CO

f(œ) et F(æ) désignant deux fondions entières de la variable x , c’est-à-dire , si la fonction f(x) devient une fraction rationnelle. Alors, en représentant par a , b , c... les racines distinctes de l’équation

par h le nombre des racines égales à a , par h le nombre des racines égales à b , par l le nombre des racines égales à c , et par un coefficient cons¬

tant, on trouvera

(>8) F(£c) = <DT>(æ — a) *(;*; — b)l(x — c)1... .

et par suite

§fb(x-b)l(x-c)1... (DT, ' v •

Or, en différenciant A fois par rapport il x le dernier membre de la formule (19), on en déduira évidemment une valeur de j’W(æ) qui ne deviendra pas infinie pour x = <*• D’autre part, si l’on fait pour abréger

QUINZIÉME LEÇON, les formules (9) et (i5) donneront

XS5

(ai)

(aa)

' +... + Ai=L

Donc. » désignant une des racines de l’équalion (17), et h le nombre des racines égales à a. la fraction rationnelle Polirra êlr° ^»*"Posée en deux parties,

dont l’une V , déterminée par la formule (al) , sera la somme de plusieurs fractions qui offriront des numérateurs constants, et qui auront pour dénominateurs les puissances de x — a d’un degré inférieur à h , tandis que l’autre partie

conservera une valeur finie pour toutes les valeurs finies de la variable x .

Soient maintenant, dans la fraction (iC), m le dégré du numérateur f(®>, et n le degré du dénominateur F(«). Soient de plus V. IV.... des fonctions rationnelles de a>, semblables à U, savoir, celles dans lesquelles se transforme la fonction ^(œ) déterminée par les équations (5) et (9) , quand on substitue à la racine a l’une des racines b , c , et au nombre entier h l’un des nombres l,k,... Les fonctions U , V , IV , ... déterminées par des équations de la forme

Ah — 1

TJ**T

rr = •

(x-cy->

pourront devenir infinies pour des valeurs finies de x , qu’autant que l’on supicra , dans la fonction U, x = a; dans la fonction V , x = b ; dans la fonc- — c f etc... : et, comme les différences

posera lion W.

ffo) u

I9G calcul différentiel.

acquerront , au contraire, des valeurs finies, la première pour x = a , la seconde pour x = b , la troisième pour x = c , ... ; il est clair que , si l’on fait

(*6) Æ. — v—r—fr—eic. =q.

la fonction Q ne deviendra jamais infinie pour aucune valeur finie de x. D’ailleurs, en réduisant au même dénominateur les fractions comprises dans les seconds membres des équations (24) , on parviendra sans peine à transformer la somme U -f- V -{- W + . . . en une nouvelle fraction qui aura pour dénominateur le produit

(»7) (x — — by[x — c)1...;

et , en multipliant par la constante les deux termes de cette nouvelle fraction ,

on trouvera

Ca8) ü+^+^+-=fJt'

R désignant une fonction entière de x d’un degré inférieur à n. Gela posé, la fonction Q , déterminée par ladormule (26) , se présentera sous la forme rationnelle

et, puisqu’elle devra rester finie pour toutes les valeurs finies de la variable x, il faudra nécessairement qu’elle se réduise à une fonction entière de cette variable. Enfin, comme on tire de l’équation (29)

(3o) f(£C) =zQY(x) -f R ,

les deux fonctions entières Q et R , dont la seconde est d’un degré inférieur à celui de F(æ) , représenteront évidemment le quotient et le reste de la division de f(a?) par F(aî). Donc la fraction rationnelle, qui aura ce reste pour numérateur et pour dénominateur F(æ) , sera , en vertu de la formule (28) , équivalente à la somme des fractions comprises dans les seconds membres des équations (24).

Dans le cas où le degré m de f(a;) est inférieur au degré n de F(œ) , le quotient Q s’évanouit, et l’on a par suite

f(*) = tf.

Alors on conclut des équations (24) et (28)

Aw-x

JS,

Bk t

Cl-x