etc

La formule (5») offre évidemment le moyen de décomposer la fraction rationnelle

en fractions simples, c’est-à-dire en fractions qui ont pour numérateurs des constantes, et pour dénominateurs des puissances entières des facteurs simples x a , x b . x c , ... La môme formule fournit , à ce sujet , le théorème que nous allons énoncer.

1 Théorème. Soient

une fraction rationnelle dans laquelle le degré du dénominateur surpasse le degré du numérateur, et a , b , c , ... les racines réelles ou imaginaires de l’équation

(17) F(as) =0.

Pour décomposer la fraction (16) en fractions simples, il suffira de la développer , 1.0 suivant les puissances ascendantes de x—a, 2.0 suivant les puissances ascendantes de x — 6, 3.° suivant les puissances ascendantes de x — c , etc . . puis

de faire la somme des termes qui, dans les divers développements , deviendront infinis

quand on supposera x = a, x=b, x — c, etc .

Si le quotient Q cesse de s’évanouir , alors des équations (24) et (26) on déduira la formule

{x-l>)1 [ai- b)1

Cl-x