JV'S* )F«(«- - j - v/- <M

On obtiendrait encore avec la plus grande facilité le» différentielles des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes. Il suffirait de différencier une ou plusieurs fois les équations qui détermineraient ces memes fonctions, en considérant comme constantes les différentielles des variables indépendantes, et les autres différentielles comme de nouvelles fonctions de ces variables.

Méthode, propres à simplifier la recherche des différentielles totales pour le, fonctions de plusieurs variables indépendantes. Pâleurs symboliques de ces différentielles.

Soit toujours

une fonction de plusieurs variables indépendantes x , y , s » ••• î cl désignons pai

etc”

ses dérivées partielles du premier ordre relatives à a; , h j , à c , . Si 1 on fait ,

comme dans la seizième Leçon ,

^ ^(a) = f[pc + *dx, y + «dy , s-fatk,...) ,

puis , que l'on différencie les deux membres de l’équation (.) par rapporté la variable a , on trouvera

Si , dans cette formule, on pose «= » , on obtiendra la suivante

(3) F'(o) = vC^=.-0dx + x(^.^--0‘fy + + (*-J'--'")^ + '''=rf“:

laquelle s’accorde avec l’équation (..) de la seizième Leçon. De plus , il résulte évidemment de la comparaison des équations (.) et (s) qu’en différenciant , par rapport à « , une fonction des quantités variables

x + xdx, y + ady, s + ads,...,

on obtient pour dérivée une autre fonction de ces quantités combinées d’une certaine r 29

manière avec les constantes dx , dy , dz . De nouvelles différenciations, relatives

à la variable a , devant produire de nouvelles fonctions du même genre , nous sommes en droit de conclure que les expressions (4) seront les seules quantités variables renfermées , non-seulement dans F(«) et F'(<*) , mais aussi dans F"(a) , F'"(a) , ..., et généralement dans F(n)(«) , n désignant un nombre entier quelconque. Par suite les différences

F(«) — F(o) , F'( *) — F'(o) , F» — F» , ... F<»>(«) — FW(o) ,

seront précisément égales aux accroissements que reçoivent les fonctions de x, y, représentées par

F(o) , F'(o) , F»,... FW(o),

lorsqu’on attribue aux variables indépendantes les accroissements infiniment petits ctdx, ady , udz , .... Cela posé, comme on a F(o) = u , on trouvera successivement, en faisant converger a vers la limite zéro ,

F'(o) = lim = lim = du ,

F"(o) = lim F--— - F ■ — = lim = ddu = d*u ,

F"'(o) = lira F"W — F,,(°)- = lim = dd'u = d*u ,

etc..

. x .. FC-0(«).FC«-0( o) Arf"-«a , .

n)(o) =lim - — — - — — =bm - = dd l = dnu.

FW( o)

En résumé, l’on aura

(5) a = F(o), du = F'{ o), d>« = F"(o), d!«=F»,.J"«=:F«(o).

Ainsi, pour former les différentielles totales du , d7u , ... dnu , il suffira de calculer les valeurs particulières que reçoivent les fonctions dérivées F'(a) , F"(a) , ... Fc,°(a) , dans le cas où la variable a s’évanouit.

Parmi les méthodes propres à simplifier la recherche des différentielles totales, on doit encore distinguer celles qui s’appuient sur la considération des valeurs symboliques de ces différentielles.

En analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes

algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on atlribue une valeur différente de celle qu’elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui , prises à la lettre, et interprétées d’après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n’ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts, en modifiant ou altérant, selon des règles fixes, ou ces équations elles -mêmes, ou les symboles qu’elles renferment. Dans le nombre des équations symboliques qu’il est utile de connaître, on doit comprendre les équations imaginaires [voy.

V Analyse algébrique , chapitre VII] et celles que nous allons établir.

