etc

qui servira encore à décomposer la fraction (16) en fractions simples, et l’on devra substituer au théorème i.*r la proposition suivante 2. 8 Théorème. Soient

ffo)

une fraction rationnelle , dans laquelle le degré du numérateur devienne égal ou supérieur au degré du dénominateur, et a, b , c, . les racines de Céquation (17).

Pour décomposer la fraction (16) en fractions simples , il suffira de la développer, i.° suivant les puissances ascendantes de x — a, 2.0 suivant les puissances ascendantes de x — b , 3.° suivant les puissances ascendantes de x — c , ... ; puis d’a¬

jouter au quotient de la division de f(æ) par F(æ) la somme des termes qui , dans les divers développements , deviendront infinis pour x — a, ou pour x — b, ou pour x—c, etc .

Dans le cas particulier où l’équation (17) a toutes ses racines inégales entre elles, on trouve

et les formules (3i) , (5a) se réduisent aux deux suivantes

#1- = — +-V + — +etc.

F(ar) x-a x-b x-c

- etc... ,

. Dans le même cas, on tirera de l’équation (5)

et par conséquent, pour déterminer le coefficient A ou <?*(«) , il suffira dé faire évanouir x — a dans la fraction

(jr-a)f(aQ

Mais alors cette fraction , se présentant sous la forme — , devra être [en vertu de la formule (6) de la page 4°] remplacée par le rapport

Ça? -a) f'ÇO + ffa?)

FW ’

que l’on pourra ntôiric réduire à

On aura donc

, fCfl)

(*9) FRT*

On trouvera pareillement

(4°) B=rjp)' C~TW c""

Enfin , si l’on a égard à l’équation (34) , les formules (5g) et (4o) donneront

« » fW B — * fW- c ■ . fw -elc

1 ' SK, («-*)(-«)•••■ at, (*-«)(*-«)•••' at («-«)(*-*)... ,ec‘

Ajoutons que la première des équations (40 peut être déduite directement des formules (34) et (37) combinées entre elles , ou , ce qui revient au même, de la formule

<Dt>(a;-a)(a;-c)...

Lorsque le degré m do f(æ) est inférieur au nombre n des quantités a, b, c , ... on tire des formules (35) et (40

î.i fW 1 1.

puis on en conclut , en ayant égard h l’équation (34) ,

«■> <w- fcijfct » " &&£

L’équation (45) n’est autre chose que la formule d’inlorpolaliou de Lagrange , 5 l’aide de laquelle on détermine une fonction entière de x , lorsqu’on connaît autaut de valeurs particulières de celle fonction qu’il y a d’unités dons lo nombre entier n immédiatement supérieur h son degré.

Lorsque les fonctions f(æ), FÇr) sc présentent sous forme réelle, et que les deux

aoo CALCUL DIFFÉRENTIEL.

racines a , 6 sont imaginaires et conjuguées, ou de la forme a + fp y/7? , « — p , alors , en désignant par deux quantités réelles propres à vérifier l'équation

Jl — oJMA*