I J IJ

Il en résulte évidemment que le rapport

îr + s

aura une limite nulle pour r -f- s < a b , et une limite infinie pour r-{-s>a-\-b. Donc le produit IJ sera une quantité infiniment petite de l’ordre a + b .

Nota. Si l’un des facteurs se réduisait à une quantité finie, le produit serait évidemment du même ordre que l’autre facteur.

Corollaire. Dans un système quelconque, le produit de plusieurs quantités infiniment

PRÉLIMINAIRES. l5

pclites dont les ordres sont désignés par a , b , c ... est une autre quantité infiniment petite de l’ordre a -f- b -f- c. ...

Théorème 4* Si trois quantités infiniment petites sont telles que, la première étant prise pour base, la seconde soit de C ordre a, et que, la seconde étant prise pour base, la troisième soit de l'ordre b, celle-ci, dans le système qui a pour base la première, sera d'un ordre équivalent au produit ab.

Démonstration. Soient t , 1 et J les trois quantités données ; en sorte que les deux rapports

77* JS

aient des limites nulles quand on suppose h - la - fois r < a , s < 6 , et des limites infinies quand on suppose à-la-fois r > a , s > b . Il est clair que le produit

aura une limite nulle pour rs <ab , une limite infinie pour rs^>ab; et par suite, que, si l’on prend t pour base, J sera une quantité infiniment petite de l’ordre ab.

Corollaire i.cr Le rapport entre les ordres de deux quantités infiniment petites J et / reste le même, quelle que soit la base du système que l’on adopte, et ce rapport est équivalent au nombre b, qui indique l’ordre de la première quantité, quand on prend pour base la seconde. Donc, si, après avoir déterminé pour une certaine base les ordres de plusieurs quantités infiniment petites, on vient «à changer de base, les nombres qui indiquent ces divers ordres croîtront ou décroîtront tous à-Ialois dans un rapport donné.

Corollaire 2. Si l’on suppose, dans le théorème 4. que la quantité J se réduise à la quantité i, on aura évidemment ab— 1, 6 = --. Donc, si, dan9 le système dont la base est i, la quantité / est un infiniment petit de l’ordre a, t sera de l’ordre ~ dans le système qui aura pour base la quantité J. Ainsi,

par exemple, lorsque I , considéré comme fonction de t, est un infiniment petit du premier ordre , on peut en dire autant de t considéré comme fonction de 1.

Le second corollaire , réuni au premier , entraîne évidement le suivant.

Corollaire 5. Si deux quantités infiniment petites sont telles que, l’une étant prise

ï6 PRÉLIMINAIRES.

pour base , l’autre soit du premier ordre , le nombre qui exprimera l’ordre d’une quantité quelconque restera le même dans les deux systèmes qui auront pour bases les deux quantités données.

PREMIÈRE LEÇON

Objet du Calcul différentiel. Dérivées et différentielles des fonctions d'une seule variable.

x, y, z,.... étant des variables assujetties h vérifier une ou plusieurs équations données, on nomme différentielles de x, de y, d a z,.... et l’on désigne, au moyen de la lettre caractéristique d , par les notations

dx , dy , dz , ...

des quantités dont les rapports sont équivalents aux dernières raisons des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément ces mêmes variables. L’objet du calcul différentiel est de déterminer les rapports des différentielles dx , dy, dz,.... quand on connaît les relations qui existent entre les variables x, y , z , ... ; ou ce

qui revient au même , d’évaluer les dernières raisons des différences infiniment petites A as, \y , As,..., c’est-à-dire des accroissements infiniment petits et simultanés de », y, t....