Si l’on désigne par a, b, c , ... des quantités constantes , et par l, m, n , ... p , q , r , ... des nombres entiers, la différentielle totale de l’expression

(6) ailj dym dj ... u -f- bdj> dj'dy . . . u + etc* • • » sera donnée par la formule

(7) d[adj + bd'xPdy * dS. .. u •+- . . .] [adj dy'"dS...a+bdxPdyrdS...u + ...]

+ dy \adjd7m dy. . . u -f bdxPdyU,r. .. a + .. .. .] +dt [adjdy dy. . . u + bdxPdy 1. dy . . . u+ . .. • • ■ — adj + ' dy m dy . . . . u -f- ad lx dÿ m + 1 dy . . . u + adj dy dy +: 1 . . . . u -f- . . . . + bdx p + ' dy 1 dy . .. . « -f- .

De celte formule réunie à l’équation (4) de la dix-huitième Leçon , on déduit immédiatement la proposition suivante.

Théorème. Pour obtenir la différentielle totale de l'expression (6) , il suffit de multiplier par d le produit des deux facteurs adj d/n dy .... -f- bdxr dyi dj .... -f- .... ,

et u , en supposant d = dx dy dt . » cl opérant comme si les notations

d , dx , dy , dt , ... représentaient devéritables quantités distinctes les unes des autres , de développer le nouveau produit , en écrivant , dans les différents termes , les facteurs

a, b , c . à la première place, et la lettre u à la dernière ; puis de concevoir

que , dans chaque terme , les notations dx , dr , dt , ... cessent de représenter des quantités , et reprennent leur signification primitive.

Exemples. En déterminant , à l’aide de ce théorème , la différentielle totale de l’expression

(g) dxu + dyU + dzu-\- ... ,

on obtiendra précisément la taleur de ddu ou de d'u , que fournit l’équation (7) de la Leçon précédente. En appliquant de nouveau le théorème à cette valeur de d7u , en obtiendra celle de dlu , et ainsi de suite.

22g CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Nota. Lorsqu’on ne fait qu’indiquer les multiplications , à l’aide desquelles on peut , d’après le théorème , calculer la différentielle totale de l’expression (6) , on obtient , au lieu de l’équation (7) , la formule symbolique

j' d[adxldrmdtn...u + bdxPd/dzr...u 4-*-J =

( [adxldj,md%n ... + bd^dj'1 d%r ... + «-IM* + 4“ 4“ •••]«•

Comme, dans la formule (9) , les notations dx , dy , dt , ... sont employées pour représenter des différentielles, cette formule, prise à la lettre, n’a aucun sens; mais elle redevient exacte, dès qu’on a développé son second membre, à l’aide des règles ordinaires de la multiplication algébrique, et en opérant comme si dx , dy , d% . .

étaient de véritables quantités.

Lorsqu’il l’expression (6) on substitue l’expression (8) , et qrte l’on différencie celte dernière plusieurs fois de suite, on obtient par les mômes procédés les valeurs symboliques des différentielles totales d*ti , d3u , ... , savoir,

(dx^rdJ-\-dt...){dx-\-dy-\-di...)u, (dx-\-dy-{‘d%...)(dx-\-djr-\-dt\..)(dx-\-dy+dt...)u, etc.

En joignant à ces valeurs symboliques celle de du , puis écrivant, pour abréger, (d,4-rfr4- dt ...)’ au lieu de (dx dy + dt ...) (dx -f- dy -j- </, ....) ,

[dx 4- dy + dt...)3 au lieu de (dx 4- dr 4- dt...)[dx 4- dy 4* d,...)(dx 4- dr 4- d, ...) , etc .

on formera les équations symboliques

(ro) dur={d, + dj + d,...)u, d’u = (d, + dr + d....)'u, d>u = (dx + dr + d,...yu,...

et l’on aura généralement, » désignant un nombre entier quelconque ,

(11) dnu = {dx 4- dy 4" dt...)"u.

Soit maintenant

u v , vu , ... étant des fonctions des variables indépendantes x , y , s , ... On trouvera encore

(13) d"s = {dx + dy + d,...)"s.

