X*- 2 X COS
ao5
Différentielles des fondions de plusieurs variables. Dérivées partielles et différentielles
partielles.
Soit
une fonction de plusieurs variables indépendantes x , y , z , ... Désignons par t un accroissement infiniment petit, attribué à l’une quelconque de ces variables, et par
?(ar,y,z,...), >,*>«•)• +(*0^ *>••• )> etc--
les limites vers lesquelles convergent les rapports
f{x+i,yizi..)-f{x,yizi..) ^ dc ^
tandis que i s’approche indéfiniment de zéro. <f[x,y,z, . ) sera la dérivée que
l’on déduit de la fonction u = f{x,y,z, . ) , en y considérant x comme seule
variable, ou, ce qu’on nomme la dérivée partielle de a par rapport 5 x. De même x(x,y,z, ...) , ^ (x,y, z, ...) , etc., seront les dérivées partielles de u par rapport aux variables y, z, etc...
Concevons maintenant que l’on attribue aux variables x , y, z , ... des accroissements simultanés Ax , Ay , As,... et soit Au l’accroissement correspondant de la fonction u , en sorte qu’on ait
(,) A u — /{oc + Ax,y 4- A y, s 4» As, ...) — /(x,y,s, . ..).
Si l’on assigne à Aîc , A y , As,.... des valeurs finies, la valeur de Au, donnée par l’équation (1) , deviendra ce qu’on appelle la différence finie de la fonction u , et sera ordinairement une quantité finie. Si, au contraire, on assigne à Ax , by , As , ...
ao6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
des valeurs infinimenl petites , la valeur de 4 « sera pour l’ordinaire infiniment petite. Mais , tandis que les accroissements
Aar , A y , A z , ... Am
s’approcheront indéfiniment et simultanément de la limite zéro, leurs rapports pourront converger des limites finies qui seront les dernières raisons de ces mêmes accroissements. Gela posé, pour obtenir des quantités ou des expressions algébriques qui puissent être
considérées comme différentielles des variables x , y > z . . ou de la fonction u
et désignées en conséquence par les notations dx , dy , dz,... du , il suffira , d’après ce qui a été dit dans la première Leçon, page 17, de choisir ces quantités ou ces expressions, de manière que leurs rapports soient rigoureusement égaux aux dernières raisons ci-dessus mentionnées. D’ailleurs, les variables x , y, z , .... étant supposées
indépendantes, leurs accroissements A», by , As, . sont entièrement arbitraires.
Il en sera donc de même des différentielles dx , dy , dz . Quant à la différentielle
du , on la déterminera sans peiue à l’aide des raisonnements que nous allons indiquer.
Comme , en s’approchant de zéro , les accroissements
àx , A y, A z, ... Am
deviendront sensiblement proportionnels à
dx , dy, dz , . . . du j
si l’on désigne par « la valeur infiniment petite de l’un des rapports
Aæ dx ’
si l’on pose , par exemple ,
A y A z Am
dy * dz ’ du
chacun des autres rapports différera très-peu de a. Donc l’équation
Au Au
= a , ou — = du du a
sera sensiblement exacte , et l’on aura en toute rigueur
- = du -f- p ,
p devant s’évanouir avec a. Effectivement , lorsque la proportion
: dx :: au : du
se trouve à très-peu près vérifiée, il suffit, pour la rendre rigoureuse, d ajouter à son dernier terme du une quantité (3 peu différente de zéro; et alors cette proportion , ou plutôt la suivante
\x : dx :: au : du -f- (3 ,
donne évidemment
du+?=ïïd*==—-
Si maintenant on fait converger « vers la limite zéro , on tirera de l’équation (2)
On trouvera de la même manière
Ay
(5) dy = lira — ,
du = lira — ;
. Az
dz = lim — , etc... ;
et, comme on aura d’ailleurs, en vertu de l’équation (2) ,
on trouvera encore
dx = — ,
dx = lim — .
