OU
puis on conclura des formules (49) et (52)
(76) — < 2sin(o,i25...) < 2 (0,125...) < o,25o...
Or, dans la même hypothèse, les formules (57) , (58) donneront, pour des valeurs de ti renfermées entre les limites — , -f- n ,
De plus, tandis que, dans la formule (09) , on fera varier v entre les limites — 1 + 1 , la somme des quantités
(If \ . . tC0SaT
l”hT/^1 x ^ 1+siu^
et par conséquent au nombre if. Donc la différence entre l’expression rsin$ — t et le produit (271:^:1)77 sera comprise entre les limites —, — - 77 = — ■ — ; et,
comme on aura par suite cos(rsin£ — t) < o , la formule (20) entraînera encore la condition (61) de laquelle on tirera
Enfin , puisque la valeur de v , tirée de la formule (76), reste inférieure à toutes celles qui vérifient les conditions (77) , (78) , (80) , nous pourrons affirmer que l’équation (32) admet au moins une racine de la forme
x = r(cost + \/.x sint) ,
le module r
étant compris entre les limites
et l’angla t
entre les limites
arccos - , — ,
Lorsque la fonction f{&) se présente sous forme réelle , l’équation (26) de la Leçon précédente entraîne généralement la formule (94) de la même Leçon. Donc alors, si l’on po$te
(83) /|>(cost + sin <;] = /? (cos T + \/:Tsin7’) ,
R désignant une quantité positive, et T un arc réel, on en conclura
(84) f [** (cos t — t/T sin / )] = R (cos T — sin T) .
Cela posé , comme les deux expressions (83) , (84) s’évanouissent toujours simultané-
QUATORZIÈME LEÇON. , 79
ment quand le module Iî devient nul , et ne peuvent s’évanouir dans le cas contraire ; il est clair que , dans l’hypothèse dont il s’agit , l’équation (i) ne pourra offrir une racine imaginaire de la forme
x ■= r (cos J -f- i/TI sin<) ,
sans offrir en môme temps une racine imaginaire, conjuguée à la première, et de la forme
x~r (cos t — y/~ sin t) .
11 est bon toutefois d’observer que ces deux racines imaginaires de l’équation (i) se réduiraient à une seule racine réelle, positive ou négative , si l’on avait t = o ou t=db; t..
De ce qu’on vient de dire, il résulte que, si la fonction f(x) se présente sous forme réelle , les racines imaginaires de l’équation (i), combinées deux à deux, seront conjuguées entre elles, c’est-à-dire, de la forme
(85) x = r(cost -f" sin*) , £c = r(cost — i/!Tsinf),
et offriront le même module r . C’est ce qui arrive en particulier lorsqu’on prend pour f[x ) une fonction entière ou l’une des fonctions transcendantes
(86) ex-—'X, x — e~x , c-'-J-a;3, ce3 — e“x, etc....
Si, pour fixer les idées, on pose
f{x) — tx — x,
l’équation (î), réduite à la formule (32), n’admettra évidemment que des racines imaginaires. En effet , x étant réel , la différence
ex — x
ne pourrait s’évanouir que pour des valeurs positives de x , et pour de semblables valeurs on a évidemment
a?<ex<i+£c4~-
- etc....
D’ailleurs on a prouvé ci-dessus que la lettre n désignant un nombre entier quelconi* que, l’équation (3a) admet toujours une racine imaginaire de la forme
x = r (cos t + t/-» sin*) ,
le module r étant compris entre les limites (81) , et l’angle t entre les limites (82). Donc cette équation admettra encore une autre racine de la même forme, et dans laquelle le module r restera compris entre les limites (81) , l’angle t étant renfermé entre les suivantes
— arccos
Lorsque les conditions énoncées dans l’un des théorèmes 1 , 5 ou 4 et 5 se trouvent remplies, il devient facile de résoudre par approximation l’équation (1). Pour y parvenir , on considérera zéro ou 1 expression imaginaire ^(cosr-f- sinr) comme une première valeur approchée de l’une des racines de l’équation ( 1 ) ; puis on supposera, dans la formule (9 1 ) ou (O2) de Ia treizième Leçon , x égal h zéro ou au produit t (cos t 4. y/Tt sinr) , et le nombre p assez petit pour que le module de f{x-\-Cix) devienne inférieur au module R de f{pc). Cela posé, l’expression imaginaire x-\-bx pourra être regardée comme une seconde valeur approchée de la racine que l’on cherche. Or l’opération par laquelle on aura déduit cette seconde valeur de la première , étant plusieurs fois répétée, fournira une troisième, une quatrième .... valeur approchée. Soient maintenant
xM , a?, ,
les première, seconde, troisième ... valeurs approchées de la racine dont il s’agit. Tandis que les modules des expressions
deviendront de plus en plus petits, les termes de la série (88) convergeront vers une certaine limite qui sera nécessairement une valeur finie de x propre à vérifier l’équation ( 1 ).