Concevons, pour fixer les idées, que l’on considère seulement deux variables; savoir, une variable indépendante, et une fonction de x représentée par

Si la fonction f[x) reste continue entre deux limites données de la variable x et si l’on assigne à cette variable une valeur comprise entre les deux limites dont il s’agit, un accroissement infiniment petit, attribué à la variable, produira un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Donc , si l’on pose alors b x — i , les deux termes du rapport aux différences

V ’ hkX

seront des quantités infiniment petites. Mais, tandis que ces deux termes s’approcheront indéfiniment et simultanément de la limite zéro, le rapport lui-même pourra converger

vers une aulre limite, soit positive, soit négative, qui sera la dernière raison des différences infiniment petites A y et Ax. Cette limite, ou cette dernière raison, lorsqu’elle existe , a une valeur déterminée pour chaque valeur particulière de x ; mais elle varie avec x. Ainsi, par exemple, si Ton prend f(x) = xm , m désignant un nombre entier, le rapport entre les différences infiniment petites sera

et il aura pour limite la quantité mxm~'t c’est-à-dire, une nouvelle fonction de la variable x. Il en sera de même en général; seulement, la forme de la fonction nou-

velle qui servira de limite ait rapport

dépendra de la forme de la fonc¬

tion proposée y = f(x). Pour indiquer celte dépendance, on donne à la nouvelle fonction le nom de fonction dérivée, et on la désigne, à l’aide d’un accent, par la notation

y' ou /'(*)•

Cela posé, les différentielles dx , dy de la variable indépendante x cl de la fonc-

tion y — f[x ) seront des quantités tellement choisies, que leur rapport coïncide avec la dernière raison des quantités infiniment petites A y, Ax , c’est-à-dire, avec la limite y' = f\x) du rapport Ces différentielles seront donc liées entre

elles par l’équation

(2) ou (3) dy =y'dx ,

que l’on peut aussi présenter sous l’une des formes

M) (5) df(m) =./'(«) dx.

En vertu de l’équation (») ou (3), la différentielle dy se trouve complètement déterminée, dès qu’on a fixé la forme de la fonction y' = /'(a?), et la valeur de la quantité dx. Quant à celte dernière quantité, qui représente la différentielle de la variable indépendante, elle reste entièrement arbitraire; et on peut la supposer égale à une constante finie h, ou même la considérer comme une quantité infiniment petite.

Il résulte des formules (5) et (5) que la dérivée y' = f'{x) d’une fonction quelconque dy

y = f(x) est précisément égale à — , c’est-à-dire, au rapport entre la différends;

PREMIÈRE LEÇON. 19

tielle de la fonction et celle de la variable, ou, si l’on veut, au cofficient par lequel il faut multiplier la seconde différentielle pour obtenir la première. C’est pour cette raison qu’on donne quelquefois à la fonction dérivée le nom de coefficient différentiel .

Différencier une fonction, c’est trouver sa différentielle. L’opération par laquelle on différencie s’appelle différenciation .

dy ,

Il est facile d’obtenir la fonction dérivée y'z=—, lorsqu on prend po ur y une des fonctions simples

a-\-x, a — cc, ax, — , xa , Ax, L(a:),

sincc, coscc , arcsinæ , arccosce ,

A désignant un nombre constant, a = zizA une quantité constante, et la lettre L indiquant un logarithme calculé dans le système dont la base est A ♦ On trouvera, par exemple ,

Ay ( a+x+i)-(a+x ) dy

pour y — a x , — = — - — - — 1 - L — \, y' = ~ — i ;

pour y — a-

pour y — ax,

pour y — — ,

(<7-a:-i)-Cû-«) __ i

a(x+i)- ax

Ay __

/ dy

y' = -f- = a; J dx

pour = coscc.