Ajoutons que, si, dans la formule (4) , on substitue la valeur de A a donnée par la formule (1) , on en conclura
M da = lim '
Il ne reste plus qu’à chercher la limite vers laquelle converge le soCond membre de l’équation (7), quand, après avoir posé A# = adx, on fait converger « vers la limite zéro. On y parviendra de la manière suivante.
ao8
Si , dans la fonction
u = f{x,y,zt...) ,
on fait croître l’une après l’autre les variables x , y, z des quantités Ace , a y ,
A z . , on déduira de l’équation (16) de la page 36 une suite d’équations de la
forme
/(* + A x,y,z, . •••)— . ) = Ace?(cc4.0IA . ),
f{x+bx,y+by,z, . ) — f{x+bx,y,z, . ) = byx(x+*x,y+02 by9z, . ),
f{x -1- A x,y -f Ay,z Az, . . . ) — /(* + A x,y + A y,z,.. .) = Az Acr, y -j- A y9z + 03 Az,. . )
etc . ,
0i » 0a , 03 désignant des nombres inconnus , mais tous compris entre zéro et l’unité. Or, en ajoutant ces équations membre à membre , on en tirera
(8) f{x + A x, y + by, z + Az, . . . ) — f(x,y, z9...) =
Ax.ÿ(æ+ 0, Aa?,y,z,. .) -f- Ay.x(#4* Atf,y + 6.. Ay,z,..) + Az.^(a;-f- bx,y + Ay,z4- 03Az,. .) + etc. ;
puis, en divisant par a les deux membres de la formule (8), faisant converger « vers la limite zéro , et ayant égard aux équations (5) , (6) , (7) , on trouvera
(9) du = <f (x9y9 z, . . .) dx + x {x,y,z, . . .) dy + $ {x,y9 z,...)dz + etc.
En vertu de l’équation (9) , la différentielle de la fonction u se trouve complètement
déterminée , dès que l’on lixe les valeurs des quantités dx , dy , dz , . Mais ces
dernières quantités, qui représentent les différentielles des variables indépendantes, restent entièrement arbitraires, et on peut les supposer égales à des constantes finies quelconques h , k , /....
La démonstration précédente de la formule (9) suppose implicitement que les variables ce , y , z , .... et la fonction u sont réelles, ainsi que leurs accroissements et leurs différentielles. Mais il est facile de modifier cette démonstration de manière à la rendre applicable au cas même où la fonction a , les variables x , y , z , ... , les accroissements Ace, a y, a 2,..., et les différentielles dx , dy , dz,... deviennent imaginaires. En effet, lorsque acc , \y 9 A z . sont infiniment petites, on tire de la for¬
mule (5i) de la treizième Leçon
f(x+*x,y,zt. . ) - fi*’?’ *> . ) = A*. [f (*, y, t . ) + * 1 >
f{x + b*, y 4- A y, x, . ) — f(x-\-àx,y,z, . ) = Ar-tx(* + A*» J» z, . ) 4“ J1 »
f {x+bx, y + by,z-\- — f(x+bx,y-{-by,z,...)=bz.[^(x-\-bx,y-\-by,z,...)-\-K],
/, /, K,... devant s’évanouir avec Aæ , A y, A « , On a donc par suite
(io) A*+**>y 4- *** + a*,...)— /(*>**•••) =
[f(»>T>*»--0 + /]A* + [x(«+lA«>5r»*v«0 + ^]^+W(* + A«,y + Aiy,*,...) + «]A* + etc.
Or il suffit de diviser par a les deux membres de l’équation (îo) , et de faire ensuite converger a vers la limite du zéro, pour retrouver la formule (9).
En appliquant la formule (9) à des cas particuliers , on en tirera
d(x+y+z+....) = dx+dy+dz + ... ,d(x-y) = dx-dy, d(ax+by+cz + ....)=adx+bdy+cdz + .,
d{xy>z-...) = xyb*'.--(«^+by + °T + -’-) ’ rf(y)='
d.xy — yxy~'dx + xr\(x)dy, etc...,
ydx - xdy
d{x+y[/~) =zdx-\- \/~dy, d.e*^-‘ e*+rv. (<& + dy\/Tx ) , etc .
Il est important d’observer que , dans la valeur de du donnée par l’équation (9) , le terme <f{x,y,z,...)dx est précisément la différentielle qu’on obtiendrait pour la fonction u = f{x,y,z,...) en considérant dans cette fonction x seule comme variable , et y, z . comme constantes. C’est pour cette raison que le terme dont il
s’agit se nomme la différentielle partielle de la fonction u par rapport à x. De même
y{x,y,z,...)dy , \{x,y,z,...)dz , etc...,
sont les différentielles partielles de u par rapport à y , par rapport à 5 , etc .