Il est bon de rappeler que, dans les formules (91) et (92) de la Leçon précédente, T , Tx , ... Tn désignent des angles réels qui sont déterminés, avec les modules R , il,,... Rn , par les équations
(9°)f(*)=R(™*T+Vr'9'nT),f\x)=Rl(cosTt+\/rlsmT,),..fW(a;)==:Rn(cosTn+i/Ti$iüTll).
Si la première valeur approchée de œ est telle que la quantité R soit très-petite et la quantité Rt sensiblement différente de zéro, alors, pour rendre le module de
inférieur au module de f{ x), if suffira ordinairement de poser p dans
la formule (91) de la treizième Leçon, ou en d’autres termes, il suffira de prendre
QUATORZIÈME LEÇON
Effectivement soient
la première valeur approchée de x ,
(92) Aœ = p(cosu -h l/Tsinv)
un accroissement arbitraire attribué à celle première valeur, et <[> (p) , x(p) les fonctions réelles du module p qui vérifient l’équalion
(93) /[r(cost-|- l/:isint) -|-p(cosu + [/~i sinv)] = *(p) -f l/r,x(p)
dans le cas où l’on considère ce module comme seul variable. On tirera de la formule (3g) de la treizième Leçon , en faisant n == 1 , et désignant par 0, , 02 des nombres inférieurs à l’unité,
/ /[r(cosf 4- i/rTsin*) + p (cosu 4- y/~ sinv)] = f\r{co$t + sin*)]
|H-p(cosu4- v/Tsmu)//[r(cosf4- ^/TsinO]+-p*[4»#(6ip) + v/n*x"(09p)],
ou, ce qui revient au même*
R (cosT+ sin T) f(x)
/?,(cosT+ [/~i sin Ti) ’
x =■ r (cos£ 4" l/-** s*n0
f[x 4- Acc) = i?(cosr 4- V-1 sinT) + p/?,tcos(-j + T.) + +
c CALCUL DIFFÉRENTIEL.
De plus, en différenciant deux fois par rapport à p la formule (93) , et posant ensuite p © t on en conclura
(98) «f#(p)4-v/riX,,(p) = (cosu4-v/riSinu)»/ff[r(cos? + V/nsinO+p(c°s^ + V/;l8iny)]
et
l + V/"i X*(o) = (cos-j + [/~i sin»yf"[r(cost + l/rl sint)]
{99) | =/!,[cos(ju + T0 + l/'i5in(^ + T,)].
D’ailleurs, le rapport étant très -petit en vertu de l’hypothèse admise , le dernier
membre de la formule (97) différera généralement très- peu du produit
T 1Ï7 “ ■^v"[c°8(av + T$) 4-^/”sin(av4- T’a)]-
Donc le module de f{x -f- A®) différera généralement très-peu de la quantité
T ~ïï7~ ~~ Tïï7 k '
qui sera elle-même très-petite par rapport à R , du moins lorsque le module /?, conservera une valeur finie.
