en supposant « = <a

QUATORZIÈME LEÇON. i75

D’autre part, si l’on renferme la valeur de v entre les limites — 1 , i , en attribuant à u l’une des valeurs — n , -f- K » la quantité

rcos’f / . , n t n\ ,pnsJ.

(59) i-sin< t—r—t (sn^:i)ir + — — t )(l »)’

différera très -peu de (2/14:1)^; par suite cos(rsin$ — £) différera très -peu de — 1 , et l’on tirera de la formule (20)

Enfin, il est clair que, les nombres n et t étant très- considérables , toute valeur de — , propre à vérifier l’une des conditions (57), (58), (6l), sera ou très-grande ou peu différente de l’unité, et par conséquent supérieure à la valeur de — tirée de l’é-

quation (49)* Donc l’équation (48) fournira une valeur de R inférieure à toutes celles qui vérifient les formules (57) , (58) , (6i) ; et l’on pourra conclure du théorème 5 que l’équation (32) admet des racines qui correspondent à des valeurs de r comprises entre les limites (54), et à des valeurs de t comprises entre les limites (56).

Au reste, pour arriver à la conclusion qui précède, il n’est pas absolument nécessaire d’attribuer au nombre n des valeurs très-considérables , et il suffit même de prendre pour n un nombre entier quelconque différent de zéro. Effectivement , si l’on suppose n = 1 , on tirera des équations (46) et (4g) •

T=(o,83oq5...) — = i,3o526... ,

R . tsinr-r . 6,27346...

— = 2 sin - - - = 2 siq - - - = 0,00972... ;

tandis que les formules (57) , (58) donneront, pour des valeurs de u renfermées entre les limites — ^ , -f- * ,

ll6 ' CALCUL DIFFÉRENTIEL.

D’ailleurs , si , en attribuant à r la valeur — w = — — » on fait varier l’angle t entre les limites

tl<= arccos(2CosT) = (0,6482...)

la différence

rsinf — t ,

dont les maxlma et minima correspondent à des valeurs nulles de rcosf — 1 , croîtra depuis t = t, jusqu’à t == arccos ~ = arccos , et décroîtra ensuite depuis

cette dernière valeur de t jusqu’à t = t9. Donc elle restera comprise entre la plus petite des quantités

(67) rsinf, — <, = (0,9526...)* , rsint, — *, = *,

qui surpassent l’une et l’autre — , et la quantité

(08) i/V — 1 — arccos —-== (1,0359... )*r ,

qui est inférieure à Donc cos(rsin* — t) sera négatif, et la formule (20) en¬

traînera encore la condition (61) , de laquelle on tirera

c’est-à-dire

De même, si, en attribuant à r la valeur + w — , on fait varier l’angle t

entre les limites (66) , la différence rsint — t restera comprise entre la plus petite des quantités

(7o) rsint, — <, = (2,6549...)^ , rsin*, — t% = 3tt ;

qui surpassent l’une et l’autre , et la quantité

y/r* — ! — arccos — = (3, 01 4®- • •)* >

QUATORZIÈME LEÇONS ‘ i77

qui est inférieure à — . Donc cos(rsin* — t) ssra toujours négatif, et h formule

(20) entraînera la condition (61) de laquelle on tirera

R If 2

Cela posé, puisque la valeur de R , donnée par la formule (65) , reste inférieure a toutes celles qui vérifient les conditions (64) , (65) , (69) , (72) , il est clair que l équation (52) admettra au moins une racine dont le module sera compris entre les limites

(73) — - ît='— = 4.71258... et — + tt = — — 10,99007....

D’autre part, si l’on suppose n= 2 ou n > 2 , on tirera des formules (46) et (5o)

(74) cost= ou •< 0,18736... , tcosar= ou < 0,4962..* , 1 sin -r = ou > 1 ,9822... ,

et par suite

(75) — — t) = ou < 0,094... ,