Si l’on indique ces différentielles partielles en plaçant, au bas de la lettre d , les variables auxquelles elles se rapportent , comme on le voit ici ,
dxii , dyu , dtu , etc... ,
on aura
. . . i dxu d y u , , . d.u
(11) T (a = , x(cc, 7, «,...) etc... ;
et l’équation (9) pourra être présentée sous l’une ou l’autre des deux formes
(12) du — dxu -f- dyu dtu etc... ,
, . dxu . , dru , . dtu ,
(13) du — — — dx-\ - 7— dy-\ — - — dz etc. ...
v ' dx dy J dz
Il résulte de la formule (12) que les différentielles partielles dxu , dyu , dtu , etc., sont les diverses parties de la différentielle totale du, que l’on peut aussi nommer simplement la différentielle de la fonction u.
Pour abréger, on supprime ordinairement, dans les formules (11), les lettres que nous avons placées au bas de la caractéristique d , et l’on représente simplement les dérivées partielles de u prises relativement à x , y , z , ... par les notations
du du du
Ty' Tz‘ elc-
Alors, — n’est pas le quotient de du par dx ; et, pour exprimer la différentielle partielle de u , prise relativement h x , il faut employer la notation
qui n’est point susceptible de réduction , h moins qu’on 11e rétablisse la lettre x au bas de la caractéristique d. Lorsqu’on admet ces conventions, la formule (10) se réduit à
(,5) is!ï*+^ + ïA + V
Mais , comme il n’est plus permis d’effacer dans cette dernière les différentielles dx , dy , dz , ... , rien ne remplace la formule (12).
En terminant celte Leçon , nous indiquerons un moyen fort simple de ramener le calcul des différentielles totales à celui des fonctions dérivées. Si l’on prend Aæ = adx , u désignant une quantité infiniment petite , la différentielle totale du sera déterminée par la formule (7) , pourvu qu’en s’approchant de zéro , les accroissements Aas ,
SEIZÉME LEÇON. *»»
iy 42 , ... deviennent sensiblement ou même rigoureusement proportionnels aux dit férentielles dx , dy , dz,... Donc la formule (7) subsistera . si l’on pose
(l6) 4 * = «<fa, 4y = «dy, » • = ««*, etc-,
en sorte qu’on aura
f(a)+a.(l£c,y‘\’<xdy, z+a,dzt-.-) - J • ••)
(iy) du = lim — ' ”
D’autre part , si , dans l’expression ~f{x 4 *dx,y 4 , onconsidète
a comme seule variable , et si l’on fait en conséquence
f{x 4 acte, j 4 *dy, z 4* «dz, ...) = F(«) ,
on aura non-seulement
mais encore A« = F(«) - *(' o) . et par suite
(40, dM = limMW<0).
Ainsi, pour former la différentielle totale du , H suffira de calculer la valeur particulière que reçoit la fonction dérivée F'M dans le cas où Ion prend a = o.
Usage des dérivées partielles dans la différenciation des fonctions composées. Diffé rcntielles des fondions implicites. Théorème des fonctions homogènes .
Soit
une fonction quelconque des variables u, v , iv , ... que nous supposerons être ellesmêmes des fonctions des variables indépendantes x, y, s , 5 sera une fonction
composée de ces dernières variables; et, si l’on désigne par \x , \y , As , ... des accroissements arbitraires simultanément attribués à x, y , z, . les accroissements
correspondants A u , Av , A tv , .... A s des fonctions u , v , w , .... s seront liés entre eux par la formule
(0 A*=F(a-4- Au, r 4- A»,w-1- AtD,...) — F(u,v,w, ...).
Soient d’ailleurs
les dérivées partielles de la fonction F[u,v ,w, ...) prises successivement par rapport à u , v , w , .... Comme 1 équation (8) de la Leçon précédente a lieu pour des valeurs quelconques des variables x , y , z , ... et de leurs accroissemenls acc , A yt a z,..., on en conclura , en remplaçant x , y, z par u , v , w , ... , et la fonction / par la fonction F ,
(*) Aa, -|- Ar, w -f" Air,...) — F(ufv,wr...) =
Aa4»(a-f-eIAu,r,ip,..)4-A®X(a-f Aa,® + e,At>,ir,..)4-AwY(u+A«,t)4.A®,Ip4-93Aw,..)4-olc.