Av sin-< / , 1 .\ , dy . f , « \

pour y = sin x , — = — — cos ( cc -j- — t j , y ~~di~ cosx ~ sm • ~) ’

£ =-7f8in [x + T •■) > 7i = - sinæ = cos (* + t)

De plus , en posant A( = i -f- / , et ayant égard à la formule (4) des préliminaires , on trouvera

A y Ax+i-A* A1- 1 ,r I Ax t dï __ A J

pour y = A*. — = - 7 - —A —XÔWT."* ’ 3 -di-ÜÂ'

Enfin , si l’on pose , pour abréger , -î— ~ a , et (i -f- “)" — * — p > l’on aura

pour y-Ltej, I.(«+0-L(*)i= £ = îil

J ' ' \x i i a. X dx X

Ay (x+i)a-xa

pour y = xa , — — - -

r J Aa; 1

{'+irY-‘ (.+«)«-■

II reste à trouver la limite du rapport entre les deux quantités infiniment petites « et p liées entre elles par l’équation

Or , on tirera de cette dernière

D’ailleurs, en vertu de la formule (3) des préliminaires, on aura

V , S désignant des quantités infiniment petites. Par suite , l’équation (6) donnera

et l’on en conclura

En conséquence , on aura définitivement

pour y = xa , y' = — — = aa!*-'.

Si , dans les fonctions Ax et L(æ), on réduisait le nombre A au nombre c— 2, 7182818... , et la lettre caractéristique L à la lettre 1 qui désigne les logarithmes Népériens , on trouverait

pour y = er,

/—~ = cT, J dx

. dy 1

pour y = J (cc) ,

PREMIÈRE LEÇON

Les diverses formules qui précèdent peuvent être renfermées dans le tableau suivant

d(a x) — dx, d{a — x) — — dx, d(ax) r==adx , d(—J:= — n — ; d[xa)~axa~1dx;

dA* = Ax\{A),

dex — e r dx ;

dL(x) = L(,)jg , dl(4=Vi

dsinx — cos xdx = sin — j dx . dcosx~-sioxdx — cos (x-\- ~^jdx.

Comme elles sont établies seulement pour les valeurs réelles dé x auxquelles correspondent des valeurs réelles des fonctions placées à la suite de la lettre d, on doit supposer x positive , dans celles de ces formules qui se rapportent aux fonctions L(æ), 1 (a?) , et même h la fonction xa , lorsque a désigne une fraction de dénominateur pair, ou un nombre irrationnel.

Soit maintenant z une seconde fonction de x, liée à la première y = f[x) par la formule

z ou F[f{x)~) sera ce qu’on appelle une fonction de fonction de la variable x; et, si l’on désigne par bx , Aj, Az , les accroissements infiniment petits et simultanés des trois variables x, y, z, on trouvera

f{x+bx)-f{x) Az __ F(jr+Ajr)-F(jr)

Aa; àx ’ Aj A y

puis, en passant aux limites, et substituant aux dernières raisons des accroissements infiniment petits Aæ , Aj, A z, les rapports des différentielles dx , dy , dz , on obtiendra d’une part l’équation (4) ou (5) , et d’autre part la formule

ri *

(8) ^-—F\y), ou (9.) dz=F'(y)dy ,

ou , ce qui revient au même ,

(io) dF{ÿ) = F(y)dy.

L’équation (îo) est semblable , pour la forme, à l’équation (5) , et fournit le moyeu de différencier une fonction dé y , lors même que y n’est pas la variable indépendante.

2Î CALCUL DIFFÉRENTIEL

Seulement la différentielle dx ou dy. qui , dan* le second membre , sert de coelli cient à la fonction dérivée /'(*) ou F\y) , est . dans l’équation (5) , une quantité constante , et, dans l’équation (8) , une quantité variable égale au produit de Ja constante dx par la fonction /'(*)•

En attribuant successivement aux fonctions y = f{x) et differentes formes ,

on tirera de l’équation (io)

d{a+y) = dy, d[—y)^ — dy, d(ay)=ady. d{j)=~ JT-

dA? = An{A)dy, de’ = e’dy, dL{y) = L(«) y , dl(y)—y,

= d.j-l(y')~f. etc....

