XXIII.* LEÇON. Développements
de Taylor à ces mêmes fonctions .
NOTE .«r indétermination approximative des racines d’une équation algébrique ou transeen - ^
CALCUL DIFFERENTIEL.
PRELIMINAIRES
Des V ariables , de leurs Limites , et des Quantités infiniment petites. Des F onctions continues et discontinues, explicites ou implicites, simples ou composées, etc. Des Séries convergentes ou divergentes.
Avant d’exposer les principes du calcul différentiel, il est nécessaire d’établir quelques notions préliminaires. Tel est l’objet dont nous allons d’abord nous occuper.
On nomme quantité variable celle que l’on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On appelle au contraire quantité constante toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe , de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra , celle dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones réguliers inscrits, tandis que le nombre de leurs cotés croît de plus en plus; et le rayon vecteur, mené du centre d’une hyperbole 5 uu point de la courbe qui s’éloigne de plus en plus de ce centre , forme avec l’axe des x un angle qui a pour limite l’angle formé par 1 asymptote avec
le même axe, etc . Nous indiquerons la limite vers laquelle converge une variable
donnée par l’abréviation lim. placée devant cette variable.
Souvent les limites vers lesquelles convergent des expressions variables se présentent sous une forme indéterminée , et néanmoins on peut encore fixer , à l’aide de méthodes particulières, les véritables valeurs de ces mêmes limites. Ainsi, par exemple, les limites dont s’approchent indéfiniment les deux expressions variables
PRÉLIMINAIRES-
tandis que « converge vers zéro, se présentent sous les formes indéterminées — ,
, ± 90 . et pourtant ces deux limites ont des valeurs fixes que l’on peut calculer comme il suit.
On a évidemment, pour de très- petites valeurs numériques de' « ,
sina sina sina
siaa a tanga
sina ' sina
Par conséquent le rapport — , toujours compris entre les quantités “^7= 1 »
**na — cos a, dont la première sert de limite à la seconde, aura lui -même 1 unité tanga •
pour limite.
Cherchons maintenant la limite vers laquelle converge l’expression ( 1 + a) » tandis que a s’approche indéfiniment de zéro. Si ton suppose d’abord là quantité « positive et de la forme — , m désignant un nombre entier variable et susceptible d un m
accroissement indéfini , on aura
= ,+T+r7(,-^) + rb(‘-^) (*“£) + -
Comme, dans le second membre de cette dernière formule, les termes qui renferment la quantité m sont tous positifs, et croissent en vaJeurs et en nombre en même temps
que cette quantité, il est clair que l’expression (1 + 7] croîtra elle-même avec le nombre entier m, en demeurant toujours comprise entre les deux sommes
» — — L- — -4- - «4— ■ ■ — -J-" etc.
PRÉLIMINAIRES. 3
donc elle s’approchera indéfiniment, pour des valeurs croissantes de m , d’une certaine limite comprise entre 2 et 3. Celte limite est un nombre qui joue un grand rôle dans le calcul infinitésimal, et qu’on est convenu de désigner par la lettre e. Si Ton prend m = 10000, on trouvera pour valeur approchée de c, en faisant usage des tables de logarithmes décimaux ,
Cette valeur approchée est exacte à un dix-millième près , ainsi que nous le verrons plus tard. . ,
Supposons maintenant que «, toujours positif, ne soit plus de la forme — . Désignons, dans cette hypothèse, par m et n = m - 1- 1 , les deux nombres entiers immédiatement inférieur et supérieur à —, en sorte qu’on ait
li. et v étant des nombres compris entre zéro et l’unité. L’expression (i-f-a)* sera
évidemment renfermée entre les deux suivantes
et, comme, pour des valeurs de a décroissantes à l’infini, ou, ce qui revient au même , pour des valeurs toujours croissantes de m et de n , les deux quantités
^,4. — convergent l’une et l’autre vers la limite e, tandis que
1 -i- — 1 - — s’approchent indéfiniment de la limite 1 , il en résulte que chacune
des expressions
et par suite l’expression intermédiaire (1 a)* convergera encore vers la limite e.