Pour montrer une application des principes ci-dessus établis, concevons que, l’équation (1) étant réduite à la formule (32), on veuille déterminer parmi les racines de cette équation l’une de celles qui offre un module inférieur au nombre 4>455... [voyez les pages 169 et 179]. Alors on aura
(101) f(x)-=z6* — x , f'(x)=e* — 1, /"(*)=/"'(*) = ••• =eX»
et, en prenant zéro pour la première valeur approchée de la racine cherchée, on trouvera
Par suite les formules (90) donneront, pour une valeur nulle de x ,
(io3) R = 1 , Rl = o , />\ = ! , T = T, = i ;
puis eu réduisant, dans la formule (92) de la Leçon précédente, n à 2 , et 2m -j- 1 h 1 ou à 3 , on en tirera successivement
QUATORZIÈME LEÇON
(*°4) AX = p^/~ , = — P[/~ .
En conséquence la seconde valeur approchée de la racine cherchée sera
(105) x -f- Ax = p y/7? , ou x Ax = — p^/rf ,
P étant assez petit pour que le module de l’expression
(106) f(x + Aæ) = cosp — (p — sinp)i/”, ou f[x -f- \x) = cosp -f- (p — sinp)i/"T. savoir
(107) (1 — 2psinp + pa)S
devienne inférieur au module de f(x) , c’est-à-dire à l’unité. Or cette condition sera évidemment remplie , si l’on prend p == ou < — , attendu que, dans ce cas, on aura
toujours sinp > . Supposons , pour fixer les Idées , p = . Alors le module
(107) se trouvera réduit à
et la première des formules (io5) à
(109) + &x=z~ i/T = (1,5707. ..)i/TT .
Si maintenant on prend
(no) x — r (cos t + i/Tf sin J ) = ~ j/Tf ,
on trouvera
(ni) f(x) = c' v/-=(i — /'(®) = «a V" -i = -i+j/7,
et les formules (91) , (96) donneront
\x — p (cosu + s/Tx sinu) = — ^ — (* V-' ) »
aya
de sorte qu’on aura
D’ailleurs, en posant /"(a?) = cx, on tirera de l’équation (98)
(117) * *(p) + i x"(p) = c rcos e +p cos v [cos (rsinf+p sin u + au) + VA sin(rsin * + p.sin u + au)].
Par suite la formule (97) donnera
(118) /(as + A®) =
— pacrCO8,[eôlpCOSUcos(rsin<4-0Ipsinv4-2u)4-e0i‘ÛCOS'sin(rsin< + Oapsinu+2u). v/^]{
et, comme, en vertu de cette dernière, le module de &x) sera évidemment,
pour des valeurs positives de cosu , inférieur au produit
rcosl+pcosu
on peut affirmer qu’à la valeur de x 4* A® fournie par 1 équation (116) correspondra un module de f{x 4- A®) inférieur à la quantité
cos - h p cos —
et par conséquent au module
C’est au reste ce dont il est facile de s’assurer directement. Car, en posant
on trouvera
QUATORZIÈME LEÇON
(j 21) f{x + A£c) = ex+ikX — {* + Ai) =0,0890... — (0,0089...) [/TT ,
et par suite
(122) Æ-f bR = [(0,0890...)* + (0,0089...)»]* = 0,0891 .
Donc on pourra prendre l’expression imaginaire 0,2^559... + 1,2853g... ^/TT pour la troisième valeur approchée de la racine qu’il s agissait d obtenir. Enfin, si 1 on se sert de l’équation (91) pour déduire une quatrième valeur approchée de la troisième, puis une cinquième de la quatrième, etc... , et si l’on désigne par 1, , x% , Xi , x^ , xs ... ces diverses valeurs approchées, en y comprenant celles que nous avons déjà calculées, on aura
I = (1,5707...) t/rr ,
= o,ni85... 4- (i,3388...)v/“
SM
etc . .
tandis que les modules des expressions imaginaires
/(®0 . /(*») * /(**) * ffa) ’ /(**) * etc- »
formeront la série décroissante
^,2^ 1 , 0,5707... , 0,0891... , o,oo23... , 0,0000... , etc... ;
et comme les valeurs de x5 , x6 ne différeront pas l’une de l’autre quand on se contentera de pousser l’approximation jusqu’aux décimales du quatrième ordre, nous sommes conduits à penser que la formule
i86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
offrira la racine cherchée de 1 équation (32) avec une exactitude qui s’étendra dans chaque terme jusqu à la quatrième décimale. Au reste, pour lever toute incertitude à cet égard, il suffira de recourir au 6.e théorème, et de suivre la méthode que nous allons indiquer.
