F'(«+ÉV

on trouve que les fractions simples correspondantes à ces racines dans le second membre de la formule (35) ou (36) sont respectivement

cflo- olo+lfblA

x-z-py/~i ' x-oc+py/Ti

En ajoutant ces deux fractions, on obtient la suivante

acllo(g-«)+a<tfeP

qui a pour numérateur une fonction réelle et linéaire de x , et pour dénominateur un facteur réel et du second degré du polynôme F (ce).

Au reste , on pourrait imaginer diverses méthodes propres à décomposer la fraction rationnelle

en fractions simples, c’est-h-dire, en fractions semblables 5 celles

que renferme le second membre de l’équation (32). Mais ces diverses méthodes fourniraient nécessairement les mêmes valeurs des coefficients A , Ax , ... Ah x; B , Bx , ...

Bk~ii C y . Pour le démontrer , multiplions par F(cc) les deux

membres de l’équation (3î). Alors, si l’on fait pour abréger

«*) = A + A- -ç£$=r+~ + Ak~: -^T + {— a>‘" w-

D’ailleurs , comme le premier membre de l’équation (47) sera une fonction entière de x, divisible, ainsi que F (ce), par ( x — a)h , n(a:) représentera encore une fonc¬

tion entière. Par suite, si l’on pose dans la formule (48) x = a + z , et si l’on compare ensuite les termes constants et les coefficients des puissances semblables de la variable s dans les deux membres développés suivant les puissances ascendantes de cette variable, on trouvera successivement

QUINZIÈME LEÇON; 20 r

(49) f(a + .) = (■£ + ■7èr+- + ^r-) F(* + •) + *‘nCa + •) •

ou , ce qui revient au môme ,

(59) f(«) + ^=+^*,+-" + TS^î'" = *‘n(a + î)

. / FC«(«) F<*+'>(a) F(n)(a^zn-h) .

+ (A + Alz+Aaza+..+Ah~lz “’*) ( , . 2.5. . . /t +" i.2.3... h(h+ij i.2.3...n /’

Or des équations (5i) on déduira évidemment, pour les constantes A , At , ... Ah^t , un système unique de valeurs, savoir,

/r , 2.3...A f(a) . a.5...(A + 0r(a)-^FC^O(fl)

(52) A — - (/i + i)FW(«) *

On obtiendrait de la même manière les valeurs de 2?, Z?,,... Æ*-ii C» C, , £i i* Il est bon d’observer que la première des formules (52) donne pour la constante /Z

une valeur égale à celle que reçoit la fraction - - » quand on prend x o.

Cette même valeur, dans le cas où l’on suppose h = 1 , se réduit h celle que détermine la formule (39).

Pour montrer une application des principes ci-dessus établis, concevons que Ion veuille décomposer en fractions simples la fraction rationnelle

11 suffira, d’après le théorème i.er, de développer cette fraction, i.* suivant les puissances ascendantes de x — 1 , 2.0 suivant les puissances ascendantes de ,

puis de faire la somme des termes qui, dans les deux développements, deviendront infinis pour x = 1 ou pour £C = — - 1. Or on trouvera , i.° en désignant par *{x) une fonction qui conservera une valeur finie pour x = 1 ,

et par suite

2.* en désignant par ©■,(#) une fonction qui conservera une valeur finie pour x = t,

(œ + ,)/(æ) = -çhr = = i + <æ + ')'■(•)•

et par suite

Les trois fractions simples

îi ii

seront donc les seuls termes qui, dans les deux développements de l’expression (53), deviendront infinis pour x = î ou pour æ = — î , et Fon aura, en vertu du théorème i.er,

(*-i)*(æ+i) 2 (aî-l)a 4 »-» 4 ®+l

On trouverait de la même manière

t ii xi

Æa- I î i-l 2 X+l

Concevons encore qu’il s'agisse de décomposer en fractions simples la fraction rationnelle

m, n désignant deux nombres entiers , et m étant <». En d’autres termes , supposons

f(a:) = xm , F (a;) = xn — î.

L’équation (17) se réduira simplement à l’équation binôme

dont les racines inégales entre elles seront de la forme

zkjr , . aArr

X = cos - ± v-1 Sin -

k représentant un nombre entier égal ou inférieur à —n. D’ailleurs , en prenant pour x une quelconque de ces racines, on trouvera

er~\ T. 1/ a*(m+i)ir , 2k{m+i)n\

f6l\ *JL - = — *"+* = — cos — i - — zb v/ i wn - - - •

v01' F '(a?) nx"-1 n n \ n n h

Donc les formules (35) et (40 donneront, pour des valeurs impaires de n ,