d{ax”) ==adxm = maxm— dx. dAD' ^AB° \(A)dB‘ ^AB* B%A)mdx,

dec‘ = e‘X d{t*)=e* e*dx , dc*'=ex' dx' = *xex'dx ,

dsecx = d-

dcoix sin xdx cos3# cos3#

d cosec. x

^ sin#

(/sin# cos xdx siu3# sin3#

rfl sinx =

rfsin#

sin#

Cos#rf# dx

sin# tang# *

dlcosx =-

sin#rf# dx ^

cos# cot.#

La première de ce a formule* prouve que l'addition d'une consente à une fonction n'en attire pas la différentielle, ni par conséquent la dérivée.

On peul encore , Ir l aide de la formule (1©) , déterminer facilement les différentielles des fonctions simples x* , arcsinx, arcosx, en supposant connues celles des fondrons

1 (x) , sin X, cosx. On trouvera en effet

d y dx dy y a,

pour y = xa, l(y) = aHx)> ~y a~x ' dx a # ÜX

pour j = arcsinx , sinj = x, cos ydy-^-dx,

dy 1 *

dx cosj \ZïTx 3

— si ny dy — dx ,

dy __ __ 1 dx sinj

pour y = arcosx, cos y — x.

PREMIÈRE LEÇON

On aura donc

(il) </. arcsina: r

d. arcosa; — ■

On doit, dans les formules (n), supposer la variable x renfermée entre les limite» — j , -j- 1 , afin que les fonctions arcsinæ, arcosa; conservent des valeurs réelles.

Si l’on divise par dx les deux membres de l’équation (9) , on en tirera (12) *'=yF/((y)=s//(*)F/[/(*)]..

Cette dernière formule sert à déterminer la dérivée d’une fondtiôn dé fonction.

Nous remarquerons , en finissant , que les différentielles des fonctions composées se déterminent quelquefois aussi facilement que celles des fonctions simples. Ainsi , par exemple , on trouve

pour y = tanga;

sin# Ay

1 sin (x+i) sina?)

i cos (x+i j côsa;j'

cosx bx

cosx à y 1 l cos (x+i) cosx

pour y = coix = , — = — y rr - : -

1 J siux \x 1 sina;

>s (x+i) * dx cos’a' *

1 1 dr

sirursin(a;+<) * dx ~

sin3# ’

et l’on en conclut pour y — arctanga; ,

pour y = arccot x ,

On aura en conséquence

langy = x ,

cot y = x ,

cos *y djf

= dx ,

=3= dx ,

d tanga; = -

d arctanga? = -

sin*y

d cota; = d arccot x = -

dy , «

— s=s cos* y — -

dx ^ 1+ar2

dy ■ ,

— = -sm>y=-

sm'x

SECONDE LEÇON

La différentielle de la somme de plusieurs fonctions est la somme de leurs différentielles. Conséquences de ce principe. Différentielles des forictions imaginaires.

Dans la leçon précédente , nous avons montré comment l’on forme les dérivées et les différentielles des fonctions d’une seule variable. Nous allons ajouter aux recherches , que nous avons faites à ce sujet, de nouveaux développements.

Soient toujours x la variable indépendante, et \x un accroissement infiniment petit attribué h cette variable. Si l’on désigne par s , u, v , vu... plusieurs fonctions de x, et par As, Au, Av, iiv... les accroissements simultanés qu’elles reçoivent,

tandis que l’on fait croître x de ax, les différentielles ds, du, dv , dw .

seront, d’après leur définition même, respectivement égales aux limites des rapports

A* Art , Au , Air

— dx , — dx , — dx , — dx , etc —

\x Aæ \x A#

Donc, si l’on fait, pour abréger, ^- = x, ces différentielles seront encore équivalentes aux limites des rapports

Cela posé, concevons d’abord que la fonction s soit la somme de toutes les autres , en sorte qu’on ait

(yj s — u -f- v -f- w -f- etc.. ..

