L -b- M -ci : (<r 's

t comme ces

Il n’y aura Jonc que la variation — au qui devra être ajoutée à la formule générale, ce qui revient à substituer à la place de la fonction V 'la «fonction V — au, et à chercher les conditions du maximum ou du minimum absolu de la fonction primitive de V — ‘au, a étant une constante quelconque arbitraire.

On trouverait de la même manière que si la fonction primitive de V ne devait être qu’un maximum ou un minimum relatif, en supposant que les fonctions primitives de u et v aient des valeurs déterminées, la question se réduirait au maximum ou au minimum absolu de la fonction primitive de V — au — bv, a et b étant des constantes arbitraires.

Ce résultat s’accorde , comme l’on voit , avec celui qu ’ Euler avait trouvé par la considération des variations des ordonnées successives dans les courbes.

Telles sont les formules générales pour la solution des problèmes de maximis et minimis qui dépendent de la méthode des variations , et l’on voit que ces formules s’étendent à tous les cas ; mais dans chaque cas particulier, au lieu d’y appliquer ces formules , il sera quelquefois préférable d’opérer directement sur les fonctions proposées, en suivant la marche que nous venons de tracer.

Quant à la manière de distinguer les maxima des minima , et même de s’assurer de leur existence, nous avons vu qu’elle dépend des variations du secifliy ordre ; mais nous n’entrerons pas dans un détail qui nous mènerait trop loin : on peut voir d’ailleurs ce que nous avons dit là-dessus dans la Théorie des fonctions, art. 173 et suiv. Nous remarquerons seulement qu’en prenant la variation du second ordre de la fonction V, il sera inutile d’avoir égard aux variations du second ordre

de la variable/, parce que les termes affectés de/,/, &c. dans l’expression de V étant les mêmes que ceux affectés de /,/, &c. dans V, ces termes doivent disparaître par les conditions du maximum ou du minimum,

quelle que soit la valeur de / ou de / : ainsi on aura pour la variation

du-

du second ordre, les mêmes formules que dans l'endroit cité, en changeant seulement y en 6», et par conséquent aussi les mêmes résultats.

Pour ne rien laisser à desirer sur cette matière, nous dirons encore un mot des maxima et minima qui dépendent des fonctions de plusieurs variables. La première question de ce genre a été résolue par la méthode des variations, dans le second volume des Aléatoires de Turin. U s’agissait de trouver parmi toutes les surfaces courbes qui sont terminées par le même périmètre, celle qui est la plus petite possible; problème qui est, par rapport aux surfaces, ce que les problèmes dont on vient de traiter, sont par rapport aux lignes.

En nommant z l’ordonnée perpendiculaire aux deux abscisses x et y, et qui est censée fonction de ces deux -ci, et désignant par des traits séparés par une virgule, les fonctions dérivées de j, prises par rapport à x et y. comme on l’a fait dans la leçon XX. e , la grandeur ou la quadrature de la surface est exprimée par la double fonction primitive de la formule

✓[« h- (tr -+- <w],

prise d’abord par rapport à une seule des variables x,y, et ensuite par rapport à l’autre, en substituant pour la première sa valeur donnée par l’équation du contour de la surface : ainsi le problème consiste à trouver la fonction % de x et y , qui rendra cette double fonction primitive un maximum ou un minimum.

Pour le rendre plus général, nous supposerons qu’on demande de rendre un maximum ou un minimum la double fonction primitive d’une fonction donnée de x.y, j, j’, i’’, j"', &c.

Désignons cette fonction par V, de manière que l’on ait

V = f(x,y, Z . {>. t'. l\ Z‘\ f, Sic. J,

et soit U la double fonction primitive de V, qui doit devenir un maximum ou un minimum. Il faudra, par les principes établis ci-dessus, que

sa variation U soit nulle : or, U'' — V ; donc prenant les variations Supplément. I

£/•' = V. Si on dénote de même par des traits placés au bas, les fonctions primitives, ainsi qu’on l'a indiqué dans la leçon treizième, on pourra passer de l’équation précédente à celle-ci qui est inverse U — V jt/ par laquelle on voit que le problème consiste à rendre nulle la double fonction primitive de la variation V.

Or on a, en prenant les variations de i et de ses dérivées.

V = if (l) -+- ï‘f({‘) ■+■ t'f (?')

-T- l’f'ilj î'fttO +■ ÏV(?) H- ficc.,

formule que nous représenterons, pour plus de simplicité, par

V = Li -H M'ï -h Ni’’ -4- Pf- -+- Qf —h R ? -+. &c.

On fera dans cette formule les transformations employées plus haut, par lesquelles Içs dérivées de la variation j ne se trouvent que dans des termes qui sont des dérivées exactes.

Ainsi le terme Mf se changera en (MiJ’- — Aî’i, le terme Njf se changera en (N if — N’’z> et ainsi des autres, en conservant la position des virgules qui séparent les traits relatifs aux variables x et/.