Si , dans la fonction f{&) = cx — - x , on pose (38) x = p -f- q y/7?
vera
= (0,3181695.. +1,337 1818.. v/^)e*(cos£+i/^sinfJ)-[o,3i8i+*+(i,3372+p)\/!r]-
Faisons d’ailleurs
a + Pl/-» — p (cosu -f- \/~i siny) ,
P désignant le module de et soient 0, , 0a deux nombres inférieurs à
l’unité. En remplaçant, dans l’équation (12) de la huitième Leçon, a; par p , f{x)
par e^cos cos(psinv) ou par e^C0Susin(psinu) , et 0 par 0, ou par 0a , on en tirera
IeVs? = 6pcosucos(pSm„)==|p^cosu+^sin“4ef(00!u-^sin’')|
1 , P 3 Q,p cos v , , „
= 1 4- pcosv — e r cos(2y -f- Q.psiny) ,
e “sin|3 = 6pcos“sm(fsinu) = j efCc0W+V^ »i«») - |A. >™) |
, P* 0,pcosu . . . „ . .
= psinyH - e r sm(2v ■+■ 0,psiny) ,
ou , ce qui revient au meme ,
e cosp = 1 + a -j - (**+ P’)e ‘ cos (2 y -f* ,
nP = M - («a-|-pa)e a^sin(2y + c
QUATORZIÈME LEÇO^.
Donc, en posant pour abréger *
“LÜ!
0,3181695... e w,*cos(2u + 0x^) — 1,3371818... e^sin (2 w -f- | = 7,
I «3+pa
,3371818... e ,CtCOs(2v + 0«P) + 0,3181695... 6 a<ZSÏn(2u -f- ©9^) ! = <y.
on pourra réduire la formule (127) h
(i33) f(p 4- 7 l/~) = d-. -f* 7 + (\fb -f- S) i/-7 .
Soient maintenant
R , cR. , S
les modules des expressions imaginaires
/0» + 9l/=T). dlo + afbv/-, 7 + V“;
en sorte qu’on ait non-seulement
(J34) .A®) = f (p -f- 9 V/~) = Æ (cos T -f- l/'ï* s*n T) »
mais encore
(i35) cAo — TÜ) \/T = (cos G -j- i/T sin G ) , 7 4- <î\/“ = s (cosw -f- j/rf sin») ,
^ et « désignant des arcs réels. L’équation (i33) donnera ( 1 56) Rcos T = cîlcosG + çcosw , RsmT ■=. #Uinfë -}~ ssin&> ;
et le carré du module R , déterminé par la formule
(137) R7 — é)la + 2ç<Rcos(S — wJ + ç’>
restera évidemment compris entre les limites
i88 v CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Donc le module R sera lui-même ctfmpris entre les limites
si l’on a ç < <R , et entre les limites
si l’on a d’où il est aisé de conclure que la différence
offrira, dans tous les cas, une valeur numérique inférieure à ç. D’autre part, si l’on attribue aux quantités « , £ des valeurs positives qui ne surpassent pas 0,000 1 , les valeurs correspondantes do y, 5, tirées des formules (i32), resteront comprises entre los limites —0,00000002 , -J- 0,00000002 , et par conséquent le module
restera inférieur à (0,00000002) < o,ooooooo5. Donc alors le module R ne
pourra différer du module cR. que par le huitième chiffre décimal. Or le module
(143) cR = (oRo* -j- *)’
s’évanouira si l’on prend
o,oooo695... — 0,681 83o4... a — 1, 337 181 8... £ = Jlo = o ,
ou , ce qui revient au même ,
(145) « = 0,0000017..., p = o,oooo557 .