Il est très-facile de développer le second membre de cette dernière équation, dans le cas particulier oii l’on suppose u fonction de x seule , v fonction de y seule ,

w fonction de z seule, etc . D’ailleurs, pour passer de ce cas particulier au cas

général , il suffira évidemment de remplacer

dxu,dx'u,dju... par du, d'n, d'n... ,

d7v,dr'v... par dv,d'v..., etc... ,

c’est-h-dire , d’effacer les lettres x, y, s , placées an bas de la caractéristique d. Donc il sera facile, dans tous les cas, de tirer de la formule (tS) la valeur de d"s. Prenons , pour fixer les idées , $ = uv. En opérant comme on vient de le dire , on

trouvera successivement

(i4) dn{uv) — udynv^dxud/^lv

dx'ud n-'v+..+-dyvdxn~'u-{-vdx*u ,

,5) d”(a») = u<f”« +^dud"~’v + d'udl'~‘v+ +^dvdn~’u+vd'u.

La dornière formule subsiste , quelles que soient les valeurs de u , v , et as , y , et dans le cas même où u , v se réduisent à deux fonctions de x.

Exemple.

n n(n-') ax

+...± "("-‘h-ï-lJ-W.

anxn J

Maxima et minima des fonctions dt plusieurs variables.

Lorsqu’une fonction de plusieurs variables indépendantes x, y , z,... atteint une valeur particulière, mais réelle, qui surpasse toutes les valeurs réelles voisines, c’est-à-

dire, toutes celles qu’on obtiendrait, en faisant varier x , y , z . . en plus ou en

moins de quantités très-petites ; cette valeur particulière de la fonction est ce qu’on appelle un maximum .

Lorsqu’une valeur particulière d’une fonction de x , y , z »... est réelle et inférieure à toutes les valeurs réelles voisines , elle prend le nom de minimum.

La recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables se ramène facilement à la rechercho des maxima et minima des fonctions d’une seule variable. En effet, supposons que

devienne un maximum pour certaines valeurs particulières des variables x , y , c ,

En attribuant à ces valeurs particulières des accroissements infiniment petits Ax , av , Az , ... choisis de manière que l’expression

f[x + AX, y + Ay, s 4- A*. . . . )

reste réelle, on devra trouver constamment

(») /(aj4-û»,^4- *y,t + A*,...) < f{x,y,z,...).

D’ailleurs , pour que les accroissements Ax , &y, A z , deviennent infiniment petits, il suffit de prendre

Ax=:a(/xf A y = ccdy, A z = adzf etc..., dx , dy , Hz pouvant être des quantités finies quelconques , et désignant une quan-

VINGTIÈME LEÇON. aïi

Lite positive ou négative, mais infiniment petite. Par conséquent, dans l’hypothèse admise , on aura

(2) /(« + ali* J + «rfj, î + «*, • ..) < /(«,;, î, • ••) ,

quelles que soit les valeurs attribuées à dx , dy , dz , ... , pourvu qu’on les choisisse de manière à rendre réel le premier membre de la formule (2). Or, si 1 on fait, pour abréger,

(3) f{x-\-<xdx,y-\-a.dy,z-\-a.dzv..) — F(x) , la formule (2) se trouvera réduite à la suivante

Celle-ci devant subsister , quel que soit le signe de «, il en résulte que , si « seule varie, F(«) , considérée commme fonction de cette unique variable, deviendra toujours un maximum pour a = o .

On reconnaîtra de même que, si f{x,y,z,...) devient un minimum pour certaines valeurs particulières attribuées à x , y , z , , la valeur de F (a) sera toujours un minimum pour «=*0.

Réciproquement , si l’on attribue à x , y , s , ... des valeurs telles que F{*) devienne un maximum ou un minimum pour a = o , quelles que soient dx , dy , dz , ... , ces valeurs produiront évidemment un maximum ou un minimum de la fonction f[x,y,z,...).