Supposons enfin que a devienne une quantité négative. Si l’on fait, dans cette hypothèse ,
1 + * = 7Tp
4 PRÉLIMINAIRES
p sera une quantité positive, qui convergera elle-même vers zéro, et 1 on trouvera
puis, en passant aux limites ,
(,) lim(i 4"*) =Ç =c-
Les logarithmes , pris dans le système dont la base est e, s’appellent logarithmes Népériens ou hyperboliques. Nous les désignerons par la lettre 1 , tandis que nous emploierons la lettre L, pour indiquer les logarithmes pris dans un autre système dont la base serait un nombre quelconque représenté par A . Cela posé , on aura évidemment le= î ,
Le le i
: ~la ~ \a ~ Va ’
et de plus on tirera de la formule (î)
Uni l-(‘ + a).=Le.
Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable , étant supposées très-petites, décroissent indéfiniment de manière h s’abaisser au-dessous de tout nombre donné , cette variable devient Ce qu’on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de celte espèce a zéro pour limite. Telle est la variable a dans les calculs qui précèdent.
Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable croissent de plus en plus, de manière à s’élever au-dessus de tout nombre donné, on dit que cette variable a pour limite l’infini positif indiqué par le signe oo , s il s agit d une variable positive ; et l’infini négatif indiqué par la notation — oo , s’il s’agit d’une variable négative, lel est le nombre variable m que nous avons employé «i-dessus.
Si le rapport de deux quantités infiniment petites converge vers une limite donnée , tandis que chacune d’dle s’approche de zéro, la limite en question sera ce qu on appelle la dernière raison de ces quantités infiniment petites. Ainsi , par exemple , a étant infiniment petit, l’unité sera la dernière raison de sin« et de a; Le la dernière raison de L(i-j-a) et de a, etc. ...
Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles, que, la valeur de l’une d’elles étant donnée , on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres , on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d entre elles ,
PRÉLIMINAIRES
qui prend alors le nom de variable indépendante ; et les autres quantités, exprimées au moyeu de la variable indépendante , sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.
Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles, que, les valeurs de quelques-unes étant données , on puisse en conclure celles de toutes les autres , on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes ; et les quantités restantes , exprimées au moyen des variables indépendantes , sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables. Les diverses expressions que fournissent l’algèbre et la trigonométrie, lorsqu’elles renferment des variables considérées comme indépendantes, sont autant de fonctions de ces variables. Ainsi, par exemple,
L(a;) , sincc , etc.
9ont des fonctions de la variable x ;
æ+j, x>, xyz, ...
des fonctions des variables x et y , ou x^y et z.; etc....
Lorsque des fonctions d’une ou de plusieurs variables se trouvent , comme dans les .exemples précédents, immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables, elles sont nommées fonctions explicites. Mais lorsqu’on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c’est-à-dire, les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire , tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement, les fonctions, n’étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables, sont appelées fonctions implicites. Pour les rendre explicites , il suffit de résoudre , lorsque cela se peut , les équations qui les déterminent. Par exemple , y étant une fonction implicite de x déterminée par l’équation
si l’on nomme A la base du système de logarithmes que l’on considère ,' la même fonction , devenue explicite par la résolution de l’équation donnée , sera
Lorsqu’on veut désigner une fonction explicite d’une seule variable x , ou de plusieurs variables x, y, s... , sans déterminer la nature de cette fonction , on emploie l’une des notations
PRÉLIMINAIRES-
■ . /(*), F(x), ,(x). zH . ’H*). '(*)• elc"";
Parmi les fonctions d’une seule variable *, il est utile, de distinguer '«‘fonctions que l’on nomme simples. et que l’on considère comme résultant d’une seule operation effectuée sur cette variable, d'avec les fonctions que l’on regarde comme les résultats tle plusieurs opérations et que Ton homme composées. Les fonctions simples que produisent les opérations de l’algèbre et de la trigonométrie [voyez V Analyse algébrique , ch. I.et] peuvent être réduites aux suivantes
a + x, a — xt a.x^ , *% A*, L(x) »
sin x p cos x , arcsina:, arc cos* ,
A désignant un nombre constant. a = ±A une quantité constante, et la lettre L
indiquant un logarithme pris dans le système dont la base est A.