Dans cette dernière équation 0, , 0a , 03... désignent toujours des nombres inconnus, mais inférieurs à l’unité. Si maintenant on pose
Aæ acte ,
A — a dy , A i — adti.
etc... ,
DIX-SEPTIÈME LEÇON. ai 3
a désignant une quantité infiniment petite, on aura, en vertu de la formule (17) de la Leçon précédente ,
Aa , Au . Aro A s
(A) du = lim — , dvz= lim — , dw — lim — ,... rfc = lim — ;
puis, en divisant par a les deux membres de l’équation (2) , et passant aux limites , on trouvera
(5) ds = 4» (u, v, w, . . . ) du -f X (a, v, w, . . .) dv + Y (a, v, w, . . . ) dw + e te .
La valeur de ds fournie par l’équation (5) est semblable à la valeur de du fournie par l’équation (9) de la Leçon précédente. La principale différence consiste en ce que les différentielles dx , dy , dz , ... , comprises dans la valeur de du , sont des constantes arbitraires , tandis que les différentielles du, dv , dw,... sont de nouvelles fonctions des variables indépendantes x , y , z , ... combinées d’une certaine manière avec les constantes arbitraires dx , dy , dz . .
La démonstration qu’on vient de donner de la formule (5) suppose implicitement que les fonctions u , v , iv , ... s sont réelles , ainsi que leurs accroissements et leurs différentielles. Si ces fonctions, ces accroissements et ces différentielles devenaient imaginaires, il suffirait, pour établir la formule (5) , de recourir à l’équation (io) de la Leçon précédente. En effet, comme celle dernière équation subsiste, quelles que soient les valeurs finies, réelles ou imaginaires, attribuées aux variables x , y , z . et les va¬
leurs infiniment petites attribuées à leurs accroissements Ax , \y , A 2 . on en
conclura , en remplaçant x,y, z,... par u, v, w . . et la fonction f par
la fonction F ,
^6) F[u -b* A U)U -{- A vyw A W) .. •) — F(u, v,w, .. .) =
[$ (u,v,w,.\.) +/]Am + [X(n + Aa,r,a>, ...)+ J]A® + [V(a + A«,ti +• At>, w,...) + /£] Ai» + etc.. .
Dans la formule (6) I , J , K , .... désignent toujours des quantités qui s'approchent
indéfiniment de zéro , en même temps que Ax , A y , \z . Si d’ailleurs on assigne
à Ax , AJ , az , ... les valeurs que déterminent les équations (3), il suffira évidemment de diviser par a les deux membres de la formule (6) , et de passer aux limites pour retrouver la formule (5).
En appliquant la formule (5) à des cas particuliers, on en tirera
d(u -{- r) = du -}- dv , d{u — v) == du — dv , d{au -j- bv) = adu -{- bdv , d(au- f- bv -{- cw -f- ...) = adu -J- bdv -j- edw ,
CALCUL DIFFEÉRNTIEL
d(uv) — udv -f- vdu , d(uvw...) = rw...du -f- uw...dv + uv...dw -f- . .. ,
velu - udv v a
d.uv = vu°~ldu uv\[u)du , etc....
Nous avions déjà obtenu ces équations [voyez la seconde Leçon] , en supposant u , v , w,... fonctions d’une seule variable indépendante x. Mais on voit qu’elles subsistent, quel que soit le nombre des variables indépendantes.
Dans le cas particulier où l’on suppose u fonction de la 6eule variable x , v fonction de la seule variable y , vu fonction de la seule variable z ... , on peut arriver directement h l’équation (5) , en partant de la formule (9) de la Leçon précédente. En elfet , en vertu de celte formule , on aura généralement
(7) ds= d-s -f- djS -+■ dzs 4- etc....
De plus, comme, parmi les quantités ti , v , vu . la première est, par hypothèse,
la seule qui renferme la variable x \ en considérant s comme une fonction de fonction de cette variable, et ayant égard à la formule (10) de la première Leçon , on trouvera
dxs = dxF(u,v,vu...) =^<b(utvtiv...)dxu = ${u,v,w...)du .