Mais , si l’on attribue à la variable « l’une des valeurs
en supposant £ compris entre les limites
QUATORZIÈME LEÇON. l89
ou à la variable $ une des valeurs (i4s) » 049) » en supposant a compris entre les limites ( 1 46) , (147) , le module Si , réduit à l’une des formes
( 1 5o) Si = [(0,0000695. . . — 1 ,337 1 8 1 8. . . p)’ + {0,0000 1 8 1 ... 4- oM 1 83o4 . . . pYY >
(,5a) & = [(o,oooo695... — o,68.83o4... «)’ + (0,0000.8. ... — i,337. 8.8.. .«)']7,
surpassera évidemment 1 une des quantités (ï54) 0,0000181...,
(,55) 0,0001 156 — (o, 68i83o4)(o, 0001) = o,oooo475... ,
( 1 56) 0,0000695 — (o,68i83o4)(o,oooi) = o,oooooi4*»« »
Donc par suite le module R restera inférieur au nombre o,ooooooo3 , si l’on prend
(1 58) p = o,3i8i +o,oooo32i=o, 3i8i32i.. , 7 = 1, 33724-0, oooo356..i, 3372356..;
mais il deviendra supérieur au nombre 0,000001 4 . s* l’on ^a‘l varier la quantité
p entre les limites
(,59) pt = o,3i8i, pa = o,3i8i 4-0,0001 = o,3i82 ,
on attribuant b 7 l’une des valeurs (160) 7, = 1,3372, 7»
ou la quantité 7 entre les limites 7, , 7» , en attribuant à p l’une des valeurs
pt , p Donc, en vertu du 6.e théorème, et attendu que le nombre 0,0000014 .
surpasse le nombre o,ooooooo3... , l’équation (32) admettra une racine imaginaire
i9° CALCUL DIFFÉRENTIEL.
dans laquelle la valeur de p sera renfermée entre les limites o,3i8i , 0,0182 , et la valeur de 7 entre les limites 1,3372, i,33y5. Celle racine sera donc fournie par l’équation (125) avec une exactitude qui s’étendra, dans chaque terme du second membre , jusqu’à la cinquième décimale. Il y a plus; les valeurs de a , p , correspondantes à la racine dont il s’agit , seront inférieures au nombre 0,0001 , et propres à vérifier l’équation R = 0 , ou , ce qui revient au meme , les deux formules
(l6l) eilo +7 = 0, 'lie) + S = 0 .
Or, si l’on substitue, dans ces dernières, les valeurs de tirées des équations
(i5i) , on en conclura
Donc, puisque 7 et 5 resteront compris entre les limites — 0,00000002, +0,00000002, les valeurs de a , S, fournies par les équations (i45), seront exactes jusqu’à la septième décimale, et on pourra en dire autant de la racine x déterminée par l’équation
Si, dans les calculs ci-dessus développés, on substituait la seconde des équations (io5) à la première, alors à la place de la formule (i63) on obtiendrait la suivante
( 1 64) £D = o,3i8i3i7... — (1,5372557...) \TX
qui offre une seconde racine imaginaire de l’équation (52). Cette seconde racine et celle que détermine la formule (i63), étant conjuguées l’une à l’autre, correspondent à un seul module renfermé entre les limites o et 4,455....
Ce qui précède suffit pour montrer comment, à l’aide d’approximations successives , on peut déterminer aussi exactement qu’on le voudra les racines réelles ou imaginaires d’une équation algébrique ou transcendante, et même comment on peut calculer les limites des erreurs commises. La méthode de résolution que nous avons présentée , est celle qui a été donnée par M. Legendre dans la seconde édition de la Théorie des nombres, et qui lui a paru devoir s’appliquer à toutes sortes d’équations algébriques ou transcendantes. Mais il est clair qu’elle cesserait d’être applicable, si la fonction f{x) ne remplissait pas les conditions énoncées dans l’un des théorèmes 1, 3,4» 5, 6. On n’en sera pas surpris si l’on observe qu’on peut attribuer à f{x) une forme telle que l’équation
QUATORZIÈME LEÇON. 191
(1) n’admette point de racines finies soit réelles, soit imaginaires. C’est ce qui arrivera en particulier si l’on suppose
— f(x)=ex'/=r, =
Dans des cas semblables , on peut bien encore assigner à la variable x une suite de valeurs
tellement choisies que les valeurs correspondantes du module de f{x ) soient de plus en plus petites. Mais les modules des différents termes de la série (88) , au lieu de converger vers une limite finie, croissent au-delà de toute limite. [Voyez, au reste, sur la résolution des équations numériques, l’ouvrage cité de M. Legendre et un Mémoire de M. Fourier, imprimé dans le tome VII des Mémoires de l’Académie des Sciences].