De cette manière on aura la transformée

V — (L — M" — N"' -4- P"' -4- <2 V -4- R‘" -4- &c.; z *+■ (Mi -4- P'z‘ — P'i -4- Qx' H- &c./’

-4- (Ni -4- Ri'' — R"'i — < 2 ''Z -+- &■£•)’ • &c.

On voit d’abord ici qu’il est impossible que la double fonction primitive de V devienne nulle, quelle que soit la variation à moins que

les termes affectés simplement de j ne disparaissent , ce qui donne d’abord l’équation générale du maximum ou du minimum

La première ligne de l’expression de V étant effacée, si on prend

maintenant les doubles fonctions primitives de part et d'autre, on aura

Ù = (M z -+- P Z' — P r, i Qz’V •

*+• (Ni -+- Ri' — R'i — Q'-i)-'.

Comme il n’y a plus ici que des fonctions primitives simples , chacune d’elles se rapporte uniquement à une des variables x, y, en regardant l’autre de ces variables comme déterminée par l’équation qui donne la courbe des limites entre lesquelles le maximum ou le minimum doit avoir lieu.

Le cas le plus simple est lorsque le contour de la surface représentée par lequation en x, y, j, est supposé tout-à-fait donné et invariable; alors les variations de j et de ses dérivées sont nulles relativement à la courbe de ce con»ur, et par conséquent aussi dans toute l’étendue des fonctions primitives simples de la variation 0, et la condition de U = o se trouve remplie d’elle-même.

Lequation du maximum ou du minimum sera donc , en substituant les valeurs de L, M, &c.,

qu’on voit être du genre de celles que nous avons considérées dans la leçon XX.*, et dont les équations primitives contiennent des fonctions arbitraires.

Les cas plus compliqués se résoudront par des considérations analogues à celles que nous avons faites sur les problèmes où l’on ne cherche que des fonctions d’une variable.

Pour donner maintenant quelques applications des méthodes et des formules que nous venons d’exposer, nous prendrons d’abord le problème le plus simple de ce genre, qui consiste à trouver la ligne la plus courte entre des termes donnés. En supposant que la ligne cherchée soit toute dans un même plan, et prenant x, y pour ses coordonnées, la longueur

de la ligne sera exprimée en générai par ia fonction primitive de l’expression v'Y» -+-/V» qu* «tou 1 représentée par V ou f(x, y. y), donnera / (y) = o , (y') = : ainsi l'équation générale du

maximum ou du minimum sera

~[ /r.- TvI = oi

ensuite on aura 0 = v et ,,é< l uation aux limites sera

L’équation générale donne tout de suite ^ = à une cons-

tante; d'où ion tire y = A, et de là / — bx H- c , b et c étant deux constantes arbitraires, ce qui est l'équation générale de la ligne droite. .

Si les deux extrémités de la ligne étaient données, on aurait } o =0 et}, = o ; par conséquent l'équation aux limites aurait lieu sans aucune condition.

En général , l’équation aux limites se réduira à a (y, — ÿ 0 ) — 0 , où a = -JJ- 1 - i — ; de sorte que si la ligne cherchée devait être terminée des deux côtés ou d'un seul par des lignes perpendiculaires a i axe des x, les variations }„,} , seraient toutes les deux, ou une seulement, arbitraires : dans l’un et l’autre cas, l’équation aux limites donnerait rt = o, et par conséquent i = o; ce qui réduit la ligne la plus courte à une droite parallèle à l'axe.

Si la ligne la plus courte devait être terminée de part et d’autre par deux lignes Jonnées droites ou courbes , il faudrait alors tenir compte dans l’équation aux limites des variations de * et y à-la-fois : il faudra

donc mettre dans l’expression de Ù , y — y'x à la place de}, et y ajouter

le terme Vx; on aura ainsi

et réduisant

L’équation aux limites étant U , — U Q = o , si on suppose que Jes deux limites soient indépendantes l’une de l’autre, on aura séparément

0 o = o et Ù, = o ; et par conséquent

y'oÿo -4- x u = o, /.J, -4- i, = o.

Soit maintenant $ (x, y) = o, l’cquation de la ligne qui forme la première limite, elle donnera l’équation variée x¥ (x) -\~y$' (y) = o ; mais elle donne aussi l’équation dérivée 4>' (x) -+- y' (y) = o ; de sorte que la combinaison de ces deux équations produira celle-ci :

Il faut remarquer à l'égard de cette équation, que les variations x, y sont censées les mêmes que celles que nous avons désignées ci-dessus par x„,y Q , parce que ce sont les variations des coordonnées x, y à la première limite; mais la dérivée y n’est pas la meme que la dérivée y 0 , quoiqu’elles se rapportent toutes les deux au même point : car celle-ci se rapporte à la ligne fa plus courte, et exprime la tangente de l’angle que la tangente à cette ligne fait avec l’axe ; au lieu que l’autre se rapporte à la ligne qui sert de limite , et exprime de même la tangente de l’angle que la tangente à cette ligne fait avec le même axe. Nous désignerons cette dérivée par (y) , et appliquant le chiffre o au bas de chaque lettre pour la rapporter à la première limite, l’équation précédente deviendra

