la fonction z étant donnée par une équation dérivée, si cette équation est de l’ordre n par rapport à les valeurs de z> Z> Z> Scc. ’ Z { "~' ) , correspondantes à une valeur donnée de x, seront arbitraires, et devront être déterminées par les conditions du problème : ainsi, en rapportant ces valeurs à la première limite, il faudra regarder les quantités

( tfo )

Zo> Z°> &c. Zo <n ~° comme des fonctions données de x 0 , y ot y Q ', &c. ; donc les variations £,, Zo> &c. seront aussi données en fonctions de *o>yo>yâ> &C. multipliées par les variations x 0 ,y 0 ,ÿâ, &c. : alors les variations £, , j/, &c., qui se rapportent à la seconde limite, seront

absolument indéterminées, et il faudra les faire évanouir en égalant leurs coèfficiens à zéro.

On pourrait demander que la fonction j donnée par l’équation de condition fût elle-même un maximum ou un minimum. Il n’y aurait alors qu’à supposer U = £, et par conséquent V j'.

On aurait donc dans ce cas

f (y) = o,f(y') = o, &.c.f(z) =zo,f(i) = i ,/({) — o, &c. ; donc

Les équations générales du maximum ou du minimum seraient donc simplement

on aurait ensuite

L’équation (Z)z=zo servira à déterminer la variable A, et l’équation (Y)zzzo , combinée avec l’équation donnée F(x,y,y , &c. z> j, 80 ;.,}= o, donnera la valeur de y en x. Soit i <n> la plus haute dérivée de z qui entre dans cette équation, l’équation (Z)=zo sera linéaire et de l’ordre n , par rapport à A; la valeur de A contiendra donc autant de constantes arbitraires et linéaires aussi, qui serviront à faire évanouir les variations

Z . . Z*’ dans l’équation des limites, les variations jo, Zo> &c. étant censées données par la nature du problème, comme nous venons de le remarquer.

11 faudra donc déterminer ces constantes de manière que Ton ait J-t-(ZJ=zo, (Z,)-=.o, (Z>) = o , &c. ,

et on remplira ces conditions en faisant simplement

et de plus ,

\(*) F'(i fn >), -4- ï = o.

Ceci revient à la solution donnée dans le tome quatrième des Mémoires de Turin.

En général, soit V une fonction quelconque des variables x,y. & t, &c. et de leurs dérivées d’un ordre quelconque, à l’exception de x, dont la dérivée soit supposée l’unité ; et soient L — o , M — o , &c. des équations de condition entre ces variables et leurs dérivées, dont le nombre ne surpasse pas celui des variables diminué de deux unités, afin qu’il reste des relations indéterminées entre les mômes variables.

Le problème de maximis et minimis dont il s’agit ici , consiste à déterminer ces relations de manière que la fonction primitive de V devienne un maximum ou un minimum entre des limites données , correspondantes à des valeurs données de x.

Pour le résoudre de la manière la plus générale , on cherchera les variations des fonctions V,L,M, &c. , dues aux variations de/, z> &c., et désignant ces variations par V, L, M, &c., on considérera la formule

ÎY -4- A L. — f— /à, M — f— &c.,

dans laquelle A, jt *, &c. sont supposées des variables indéterminées.

On fera sur cette formule les transformations enseignées plus haut, par lesquelles les fonctions dérivées des variations^, z> t, &c. ne paraissent plus que dans des termes qui sont des fonctions dérivées exactes : elle deviendra ainsi de la forme

Yÿ Z z -4- T i -t- &c.

-4- (Yy -t- Yy -4- Y y" -t- &c./

-4 - (fi ■+■ T ( -t- Tï - 4 - Sic./ &c.

Et l’on aura d’abord les équations générales

Y — o , Z — o , T = o , &c. , qui , étant combinées avec les équations de condition L = o , AJ = o , &c. ,

serviront à déterminer les variables^, z> t, Sec. A, [a * , & c.

Ensuite faisant

(Ù) = Ÿy 'H“ Yy -t- Y y" h- &c.

-f- Z'i -H Zj' -h Zj" -H &c.

h- ri -h ri' h- ri" & c .

on aura l’équation aux limites (Ù ,) — (Ù a )z=. o, à laquelle on devra satisfaire, indépendamment des variations y, y, &c. j', &&. &c.

Et pour tenir compte de la variation de x, il n’y aura qu’à changer y, z, i en y — yx, z — i — t'x, et ajouter à la valeur de (Ù) le terme Vx.

Comme la nature du problème peut fournir aussi des équations de condition entre les variables x, y, z> t> &c., rapportées à ces limites, désignons par A o , 2? = o , &c. ces équations de condition , de manière que A, B , &c. soient des fonctions données de x 0 , x,, y ot y,, Vo, y,', &c.

On formera les équations variées A = o, Bz=o, dues aux variations de chacune des quantités x ot x, , y„, y , , y 0 \ y, 1 , &c. ; on ajoutera ces équations multipliées par les coèfficiens indéterminés <t , /3 , &c. à l’équation aux limites.

On aura ainsi l’équation

(ÛJ — (ÙJ -+■ a. À ■+- fi B -4- &C. = o,

dans laquelle on égalera séparément à zéro le coefficient de chacune des variations dont il s’agit.

Ces formules servent à répondre à toutes les questions où l’on cherche des maxima ou minima absolus. Voyons aussi comment on y peut rappeler les questions où l’on ne demande que des maxima ou minima relatifs, c’est-à-dire, dans lesquelles la fonction primitive d’une fonction donnée ne doit être un maximum ou un minimum entre des limites assignées, qu’autant que les fonctions primitives d’autres fonctions données , auront des valeurs données entre les mêmes limites.

Soit u la fonction donnée dont la fonction primitive doit avoir une valeur déterminée entre les limites assignées. Supposons que s soit cette fonction primitive, en sorte que l’on ait l'équation s' — # = o. La condition dont il s’agit consiste en ce que la quantité J, — s D doit avoir une valeur donnée ; par conséquent sa variation devra être nulle , ce qui donne l’équation aux limites s, — r 0 =o.

Pour introduire cette condition dans la solution générale du problème de ma xi mi s et minimis , je regarde l’équation s' — u = o comme une équation de condition, et je la traite comme les équations de condition L— :o, M — o , &c. Je multiplie par un coèfficient variable et indéterminé a la variation s — u , et je l’ajoute à la formule générale V -+- A£ -H &c. ; j'ai