On trouvera de même
dys = x(u,v,zu...)dv , dts — (u,v,w...)dv , etc .
Si Ton substitue ces valeurs de dxs , dyS , d,s , ... dans la formule (7), elle coïncidera évidemment avec l’équation (i5).
Soit maintenant r une seconde fonction des variables indépendantes x, y, z.... Si l’on a identiquement, c’est-à-dire, pour des valeurs quelconques de ces variables.
on en conclura
(9) ds = dr.
Dans le cas particulier où la fonction r se réduit , soit à zéro , soit à une constante c, on trouve drz=.o ; et par suite l’équation
entraîne la suivante
ou
Les équations (9) et (11) sont du nombre de celles que l’on nomme équations différentielles. La seconde peut être présentée sous la forme
(12) $(ufv,w,...)du-\-X(u,v,w,...)dv -\-'¥(u,v,w,...)div ... =0 ,
et subsiste dans le cas même où quelques-unes des quantités « , v , w ... se réduiraient à quelques-unes des variables indépendantes x , y , s ... Ainsi , par exemple , on trou vera ,
en supposant F [x,v) = o , * ( x,v ) dx -f- x v) dv = o ,
en supposant F(x,ytw)=o, ${x,y,w)dx + x(x,y,w)dy + v (xfy,w)dw — o etc .
Dans ces dernières équations , v est évidemment une fonction implicite de la variable x, w une fonction implicite des variables x,y; etc .
De même , si l’on admet que les variables x , y , z . cessant d’être indépen¬
dantes, soient liées entre elles par une équation de la forme
(i5) f(xry,z,...) = o,
alors , en faisant usage des notations adoptées dans la Leçon précédente , on obtiendra l’équation différentielle
(14) y{x,y,z,-~)dx-\-x{x,y1t,...)dy + ••• = 0 »
au moyen de laquelle on pourra déterminer la différentielle de l’une des variables considérée comme fonction implicite de toutes les autres. Ainsi , par exemple , on trouvera ,
en supposant æ* *4 -y* = a\ xdx-+-ydy = o, dy — — — dx ;
en supposant y’ — x* = a’, ydy — xdx = o, dy —~dx,
en supposant æ9 -f y9 + xdx +ydy + zdz — o , dz = ^~dx- ^-dy.
Comme on aura d’ailleurs , dans le premier cas , y = ± \/a* ^ , et dans le second , y = ± v/^r , on conclura des formules précédentes
, „„ ,, , - . xax ,, t xax
(,5) d(vÆrTîr) = T r.i
ce qu’il est aisé de vérifier directement.
Lorsqu’on désigne par u la fonction /(*»/»« . ). les équations (i 3) et (i4)
peuvent s’écrire comme il suit ,
(16) u = o , (17) du = o .
Si les variables x , y , au lieu d’être assujetties à une seule équation de la
forme ct = o , étaient liées entre elles par deux équations de celle espèce, telles que
alors on aurait en même temps les deux équations différentielles
( 1 g) du = o , dv — o ,
h l’aide desquelles on pourrait déterminer les différentielles de deux variables considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.
En général , si n variables x , y , s,... sont liées entre elles par m équations, telles que
(.20) u = o , • v = o, w = o, etc .
alors on aura en même temps les m équations différentielles
(21) du = o , dv = o, dw = o, etc...,
à l’aide desquelles on pourra déterminer les différentielles de m variables considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.
Les principes ci-dessus établis relativement à la différenciation des fonctions composées fournissent encore ie moyen de démontrer une proposition digne de remarque , et que l’on nomme théorème des fonctions homogènes.
On dit qu’une fonction de plusieurs variables est homogène , lorsqu’on faisant croître ou décroître toutes les variables dans un rapport donné , on obtient pour résultat la valeur primitive de la fonction multipliée par une puissance de ce rapport. L’exposant de cette puissance est le degré de la fonction homogène, En conséquence f[x,y,z, . )
DIX-SEPTIEME LEÇON, sera une fonction de x , y , z , homogène et du degré a, si, l désignait une nouvelle variable , on a, quel que soit t ,
(22) f{tX,ly,tZ,...)=taf{x,y,Z,...).
Cela posé, le théorème des fonctions homogènes peut s’énoncer comme il suit.