On trouvera successivement

As Au Ar Air

— = - ! - 1 - h etc . ,

puis, en passant aux limites,

(2) ds — du dv + dw .

Lorsqu’on divise par dx les deux membres de celle dernière équation , elle devient

etc....

SECONDE LEÇON

aâ»

De la formule (2) ou (5) , comparée à l’équation (1) , il résulte que la différentielle ou la dérivée de la somme de plusieurs fondions est la somme de leurs différentielles ou de leurs dérivées. De ce principe découlent, comme on va le voir, de nombreuses conséquences.

Premièrement , si l’on désigne par m un nombre entier , el par a, b, c... p, (f , r , des quantités constantes , on trouvera

(4) d (u v) — du dv , d{u — v)=du — dv , d{au -f- bv) = a du 4- bdv ;

(**) d{au~{~bv-{-cw-\-...)=zadu-\-bdv-{- cdtv -f- ... î

j d{axm 4- bxm~l -f- cxm~a -f . -fpæ* -f- qx-\- r)

— [max"‘ ~ 1 4- (m — i)bxm~a -J- (m — 2 )cxm~i 4- ... + zpx 4- 7] dx .

Le Polynôme a*" 4. bxm-' 4. o*-— + ••• + px* + qx 4. r, dont tous les termes sont proportionnels à des puissances entières de la variable x , est ce qu’on nomme une fonction entière de cette variable. Si on le désigne par « , on aura , en vertu de l’équation (6) ,

s =maxm -j- (m — a)bxm~* -f (m — . 2) cxm~l -f ... -f zpx + q .

Donc, pour obtenir la dérivée d'une fonction entière de x, il suffit de multiplier chaque terme par l exposant de la variable , et de diminuer chaque exposant d'une unité. 11 est aisé de voir que cette proposition subsiste dans le cas où la variable devient imaginaire.

Soit maintenant

(7) s=uvw....

Comme on aura, en supposant les fonctions u, v , w toutes positives

et, dans tous les cas possibles , s*~uavawa...

ds ^ , dv dm

y ~ U “t'V + ^T + elc--- >

^ CALCUL DIFFËRENTIEJ

1 applica.ion du principe énoncé * U formule (8) ou à la formule (9) fournira (10)

laquelle on conclura

-(««t»...) = ^ 4-£î + lf + j

= vw... d u — |— Uiv , dv 4- UV ... dv 4- ...

Exempla- “<"•>="*’+.««. -ci uij~vwdu+uwdv+uvd^

d.œl(x) = [, +l(x)]dx, d(x‘;-')=x*c-‘(jL.-.,\

Soit encore X

différenciant l(a) ou i.| (,,}> on Cuvera

(i3) ^__dv

et par tuile

etc.

ds=~

vdu - udv

On arriverait au même résultat, en observant que la différentielle de - est éuui valente à -(«. da+Md^j- '* ü£f

Exemples, d tanga = d SIP* cosaré/sioÆ-sin^rfcosa;

rfcot*==~£f- cos ^ siu * x

bdx

[a+xy

d[x) - X- > rf(-V) = Ç(“-^)-a;, di|I=J^Irfa!>rf/

es onctions «, c se réduisent à des fonctions entières, le rapport JL de

0n “**“ **- Après avoir formé les différentielles du produit et du ^ V „

u., J. etc.

SECONDE LEÇON

. ds du

pour I(î)=d(tt), — ~—v'~ + 1 [u)dv, ds = v « — ’ du + u’l(«) dv ;

1 » / x 1 , , , ds du dv , i-i du 1 dv

pour i = «\ I(«) = -l(«), y = — —!(«)— . ds — w ' - w’l(w)— ,

pour g = u,w, l(s) ==v*l(u), ds = u¥Wvw jy + (a).l(t>). dw\ ;

Exemples, d (æ1) = œJ[i -4- I (*)] dx , d(xx) —• — -~-xrdx, d.x* =etc....