Nous avons déjà remarqué que, dans le cas où f[x ) désigne une fonction entière du degré n , semblable à celle que détermine la formule (4) , cette fonction est décomposable en autant de facteurs du premier degré qu’il y a d’unités dans le nombre n. Si de plus la fonction f(x) se présente sous forme réelle, ou, en d’autres termes, si les constantes a0 , ax , ... an comprises dans le second membre de la formule (4) sont toutes réelles, l’équation (1) n’admettra que des racines réelles ou des racines imaginaires conjuguées deux à deux. Alors à chaque racine réelle correspondra un facteur réel du premier degré, tandis qu’à deux racines imaginaires conjuguées et de la forme
r(cos« + \/t7sin*) , r(cosf — ^/IT sint) ,
correspondront deux facteurs imaginaires
x — rcost — rsinJ. , x — rcost -f- rsin«. \/~ ,
qui seront encore conjugués l’un à l’autre , et donneront pour produit un facteur réel du second degré, savoir,
(x — rcos*)1 -f- f^sin1* = x2 — 2 r cos J -}- »**•
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Toute fonction réelle et entière de la variable x est décomposablc en facteurs réels du premier ou du second degré. [Voyez, pour de plus amples développements le chapitre X de l’Analyse algébrique].
Développement d'une fonction de x, qui devient infinie pour x = a, suivant les puissances ascendantes de x — a. Décomposition des fractions rationnelles .
Soient
(i) x — r (cos« v/”s*n0
une variable réelle ou imaginaire dont r désigne le module ou la valeur numérique , a une valeur particulière de celle variable, et /(a?) une fonction qui devienne infinie pour’ x — a. La valeur a de x sera une raciue de l’équation
et l’on dira que cette équation admet h. racines égales à a , U étant un nombre entier quelconque, si le produit
acquiert, pour x = a , une valeur fiuie différente de zéro. Alors , pour développer immédiatement la fonction /(x) suivant les puissances ascendantes de x — a , on ne pourra plus se servir de l’équation (4o) [page i55], dont le second membre, comprenant des termes infinis, se présentera généralement sous une forme indéterminée. Mais celle équation pourra encore être appliquée au développement de l’expression (3)
considérée comme fonction de la variable x. D’ailleurs , si , en nommant P le module de x — a , et ?(f>) , x(p ) deux f°nclions réelles de ce module, on pose
x — a = p (cosu -f- t/Tsinu) ,
(x — a)hf{x) = g {x) ,
§\a p (cosu -f- sinv)] = ?(p) -4" x(p) * on tirera jlc l’équation citée
(?) m =/(.) + ^r- *'<«> + #*« + - + , .^'5(nlir ^"">(a)
(Æ-g)" ?w(e.p)+y/-~ix(,,)(Q»p)
"T* i.2.3...n (cosu+l/T, sinu)" *
G, , G, désignant deux nombres inférieurs à l’unité. Si maintenant on divise par [x — a)* les deux membres de la formule (7) , on en conclura
fw . > <rw . ■ il w ■ 1 1 niziw
, (cosu + y/-ï sinu)" 1. 2.3... n
A l’aide de cette dernière formule, on pourra développer encore f{x) suivant les puissances entières et ascendantes de a; — a. Seulement les h premiers termes du développement , dont la somme , que j’appellerai * (x) , sera
M .,, rfw'. ■ ilû ! 1 — gw+ 4- i - I
(9) *(*) — rÆ a)r+ 2 (x-a)h-' ^ 1.2 (*-«)*— ^ ^ 1.2.3... (A-i) x-a
i\ .. . SW ' , > £M+J!__£!ÏîL-+...4. i - S^W
= (* - «r* s wt + {x’a\ — *'M + ^-7^ — *»+■■+ T^^rry ^ <a) *
renfermeront des puissances négatives de x — a. D’autre part, si, dans 1 équation (8) , on prend n — h , elle donnera simplement