Tiiéorêmb. Si l'on multiplie les dérivées partielles d'une fonction homogène du degré a par les variables auxquelles elles se rapportent , la somme des produits ainsi formés sera équivalente au produit qu'on obtiendrait en multipliant par a la fonction clic même.
Démonstration. Soient
la fonction donnée, et
?(*,?,*,...) > xfoy»*»—)* ’K*dr»*»— ) » etc .
ses dérivées partielles par rapport à x,h y, k s, etc.... Si 1 on différencie les deux membres de l’équation (22) , en y considérant t comme seule variable, on aura, en vertu de la formule (5) ,
? (ta, tjy tz, ...)ccdt-\-x (tx, ty, tz, ...)ydt {tx,ty, 4-... y, z,...)dt;
puis, en divisant par dt , et posant t= 1 , on trouvera
(a3) xff (*, y, z,...) +yz(*,y>*7~.) + ^(tc,y,z,...)=za/(x,y, *»— )>
ou, ce qui revient au même.
du , du du
Corollaire. Pour une fonction homogène d’un degré nul , on aura
Exemples. Si l’on pose
du , du ,
dx nrj dy ‘ dz T
u~— {Ax* + By* 4* C*' + 2D7S + zEzx 4- 2 Fxy ) ,
l’équation (a4) donnera ( Ax + Fy + Ez) x + {Fx + B y + Dz) y + {Ex + Dy + Ci) z = Ax * + B y 7 + Cz ' + » Dyi + 2 Ezx + •xFxjr. Si l’on pose au contraire
l'équation (2 5) sera réduite à
Différentielles des divers ordres pour les Fonctions de plusieurs variables.
Soit
une fonction de plusieurs variables indépendantes x, y, z, . Si l'on différencie
cette fonction plusieurs fois de suite , soit par rapport 5 toutes les variables , soit par rapport h l’une d’elles seulement, on obtiendra plusieurs fonctions nouvelles dont chacune sera la dérivée totale ou partielle de la précédente. On pourrait même concevoir que les différenciations successives se rapportent tantôt à une variable, tantôt à une antre. Dans tous les cas, le résultat d’une, de deux , de trois .... différenciations successivement effectuées, est ce qu’on appelle une différentielle totale ou partielle du prêter, du second, du troisième ... ordre. Ainsi , par exemple , en différenciant plusieurs fois de suite par rapport à toutes les variables , on formera les différentielles totales du , ddu , dddu... que l’on désigne, pour abréger, par les notations du , d’u , d*u , .... Au contraire , en différenciant plusieurs fois de suite par rapport à la variable x , on
formera les différentielles partielles dxu , dxdxit , dxdxdxu . que l’on désigne par
les notations dxu . dx'u , dxhi . En général , si « est un nombre entier quel¬
conque , la différentielle totale de l’ordre n sera représentée par d"u , et la différentielle du même ordre relative h une seule des variables x, y, z . par dxnu .
d "u d”u . etc. Si l'on différenciait deux ou plusieurs fois de suite par rapport à deux ou h plusieurs variables , on obtiendrait les différentielles partielles du second ordre, ou des ordres supérieurs, désignées par les notations dxdrti , d,dxu , dxd>u , . . . dxdrd>u 0r il est facile de voir que les différentielles de cette espèce conservent les mêmes valeurs quand on intervertit l’ordre suivant lequel les différenciations relatives aux diverses variables doivent être effectuées. On aura, par exemple,
^ dxdyu — dydxu.
C’est effectivement ce que l’on peut démontrer comme il suit.
Concevons que l’on indique par la lettre * . placée au bas de la caractéristique a .
l’accroissement que reçoit une fonction de x , y , z , . lorsqu’on fait croître x
seule d’une quantité infiniment petite adx. On trouvera
(.2) kxuz=:f[x -{- *dx,y,z,...) — f[x,y,z,...), dxu = lim ,
(3) \xdyu =■ dr{u + A,n) — dyu = dybxii ,
e! par suite
A xdrti dfbxu A xu
puis, en faisant converger a vers zéro, et ayant égard à la seconde des formules (2) , on obtiendra l’équation (1). On établirait de la même manière les équations identiques dxdsu = dtdxu , dj.dtu = dtdyu , etc.