Telle est Iequation de condition qui doit avoir lieu entre les variations y a et x Q ; ainsi substituant dans l’équation y' 0 ÿ a -+- x : 0 = o de fa première limite,' la valeur de^ 0 tirée de l’équation précédente, on aura

[y o (y )a -+- i ] * = o , et par conséquent y Q (y ) Q -4- i = o.

Or,y„ et étant les tangentes de deux angles, on sait que la tangente de la différence de ces angles est exprimée par la formule ~ ÿffif •

donc, puisque ici le dénominateur devient nul, et par conséquent la tangente infinie, il s’ensuit que la différence des deux angles dont il s’agit, sera égale à un angle droit.

D’où il est aisé de conclure que les deux lignes, celle qui doit être la plus courte, et celle qui forme sa première limite, doivent se couper à angles droits.

Et comme l’équation à la seconde limite est tout-à-fait semblable à l’équation pour la première , on trouvera nécessairement le même résultat relativement à la seconde limite; c’est-à-dire, que la ligne la plus courte devra aussi couper à angles droits la ligne qui formera la seconde limite.

On satisfera à ces conditions par le moyen des équations /Ô£y%4-i=o et /• (/)' "+■ 1 =°> et ^ es constantes arbitraires b, c, ce qui n’a aucune difficulté.

Supposons maintenant, pour donner plus de généralité au problème, qu’on demande la ligne la plus courte, sans la condition quelle doive être toute dans le même pian; en prenant x, y, z P our ^ es tro ' s coordonnées, dont deux,^ et j, sont censées fonctions de la troisième, x, on aura la fonction ■/ (i -+-/*-+- {' ) , dont la primitive exprimera la longueur de la ligne cherchée, et devra par conséquent être un minimum.

Faisant donc

on aura

formule qui , par les principes établis , se transforme en celle-ci :

v — — (ÿr, - (4-J'i * ( 't-i ) + (ii)'-

d'où l’on tire pour l'équation générale du minimum ,

(y)'} + (jrj'z = o,

et ensuite pour i’équation aux limites

Ù — --- ^y , et Ù, — Ù 0 — o.

Supposons d’abord que la ligne la plus courte ne soit assujettie à aucune condition dans toute son étendue ; il faudra alors que les variations y et % demeurent indéterminées, ce qui donnera les deux équations

(t~J’ ~ o«frJ = o,

d’où l’on tire

— A • -yr = b >

a et b étant des constantes arbitraires ; et comme V= y 1 ' (i — ( -y 1 -q- j' 1 ), il s’ensuit que y et £ auront des valeurs constantes qui étant désignées par c et d , donneront tout de suite

y — ex -+- m, £ — dx -h h, m et n étant aussi des constantes arbitraires. .

Ces deux équations font voir que la ligne cherchée est une droite dont la position est arbitraire.

II faut maintenant considérer l’équation aux limites, laquelle, si on suppose les deux limites indépendantes l’une de l’autre , se partage tout de suite en ces deux-ci : U 0 = o , U, — o; savoir ,

y oÿo ZoZo = o , y, y, -t- I, 2, = o ,

équations qui auront lieu d’elles -mêmes, si les deux extrémités de fa ligne sont supposées données de position, parce qu’alors les variations des ordonnées y et £ seront nulies dans ces deux points.

Mais si la ligne la plus courte doit être comprise entre deux lignes données, alors il faudra, comme nous l’avons fait plus haut, tenir compte

des variations des coordonnées x.y. z à l’une et à l'autre de ses extrémités. *

Pour cela, il faudra d'abord ajouter à la valeur de U le terme Vx ,

et y changer en même temps y et \ en y — yx, j — i'x : on aura ainsi à cause de V 1 = i -+-/* -+- z % , apres les réductions

et les deux équations aux limites 0 o — o, Ü, — o deviendront

*o -+- y o)o -+- Zo Zo = o ,

Supposons que la première limite soit une courbe dont les deux équations soient

§ (x, y) — o, ïr(x,i) — o;

la première de ces équations donnera , comme nous l'avons vu plus haut, l'équation variée

y a — (y )o *o = o, et la seconde donnera de même

Zo ( Z )o x o : — o.

Tirant de ces deux équations les valeurs de ÿ a et Zo> et les substituant dans la première des deux équations ci-dessus, on aura ( i -+- y„ (y) 9

-f- Zo ( z)o) x o — o; et comme la variation x 0 doit demeurer indéterminée, il en résultera cette équation de condition pour la première limite