Il est encore essentiel d’observer que, conformément aux conventions établies dans Y Analyse algébrique, nous faisons usage de l’une des notations
arc sin ce , arccos*, arctang*. arc cotx , arc sec*, arc cosec æ ,
pour représenter, non pas un quelconque des arcs dont une certaine ligne trigonométrique est égale à * , mais celui d’entre eux qui a la plus petite valeur numérique , ou , si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires , celui qui a la plus petite valeur positive; en conséquence, arc sinœ. arc cotx, arc cosecx , seront des arcs compr.s
entre les limites - , + {- . et arccosx, areseex, des arcs compris entre
les limites o et tt.
Les fonctions de fonctions sont des fonctions composées qui résultent de plusieurs opérations successives, la première opération étant effectuée sur la variable, et chacune des autres sur le résultat de l’opération précédente. Ainsi , par exemple ,
lsincc, lcosx
sont des fonctions de fonctions dont chacune résulte de deux opérations successives.
Les Inactions composées se distinguent les unes des autres par la nature des opérations qui les produisent, Ilsemble que l’on devrait nommer fonctions algébrique . toutes celle»
PRELIMINAIRES
que fournissent les opérations de l’algèbre; mais on a réservé particulièrement ce nom à celles que l’on forme en n’employant que fes premières opérations algébriques; savoir, l’addition et la soustraction , la multiplication et la division, enfin l’élévation à des puissances fixes; et, dès qu’une fonction renferme des exposants variables ou des logarithmes, elle prend le nom de fonction exponentielle ou logarithmique.
Les fonctions que l’on nomme algébriques se divisent en fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Les fonctions rationnelles sont celles dans lesquelles la variable ne se trouve élevée qu’à des puissances entières. On appelle en particulier fonction entière tout polynôme qui ne renferme que des puissances entières de la variable; par exemple,
a 4- bx 4- ex' + etc. ... ,
et fonction fractionnaire ou fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynômes. Le degré d’une fonction entière de x est l’exposant de la plus haute puissance de x dans cette même fonction. La fonction entière du premier degré; savoir,
a 4- bx
s’appelle aussi fonction linéaire, parce que, dans l’application à la géométrie, on s’en sert pour représenter l’ordonnée d’une ligne droite. Toute ionction entière ou fractionnaire est par cela même ralionolle, et toute autre espèce de fonction algébrique est irra lionnelle.
Les fonctions que produisent les opérations de la trigonométrie sont désignées sous le nom de fonctions trigonométriq ues ou circulaires.
Les divers noms, que l’on vient d’attribuer aux fonctions composées d’une seule variable , s’appliquent également aux fonctions de plusieurs variables , lorsque ces dernières fonctions jouissent, par rapport à chacune des variables qu’elles renferment, des propriétés que supposent les noms dont il s’agit. Ainsi, par exemple, tout polynôme qui Me contiendra que des puissances entières des variables x, y, z, ... sera une fonction entière de ces variables. On appelle degré de cette fonction entière la somme des exposants des variables dans le terme où cette somme est la plus grande. Une fonction entière du premier degré, telle que
a -f- bx + cy + etc. ...»
prend le nom de fonction linéaire*
Souvent, dans le calcul, on se sert de la caractéristique \ pour indiquer les accroissements simultanés de deux variables qui dépendent l’une de l’autre. Gela posé , si la variable y est exprimée en fonction de (a variable x par l’équation
fi PRÉLIMINAIRES.
by, ou l’accroissement de y correspondant à l’accroissement Ax de la variable x , sera déterminé par la formule
Plus généralement , si l’on suppose
(7) F(x.y)=o, on aura
Il est bon d’observer que des équations (5) et (6) réunies on conclut
Soient maintenant h et i deux quantités distinctes , la première finie , la seconde infiniment petite , et « = y le rapport infiniment petit de ces deux quantités. Si l’on
■ attribue à ^ la valeur finie h, la valeur de üy , donnée par l’équation (9), deviendra ce qu’on appelle la différence finie de la fonction /(«) , et sera ordinairement une quantité finie. Si , au contraire , l’on attribue h U une valeur infiniment petite , si l’on fait , par exemple ,
Ax = ,» == * A »
la valeur de by , savoir.
/(x + i) — f{x) ou f{x + ah) —f{x) ,
sera ordinairement une quantité infiniment petite. C’est ce que l’on vérifiera aisément h J’égard des fonctions
Ax , sinx, cosx, auxquelles correspondent les différences
Ax+i — A* == {A1 — 1 )AX ,
sin (x -f- i) — sinx = 2 sin cos [x -f- — j . cos (x + i) — cosse '== — 2 sin ~ sin [x 4*
PRÉLIMINAIRES
dont chacune renferme un facteur Ai — i , ou sin ~ , qui converge indéfiniment avec t vers la limite zéro.