Exemple. Si l’on pose a = arctang — , on trouvera
dxu= — - — dx , d~u = - - — dy , dvdxu = dxdvuz=z
L’équation (1) étant une fois démontrée, il en résulte que , dans une expression de la forme dxdydt...u , il est toujours permis d’échanger entre elles les variables auxquelles se rapportent deux rlifférencialions consécutives. Or, il est clair qu’à l’aide d’un ou de plusieurs échanges de celte espèce, on pourra intervertir de toutes les manières possibles l’ordre des différenciations. Ainsi , par exemple , pour déduire la différentielle dtdydxii de la différentielle dxdydzu , il suffira d’amener d’abord par deux échanges consécutifs la lettre x à la place de la lettre z, puis d’échanger les lettres jet 2, afin de ramener la lettre j à la seconde place. On peut donc affirmer qu'une différentielle de la forme dxdJdt... u a une valeur indépendante de l’ordre suivant lequel sont effectuées les différenciations relatives aux diverses variables. Cette proposition subsiste dans le cas même où plusieurs différenciations se rapportent à l’une des variables, comme il arrive pour les différentielles dxdydxu , dxdydxdxu , etc. Lorsque celte circonstance se présente, et que deux ou plusieurs différenciations consécutives sont relatives à la variable x; on écrit, pour abréger, au lieu de dxdx , dzx au lieu
de dxdxdx , etc. Cela posé , on aura
d\dyu~dxdydxu , d3xdrdtu = dxdydxdidxu = dydzxd%u = etc... ,
d'xdiyu ~ dzyd*xu , dxd*rdztu — dxd\d,Ju = d*Jdxdz%u = etc....
et généralement, l , m , n , ... étant des nombres entiers quelconques,
7 dxdy.
(4) dlTdwyd u = d'tdntdm y.,.,u = dm ydlxdn . a = elc....
Comme, en différenciant une fonction des variables indépendantes x , y, z , .
par rapport h l’une. d'elles , on obtient pour résultat une nouvelle fonction de ces variables multipliée par la constante finie dx , ou dy , ou dz , ... , et que, dans la différenciation d’un produit, les facteurs constants passent toujours en dehors de la caractéristique d; il est clair que, si l’on effectue l’une après l’autre, sur la fonction u — f(x,y,z,..), I différenciations relatives h x , m différenciations relatives h y, n différenciations
relatives h z . . la différentielle qui résultera de ces diverses opérations, savoir,
dlxdmydnt...u , sera le produit d’une nouvelle fonction de x , y , 2 , ... par les facteurs dx, dy, dz,... élevés, le premier à la puissance lmc, le second à la puissance mmc, le troisième à la puissance nme, ... La nouvelle fonction dont il s’agit ici est ce qu’on nomme une dérivée partielle de u , de Y ordre l 4- m -f- n 4* ... Si on la dé signe par d{x,y,z,.,.) , on aura
et par suite
dlxdm yd%... u — zr(x,y,zi...)dxldyr" dz* .
, , dlx(t"‘y(/"z....U
Il est facile d’exprimer les différentielles totales d2u , <Z3u , ... h l’aide des différentielles partielles de la fonction u ou de ses dérivées partielles. En effet , on lire de la formule (12) [seizième Leçon]
d2u = ddu — dxdu 4 dydu 4- dtdu 4 •••
= dx{dxu + dyU 4- dtu ...) + dy{dxit 4- d.u 4- dtu...) + dz{dxu 4 d,u 4- dtu...) ,
et par suite
(7} d2u = d2xu 4- d'yit 4- d*tu 4 ••• 4" 2 dx dru 4- 2 dxd%u ... 4 2 d, dztt 4* ••• .
ou , ce qui revient au môme ,
( 1 » a d2.u d2zu , , dxdru . , dxdtu dydzu , ,
.^!Ldx'+—- —rfy * + -77 +*.. + 2~ri— dxdy + 2 - — dxdz.,. + g dvd:....
dx2 dy 2 J dz2 dxdy J dxdz ‘ • -
dydz
On obtiendrait avec la même facilite les valeurs de d*u , d^u
Exemples. d3(xyz) = z[xdydz -\-ydzdx 4- zdxdy) , d3(xyz) = Gdxdydz ,
d' (x'-hy‘ =z*(dx'+dy%-\-dz%..), rf3(aj3-+-j'3+23...)==^(^a:î“l'eOr3",“^23*,‘)* etc-
Pour abréger, on supprime ordinairement, dans les équations (6), (8), etc . les
lettres que nous avons écrites au bas de la caractéristique d , et l’on remplace le second membre de la formule (6) par la notation
dl+m+n...u
(9) dxldym dzn ...