Observons maintenant que, si les deux fonctions F( a) , F'(a) sont l’une et l’autre continues par rapport à a, dans le voisinage de la valeur particulière a = o, celte valeur ne pourra fournir un maximum ou un minimum de la première fonction , qu’autant quelle fera évanouir la seconde [voyez la septième Leçon], c’est-à-dire, qu’aulant que l’on aura

Comme on aura d’ailleurs [voyez la formule (20) de la seizième Leçon]

(6) F'(°) = du r l’équation (5) pourra être présentée sous la forme

(7) du = o .

Enfin , comme les fonctions F(<*) et F'(<*) sont ce que deviennent u et du , quand

calcul différentiel.

on y remplace x par x 4. %dx , y par y + xdy , 3 par z xdz , ... , il est clair

que, si ces deux fonctions sont discontinues par rapport à a , dans le voisinage de la valeur particulière a = o, les deux expressions u et du, considérées comme fonctions des variables x , y , z , ... seront discontinues par rapport à ces variables dans le voisinage des valeurs particulières qui leur sont attribuées. En rapprochant ces remarques de ce qui a été dit plus haut, nous devons conclure que les seules valeurs de x , y , z , ... , propres à fournir des maxima ou des minima de la fonction u , sont celles qui* rendent les fonctions u et du discontinues, ou bien encore celles qui vérifient l’équation (7) , quelles que soient les constantes finies dx , dy , dz . Ces

principes étant admis , il sera facile de résoudre la question suivante.

Pbobleme. Trouver les maxima et minima d'une fonction de plusieurs variables.

Solution. Soit u=zf{x,y,z. ...) la fonction proposée. On cherchera d’abord les valeurs do x , y, 2 , ... qui rendent la fonction u ou du discontinue , et parmi lesquelles on doit compter celles que l’on déduit de la formule

(R\ du = zt 00.

On cherchera, en second lieu, les valeurs de x, y, z . qui vérifient l’équation

(7), quelles que soient les constantes finies dx , dy , dz ,... Cette équation, pouvant être mise sous la forme

entraîne

évidemment les suivantes

du du

dx * dy

du

dz ° *

dont on obtient la première en posant dx= 1 , dy = o , dz — o .... ; la seconde en

posant dx^= o, dy = 1, dz = o , .... ; etc . Remarquons , en passant , que ,1e

nombre des équations (10) étant égal à celui des inconnues x , y , z , .... , on n’eu déduira ordinairement pour ces inconnues qu’un nombre limité de valeurs.

Concevons à présent que l’on considère en particulier un des systèmes de valeurs que les précédentes recherches fournissent poùr les variables x, y, z , .... La valeur correspondante de la fonction f{x,y,z . ) sera un maximum , si pour de très-petites

valeurs numériques de a , et pour des valeurs quelconques de dx , dy , d~ , la différence

(11) *dx,y “dy, z -f- <*-dz, ...) — f(x>y>z> •••)

est constamment négative. Au contraire, f(*>y,z,...') deviendra un minimum, si

VINGTIÈME LEÇON. a3X

celte différence est constamment positive. Enfin , si ccltc différence passe du positif au négatif, tandis que l’on change ou le signe de a , ou les valeurs de dx , dy , dz , ... la valeur trouvée de f(x,y,zt...) ne sera plus ni un maximum ni un minimum.

Nota. La nature de la fonction u peut être telle qu’à une infinité de systèmes différents de valeurs attribuées à x , y , s , ... correspondent des valeurs de u égales entre elles , mais supérieures ou inférieures à toutes les valeurs voisines, et dont chacune soit en conséquence une sorte de maximum ou de minimum. Lorsque cette circonstance a lieu pour des systèmes dans le voisinage desquels les fonctions « et du restent continues, ces systèmes vérifient certainement les équations (10). Ces équations peuvent donc quelquefois admettre une infinité de solutions. C’est ce qui arrive toujours quand elles se déduisent en partie les unes des autres.