Nous terminerons cette leçon en recherchant la différentielle d’une fonction imaginaire. On nomme ainsi toute expression qui peut être ramenée à la forme u v u et v désignant deux fonctions réelles. Cela posé , si l’on appelle limite d’une expression imaginaire variable , ce que devient cette expression quand on y remplace la partie réelle et le coefficient de y/TT par leurs limites respectives, et si, de plus, on étend aux fonctions imaginaires les définitions que nous avons données, pour les différences , les différentielles et les dérivées des fonctions réelles, on reconnaîtra que l’équation

s — u -f- v y/TT

entraîne les suivantes

V bx bx^ *XV ' ’ a a ^ a V ' ’

s = u' -f- v'y/TT , ds — du -f" dvy/TT .

On aura en conséquence

(i5) d{u -J- vy/TT) = du + dvy/TT .

La forme de celle dernière équation est semblable it celle des équations (4). Si l’on suppose en particulier

on trouvera

s = cos ce -f- y/TT sinx ,

ds =

b + -~j -+■ [/~ sin + ~j dx = sy/TTdx

Ajoutons que les formules (4) » (5) , (6), (n) et (i4) subsisteront lors même que les constantes a, b, c, ... p, q, r, ou les fonctions u, v, vu ... , comprises dans ces formules, deviendront imaginaires.

Différentielles et Dérivées des divers ordres pour les Fonctions d'une seule variable. Changement de la Fariable indépendante.

Comme les fonctions d’une seule variable a: ont ordinairement pour dérivées d’autres fonctions de cette variable , il est clair que d’une fonction donnée y — f[x) on pourra déduire en général une multitude de fonctions nouvelles dont chacune sera la dérivée de la précédente. Ces fonctions nouvelles sont ce qu’on nomme les dérivées des divers ordres de y ou f(x) , et on les indique h l’aide des notations

y'\ y°> y"'» y yT , ... yw,

ou /»- /'(*)> /*«;. /-(«). /•(«). ... /<*«.’.

Cela posé , y' ou /'(x) sera la dérivée du premier ordre de la fonction proposée J = /(a-) : v" ou /"(x) sera la dérivée du second ordre de j, et en même temps la dérivée du premier ordre de 7'; etc....; enfin 7<”> ou /<' ■>(*) [«désignant un nombre entier quelconque] sera la dérivée do l’ordre n de 7, et en mémo temps la dérivée du premier ordre de y^n~ ,J.

Soit maintenant dx = li la différentielle de la variable x supposée indépendante. On aura, d’après ce qu’on vient de dire.

ou , ce qui revient au même ,

dy n — 0 dx

(2) dy ~y'. h , dy'=y".h, dy°=y"'.h,... dy™ O. /,.

De plus , comme la différentielle d’une fonction de la variable x est une autre fonction de cette variable , rien n empêche de différencier y plusieurs fois de suite. On obtiendra de celte manière les différentielles des divers ordres de la fonction y, savoir :

dy=/k=/dx, ddy=h.dy'=y-h-=y‘dx-, dddy=h-dy"=y'"h>=y"dx\ etc.

Pour abréger, on écrit simplement d-y aulieude ddy, d'y au lieu de dddy,

TROISIÈME LEÇON. .ig

etc. ; en sorte que la différentielle du premier ordre est représentée par dy , la différentielle du second ordre par d'y, celle du troisième ordre par d*y, etc., et généralement la différentielle de l’ordre n par dy. Ces conventions étant admises, on aura évidemment

(3) dy =y'dx , d*y=y"di x\ d*y=y"'dx 3, (Hy=yt'dx*, ... dny =y^dst», et par suite

dx J dx* ’ * dx 3 * J dx*”"

Il résulte de la dernière des formules (3) que la dérivée de l’ordre n , savoir y\*> est précisément le coefficient par lequel il faut multiplier la «™ puissance de là constante li = dx pour obtenir la différentielle de l’ordre n. C’est pour cette raison que y est quelquefois appelée le coefficient différentiel de C ordre n.