Lorsque, la fonction f{x) admettant une valeur unique et finie pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données , la différence
est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite, on dit que f{x) est fonction continue de la variable x entre les limites dont il s’agit.
On dit encore que la fonction f{x) est , dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable æ, fonction continue de cette variable, toutes les fois qu’elle est continue entre deux limites, même très - rapprochées , qui renferment la valeur en question.
Enfin, lorsqu’une fonction cesse d’être continue dans le voisinage d’une valeur particulière de la variable x, on dit qu’elle devient alors discontinue , et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité. Ainsi, par exemple, il y a solution de
continuité dans la fonction , pour cç = o; dans la fonction tanga; , pour x zt, , k étant un nombre entier quelconque, etc.
D’après ces explications, il sera facile de reconnaître entre quelles limites une fonction donnée de la variable x est continue , par rapport à cette variable. [Voyez, pour de plus amples développements , le chapitre II de 1 ' Analyse algébrique.']
Concevons à présent que l’on construise la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires y = f{x) . Si la fonction f {x) est continue entre les limites oe=x0, xz=. X , à chaque abscisse x comprise entre ces limites correspondra une seule ordonnée; et de plus, x venant h croître d’une quantité infiniment petite \x , y croîtra d’une quantité infiniment petite âj. Par suite, à deux abscisses très-rapprochécs x, x 4- Aæ , correspondront deux points très-rapprochés l’un de loutre, puisque leur distance v/a*1 + Ayv sera elle -même une quantité infiniment petite. Ces conditions ne peuvent être satisfaites qu’autant que les différents points forment une ligne continue entre les limites x = xa , x~ X .
La remarque que nous venons de faire peut être aisément vérifiée sur les courbes représentées par les équations
y = xm, J = . y — Ax.t y = L{x) , y — siox,
Si
PRÉLIMINAIRES
dans lesquelles A désigne une constante positive , et m un nombre entier.
On appelle série une suite indéfinie de quantités
(10) t/0 , w, , u7 , c/3» etc.... r
qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. Ces quantités elles-mêmes sont les différents termes de la série que l’on considère. Soit
Sn = tfo 4- u, 4- U3 + ... + ««-*
la somme des n premiers termes, n désignant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme sn s’approche indéfiniment d’une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s’appellera la somme de la série. Au contraire, si, tandis que n croît indéfiniment , la somme sn ne s’appelle d’aucuue limite fixe , la série sera divergente , et n’aura plus de somme. Dans l’un et l’autre cas , le terme qui correspond à l’indice n , savoir u„ , sera ce qu’on nomme le terme général. Il suffit que l on donne ce terme général en fonction de l’indice n , pour que la série soit complètement déterminée.
11 existe des règles générales à l’aide desquelles on peut reconnaître si une série donnée est convergente ou divergente. Ainsi, par exemple, on parvient sans peine 5 faire voir que la série (îo) est convergente, lorsque, pour des valeurs croissantes du nombre entier n, le rapport
converge vers une limite inférieure à l’unité. [Voyez Y Analyse algébrique , chap. VI].
Une série digne de remarque est celle qu’on obtient, lorsque , dans le développement de l’expression
i - -fele.
on fait converger le nombre entier m vers la limite oo . Cette série, dont les différents termes sont respectivement
reste convergente, quelle que soit la valeur de x, attendu que lo. rapport entre les deux termes
PRÉLIMINAIRES
savojr - décroît sans cesse pour des valeurs croissantes de n. Quant à la somme
de la même série , on l’obtiendra facilement en posant — = a. En effet , on trouvera dans cette hypothèse
puis, l’on en conclura, en faisant converger le nombre m vers la limite ac , et ayant égard à la formule (î) ,
ï)n aura donc
— + etc.
Si , dans cette dernière équation , l’on prend cc = î , on en tirera
etc .
ou , ce qui revient au même ,
* = 2 + o,5 + o, 166666.. . + 0, 04166... + 0, oo833... + o,ooi38... +0,00019.. * + o, 00002.. .+elc... = 2,7182....