Il est facile de reconnaître les avantages que peut offrir la considération des différentielles totales des divers ordres , dans la recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables. En effet, d’après ce qui a été dit ci-dessus, pour que certaines valeurs attribuées aux variables indépendantes x , y, z , ... produisent un maximum ou un minimum de la fonction

il est nécessaire et il sullit que la valeur correspondante de

“ i’(*)= f(x-\-cr.dx,y + «.dy,z-\-adz,...)

devienne toujours un maximum ou un minimum , en vertu de la supposition a = o. Or F (ai) deviendra effectivement un maximum ou un minimum pour a = o , quelles

que soient d’ailleurs les différentielles dx , dy , dz . . si, pour toutes les valeurs

possibles de ces différentielles , la première des quantités F'(o) , F"( o) , F (o) . .

qui ne sera pas nulle, correspond un indice pair, et conserve toujours le même signe [voyez la septième Leçon]. Ajoutons que F( o) sera un maximum , si la quantité dont il s’agit est toujours négative, et un minimum, si elle est toujours positive. Lorsque celle des quantités F'( o) , F» , ^'"(o) , qui cesse la première de s’évanouir, correspond à un indice impair , pour toutes les valeurs possibles de dx , dy , dz , ... , ou seulement pour des valeurs particulières de ces mêmes différentielles; ou bien encore, lorsque cette quantité est tantôt positive, tantôt négative; alors /^(o) ne peut plus être ni un maximum, ni un minimum, . Si maintenant on a égard aux équations (5) de la dix-neuvième Leçon , savoir ,

F(o)z=u, F'(o) = du, F"(o)=d*u, etc...,

on déduira des remarques que nous venons de faire , la proposition suivante.

23 J CALCUL DIFFÉRENTIEL

i.et Tuéorême. Soit ti = f[x,y, z . ) une ' fonction donnée des variables indépendantes x , y , z Pour décider si un système de valeurs de x , y , z , . ,

propre it vérifier les formules (10) , produit un maximum ou un minimum de la fonction u, on calculera les valeurs de d*u, dlu , d^u, etc..., qui correspondent à ce système , et qui seront évidemment des polynômes dans lesquels il ny aura plus d arbitraire que les différentielles dx , dy , dz , .... Soit

le premier de ces polynômes qui ne s’évanouira pas , n désignant un nombre entier qui pourra dépendre des valeurs attribuées aux différentielles dx , dy , d* , .... Si, pour toutes les valeurs possibles de ces différentielles , n est un nombre pair , et du une quantité positive , la valeur proposée de u sera un minimum. Elle sera un maximum , si, n étant toujours pair, dnu reste toujours négative. Enfin , si le nombre n est quelquefois impair, ou si la différentielle dnu est tantôt positive, tantôt négative, la valeur calculée de u ne sera ni un maximum , ni un minimum.

Nota. Le théorème précédent subsiste, en vertu des principes ci-dessus établis , toutes les fois que les fonctions F(a) , F'{*) , ... !*»(«) «ont continues par rapport à « , dans le voisinage de la valeur particulière « = o , ou , ce qui revient au meme, toutes les fois que u , du , d'u , ... dnu sont continues , par rapport aux variables x , y , z , ... , dans le voisinage des valeurs particulières attribuées à ces mêmes variables.

Corollaire i.er Concevons que, pour appliquer le théorème, on forme d’abord la valeur de l’expression

d'u — dx dx a

dxdy

dxdy -f- •

tirées des formules (10) dans les fonctions On trouvera zéro pour résultat , Si toutes ces dé-

en substituant les valeurs de x , y , z

dérivées —,

rivées s’évanouissent. Dans l’hypothèse contraire, d'u sera une fonction homogène des quantités arbitraires dx , dy , dz , ... ; e t , si l’on fait alors varier ces quantités , il arrivera de trois choses l’une. Ou la différentielle d'u conservera constamment le même signe, sans jamais s’évanouir; ou elle s’évanouira pour certaines valeurs de dx , dy, dz , ... , et reprendra le même signe, toutes les fois qu’elle cessera d’être nulle; ou elle sera tantôt positive, et tantôt négative. La valeur proposée de u sera toujours un maximum ou un minimum dans le premier cas, quelquefois dans le second, jamais dans le troisième. Ajoutons que l’on obtiendra, dans le second cas, un maximum ou un minimum, si , pour chacun des systèmes de valeurs de dx , dy , dz , ... propres à

VINGTIÈME LEÇON. a 35

vérifier l’équation rf’« = o , la première des différentielles d'u , d^u . qui ne

s’évanouit pas , est toujours d’ordre pair et affectée du même signe que celles des valeurs de d* u qui diffèrent de zéro.