Les méthodes par lesquelles on détermine les différentielles et les dérivées du premier ordre pour les fonctions d’une seule variable , servent également à calculer leurs différentielles et leurs dérivées des ordres supérieurs. Les calculs de cette espèce s’effectuent très-facilement , ainsi qu’on va le montrer par des exemples.

Soit d’abord j^sinx. Comme , en désignant par a une quantité constante on a généralement rfsin (* + «)= cos [x + a) d [x + a) = sin [x + a + i „) dx on en conclura ’ 7

ds\nx sin (x + \k) dx , rfsîn (* + :*)= sin (x + 7r)dx, dsia (x+tt) = sin [x + in) dx.... , et par suite on trouvera

pour r=Smx, r'=sin(x+;,r), r"=sin(x + *), /" = sin (x+ » , ,W=sm(x + ».

En opérant de même , on trouvera encore

pour ^=cosx, r'=cos(x + ;*), /'j=cos(x+*), >"'=cos(x+», ... — co8(x+;x);

pour y=A‘, y'=A'(\A), y"=A-(\A)\ y’" =A'(\A)' , ... yto=A'(\A)" ■

pour /=«*—, = JJG

Il est essentiel d observer que chacune des expressions sin (x -j- ; n-r) , cos (x | 1 n.) admet seulement quatre valeurs distinctes qui se reproduisent périodiquement et loi.jours dans le même ordre. Ces quatre valeurs, dont on obtient la première, la seconde, la troisième ou la quatrième , suivant que le nombre entier n , divisé par 4 , donne pour

3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

reste, o, i, 2 ou 3, sont respectivement since, coscc , — sincc , — coscc , pour l’expression sin (ce -f- i n n) » et coscc, — sina?, — coscc, sincc, pour l’expression cos(£c -f. \nv) . De plus , si , dans les fonctions A* , xa , on remplace la lettre A par le nombre e qui sert de base aux logarithmes Népériens , et la quantité a par le nombre entier n , on reconnaîtra que les dérivées successives de ex sont toutes égales à e* » tandis que, pour la fonction ce", la dérivée de l’ordre n se réduit à la quantité constante 1,2.3... n, et les suivantes à zéro.

En substituant- les différentielles aux dérivées , oij tirera des formules que nous venons d’établir

dn$mx = tl\n(x+'-nT:)dxn , dnco$xz=:cos(x+'-nv:)dxn , dnAx = Ax(\A)ndxn , dnex = exdx, dn{xa) = a(a-i)...(a~n+i)xa~~ndxn , dn{xn) = 1.2.3... n.dxn,

cM(cc) z=dx.dn~'{x~l) = (?— \Y~' "--dcc", etc....

Considérons encore les deux fonctions J\x-\-a) et f(ax). On trouvera pour /=/'(a;+a), y° == f'(x+a)>... j «==/(«>(*+«), dny?±fW(z+a)dxni

pour y=f[ax)1 y' —af [ax), yn.=za*fu(az),... y^=anf^n‘>(ax)y dny=an f<-n>(ax)dxn, Exemples. dn{x + a)n = i.ü.z>,.,n.dxn , dneax = aneaxdx* , dnsinax = etc....

Soient maintenant y = f(æ) et s deux fonctions de as liées par l’équation

Eu différenciant cette équation plusieurs fois de suite , on trouvera (G) dz=F'(y)dy, d*z=:Fa(y)dj'+F' {y)d%y, d*z=F"'(y)d&+ZFa(y)dydty+F'(j)diy,etç. Exemples . dn(a\y) = dny , dn( — y)= — dny, dn[ay) = adny f dn[axn) = i.a.5 ..n.flrfar", dey — eydy , d* e* — ey{dy* + d*y) d*ey z= ey(dy* + Zdy d*y + d*y) , etc.