Alors les dérivées partielles du second ordre se trouvent représentées par
dx' * dy3 * dz * '* dxdy ’ dxdz ' ’ dydz
les dérivées partielles du troisième ordre, par
dxT
dxdy3
etc... ;
dx3dy ’
et la valeur de d3u se réduit à (*°)
+ J — dy3+ ~r~~~ dz3... + 2 dxdy+2-^-j—dxdz... + ï dydz ...
dx3 dy3 J dz 3 7 dxdy J dxdz dydz
Mais il n’est plus permis d’effacer , dans cette valeur, les différentielles dx, dy , dz , ... attendu que ~y~T » * *~ ne désignent Pas Ie8 quotients qu’on obtiendrait en divisant d3u par dx3 ou par dxdy .
Si, au lieu de la fonction u — f(x,y,z, ...) , on considérait la suivante
(11) sr=z F{u,v,w,...) ,
les quantités u , v , w , .... étant elles-mêmes des fonctions quelconques de? variables indépendantes x, y, z , , les valeurs de d*s , d3s,... se déduiraient sans peine
des principes établis dans la dix-septième Leçon. Effectivement , en différenciant plusieurs fois la formule (11), on trouverait
DIX-HUITIÈME LEÇOX
/ d, = j[ESü^Léu+ rfF(,‘^-U+ <*(*••>•?-) dw +
(is)
etc..
du,^ dudv+...+^5^rl d,u+elc„,
rf«5 rfwrf® ««
Exemples. d''{u + v) — dnu + dnvf dn[u-v) = dnu-dnv, dn(u+v\/~)*=d”u + l/Td"r, dn{au 4- 6v 4- cw ...) = ad"u 4- bdHv 4* cdnw 4“ ••••
Parmi les équations que l’on peut déduire des formules (12) , on doit distinguer celles qui déterminent les différentielles d’une fonction s de plusieurs variables u, v , t v, ... dont chacune est à son tour une fonction linéaire d’autres variables supposées indépendantes. Soient en effet a , b , c , ... k des quantités constantes , et
(i3) « = ax 4“ by 4“ cz 4~ ••• 4* ^
une fonction linéaire des variables indépendantes x , y , z , ... La différentielle ( , 4) du — adx 4“ bdy 4“ °dz 4* • • •
sera elle-même une quantité constante, et par suite les différentielles d*u , dlu . .
se réduiront toutes à zéro. On conclut immédiatement de cette remarque que les différentielles successives des fonctions
conservent la même forme dans le cas où u , v , w , .... sont considérées comme variables indépendantes, et dans le cas où u , v , w , ... sont des fonctions linéaires des
variables indépendantes æ, y, z . Ainsi , on trouvera dans les deux cas , pour
(,5) (*5 = F'(u)£/u , d's = F"[u)du* , d*s = F"\u)du\ ... dns = F<"> {u)dun ;
pour s = F(u,v),
(16) dns —
dun
l dun~l dv
1 dudvn~1
dvn
pour s=F[u)F(v),
( 1 7) dns —
F<n>{u)F(v)dun+^F<n-l>(u)F\v)dun 'dv+..+^F'{u)F<n-'>(v)dudvn '+F{u)F<n>{v)dv''i elc .
Ces diverses équations subsistent, lors même que, u , v , w . . étant fonctions linéaires de x,y, les constantes a, 6, c,...fc, comprises dans u, v , w,...
deviennent imaginaires. On a, par exemple, pour « = F(x y \/~) ,
(18) ds = F' (ce 4“ y V~ )(dx H- V~ fy) , ... dns = F^n){x -\-y[/~)[dx \/~dy)n;
pour s — F{x — y \/Tx ) ,
(19) <U=rF\x — y\/Tx){dx— \ZZdy) , ... dns = F^{x — yy/“)(dx — {SZdÿ)*; pour s = F(æ4-ty\/“)F(a;— jv/“) *
(20) dns = FW\x "\-y^î)F{x — j^/T7)(céc 4-