Corollaire 2.* Si la substitution des valeurs attribuées à x , y, s , . réduisait à

zéro toutes les dérivées du second ordre , alors , d' u étant identiquement nulle , il ne pourrait y avoir ni maximum , ni minimum , à moins que la même .ubst.tul.on ne fit encore évanouir d3u , en réduisant à zéro toutes les dérivées du troisième ordre.

Corollaire 3.* Si la substitution des valeurs attribuées b x , y , z , .... faisait évanouir toutes les dérivées du second ordre et du troisième, on aurait identiquement d*u — 0, d*u = 0 , et il faudrait recourir à la première des différentielles a u , d5u,.... qui ne serait pas identiquement nulle. Si cette différentielle était d ordre impair, il n’y aurait ni maximum ni minimum. Si elle était d’ordre pair ou de la forme

dimh . . d'mu

d*m u = - - dx* *+■

dx*m dy*m

■ dy*m -f ... +’

dy

dx'm~'dy + ,

il pourrait arriver de trois choses l’une. Ou la différentielle dont il s’agit conserverait constamment le même signe, pendant que l’on ferait varier dx . dy , ds , ... sans jamais s’évanouir; ou bien elle s’évanouirait pour certaines valeurs de dx , dy , dz , ... , et reprendrait le même signe, toutes les fois qu’elle cesserait d’être nulle; ou elle serait tantôt positive , tantôt négative. La valeur proposée do u serait toujours un maximum ou un minimum dans le premier cas , quelquefois dans le -second , jamais dans le troisième. De plus, afin de décider, dans le second cas, s’il y a maximum ou minimum , il faudrait pour chaque système de valeurs de dx , dy , dz , ... propres à vérifier léquation d*mu = o, chercher parmi les différentielles d’un ordre supérieur k 2m, celle qui la première cesse de s’évanouir, et voir si celte différentielle est toujours d ordre pair et affectée du même signe que les valeurs de d*wu qui diffèrent de zéro.

11 est essentiel d’observer que la valeur de d'mu , donnée par la formule (i4), étant une fonction entière, et par conséquent continue, des quantités dx , dy , dz , ... , ne saurait passer du positif au négatif, tandis que Ces quantités varient, sans devenir nulle dans 1 intervalle. Remarquons en outre que, si la quantité u était une fonction implicite des variables x, y, z, . ou si quelques-unes de ce* variables devenaient

fonctions implicites de toutes les autres, chacune des quantités du , d'u , dlu . .

se trouverait déterminée par le moyen d’une ou de plusieurs équations différentielles, en fonction des différentielles des variables indépendantes.

Exemples. Pour montrer une application des principes ci-dessus établis , supposons

u = Ax 9 + 2 Bxy + Cy' * 2 Dx + 2 Ey + F.

La fonction u et ses différentielles du premier et du second ordre , savoir,

(16) du = z(Ax -j- By + D)dx -f- 2 {Bx -\-Cy 4" E)dy , et

(17) i/au = z[Adx* + iBAxdy -+- Cdy*) ,

resteront continues pour des valeurs finies quelconques des variables x , y. De plu9 ,

comme d*u sera une quantité constante , d* u , d^u, etc . s’évanouiront. Par

suite, les seules valeurs de x et y qui pourront produire un maximum ou un minimum de la fonction u seront celles que déterminent les équations

(18) Ax -f- By 4- D — o , Bx-\-Cy E — o , savoir,