En poussant plus loin l’approximation, on trouverait
Telle est la valeur du nombre e , calculée avec dix décimales.
Nous terminerons ces Préliminaires en expliquant cc qu’on doit entendre par des quantités infiniment petites de divers ordres.
Désignons par a un nombre constant , rationnel ou irrationnel ; par t une quantité infiniment petite; et par r un nombre variable. Dans le système de quantités infiniment petites dont i sera la base, une fonction de t représentée par f{i) , sera un infiniment petit de Y ordre a , si la limite du rapport
PRÉLIMINAIRES
est nulle four toutes les valeurs de /• plus petites que a , et infinie pour toutes les valeurs de r plus grandes que a.
Cette définition admise, si l’on désigne par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à l’ordre a de la quantité infiniment petite /(*.)»■ *e ™PPort
sera le premier terme de la progression géométrique
r , m æl
(17) /(•)• Tv ï* * <3
qui cessera d’être une quantité infiniment petite.
Quant au rapport
que IV u déduit de l’expression (.5) en posant r = a, il peut avoir une limite finie , ' ou nulle , ou infinie. Ainsi , par exemple ,
sont trois quantités infiniment petites de l’ordre « , et les quotients qu’on obtient en les divisant par ia , savoir.
ont pour limites respectives
o , et — .
Cela posé, on établira sans peine les propriétés des quantités infiniment petites, et en particulier les différents théorèmes que nous allons énoncer.
Théorème. i.er Si , dans un système quelconque , l’on considère deux quantités infiniment petites d'ordres différents, pendant que ces deux quantités s approcheront in -
PRÉLIMINAIRES. l3
définiment de zéro, celte qui sera d'un ordre plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique.
Démonstration. Concevons que, dans le système dont la base est i, l’on désigne par j — et par J =F(i) deux quantités infiniment petites, la première de
l’ordre a , la seconde de l’ordre b ; et supposons a < b . Si l’on attribue au nombre variable r une valeur comprise entre a et 6 , les deux rapports
ir * ir
auront pour limites respectives, le premier — , tient de ces rapports , ou la fraction
aura une limite nulle. Donc la valeur numérique du numérateur J décroîtra beaucoup plus rapidement que celle du dénominateur / , et cette dernière finira par devenir constamment supérieure à l’autre.
Théorème. 2. Soient a, b, c . les nombres qui indiquent, dans un système
déterminé, les ordres de plusieurs quantités infiniment petites, et a le plus petit de ces nombres. La somme des quantités dont il s'agit sera un infiniment petit de l’ordre a .
Démonstration, Soit toujours i la base du système adopté. Soient de plus / , J, etc. ... les quantités données, la première de l’ordre a, la seconde de l’ordre b, etc. ... Le rapport de la somme I J - {- etc. ... b la quantité /, savoir,
i 4- y -h etc. ...»
aura pour limite l’unité, attendu que les termes Par suite, le produit
(, + f + etc....j — aura la meme limite que le rapport
y , etc... auront des limites nulles.
/+/+etc. ...
le second, zéro; et par suite , le quo-
, 4 PRÉLIMINAIRES
et, puisque ce dernier rapport a une limite nulle ou infinie, suivant qu’on suppose r < n ou r > a , on pourra en dire autant du rapport
1+J+etc. ...
lr
Donc 1 4- J + etc. ... sera une quantité infiniment petite de l’ordre a.
Corollaire. Les raisonnements par lesquels nous venons d’établir le théorème i.*r, montrent évidemment que, pour de très-petites valeurs numériques de la base i, la somme de plusieurs quantités infiniment petites , rangées de manière que leurs ordres .forment une suite croissante, est positive ou négative, suivant que son premier terme est lui-même positif ou négatif.
Théorème o.® Dans un système quelconque , le produit de deux quantités infiniment petites dont les ordres sont désignés par a et par b, est une autre quantité infiniment petite de C ordre a -J- b.
Démonstration. Soient toujours t la base du système que l’on considère , et / , / les quantités données, la première de l’ordre a , la seconde de l’ordre b. Les rapports
ir i *
auront des limites nulles , toutes les fois que l’on supposera r < a , s < b; des limites infinies, toutes les fois que l’on supposera r > a , s > b : et l’on pourra en dire autant du produit