Si la variable x cessait d’être indépendante , l’équation

étant différenciée plusieurs fois de suite, donnerait naissance à de nouvelles formule* parfaitement semblables aux équations (6), savoir :

(8.) dy— f'[x)dx, d*yz=± fp{x)dx^^f,{x)dixy dly= :f"'[x)dxi+’5 f'(x)dxd'x+ f'(x)dix, etc.

On tire de celles-ci

dxd^-dyd^x = ±.l±\ J dx3 dx \ dx)

dx(dxd*y- dyd}x) -

•)-'5d*x(dxd*y-dyd*x) 1 dxd'y-dyd'xX dx i dx \ dx s ) *

Pour revenir au cas où x est variable indépendante, il suffirait de supposer la diffé rcnliélle dx constante, et par suite d*x = o , d3x = o, etc..... Alors les formules (9) deviendraient

c est-à-dire qu’elles se réduiraient aux équations (4). De ces dernières, comparées aux équations (9) , il résulte que, si l’on exprime les dérivées successives de f{x) à l’aide des différentielles des variables x et y = f(x), i.° dans le cas où la variable x

est supposée indépendante.; a.° dans le cas où elle cesse de l’être , la dérivée du premier ordre sera la seule dont l’expression reste la même dans les deux hypothèses. Ajoutons que , pour passer du premier cas au second , il faudra remplacer

d*y dxd'y-dyd'x d*y dx{dxd*y - dyd* x) -"bd* xidxd'y - dyd' x)

dx * P dx 3 ’ dx 3 Par dx* J 1 etc....

C’est par des substitutions de celte nature qu’on peut, opérer un changement de variable indépendante.

Parmi les fonctions composées d’une seule variable , il en est dont les différentielles successives se présentent sous une forme très-simple. Concevons , par exemple , que l’on désigne par u,v, w... diverses fonctions de x. En différenciant n lois chacune des fonctions composées

u-f-v, u — v, u- f-vi/rf, au -f- bv -f- cw -f- • • » on trouvera ( 1 1 ) dn{u-\-v) = dnu-\-dnv, dn(u—v) = dnu—dnv, dn[u-\-v\/~)~dnii-\-dnv\/~r

(12) dn[au -J- bv -f - cm -{- ...) = adnu bdnv cdnw ....

11 suit de la formule (>2) que la différentielle dny de la fonction entière ÿ — (txm -}- bxni~' + cxm~7 -|- ... -f- px* -J- qx -f- »'

se réduit , pour n = m, à la quantité constante 1.2.5... m. a. dxm , et pour n>iu,

& zéro.

Après avoir appris à former les dérivées et les différentielles des fonctions d’une seule variable, il nous reste à montrer l’usage qu’on peut en faire, et leurs principales propriétés. Dans ce dessein , nous commencerons par faire connaître diverses relations qui existent entre les dérivées des divers ordres et les fonctions elles- mêmes supposées réelles. Ces relations se trouvent exprimées dans les théorèmes que nous allons énoncer.

i . " Théorème. Im, fonction y = f{x) , étant supposée réelle et continue par rapport à la variable x dans le voisinage de la valeur particulière x — xot croîtra ou décroîtra en même temps 7 ne cette variable , à partir de la valeur x = xot si la valeur

lly

correspondante de la fonction dérivée y' — ^ est positive et finie. Mais, si celte

dernière valeur est finie et négative , la fonction y décroîtra pour des valeurs croissantes de la variable x , et croîtra pour des valeurs décroissantes de la même variable.

Démonstration. Soient \x , \y les accroissements infiniment petits et simultanés des

variables x , y. Le rapport

aura pour limite — :

On doit en con¬

clure que, pour de très-petites valeurs numériques de *x, et pour une valeur parti-

culière x0 de la variable x , le rapport — sera positif, si la valeur correspon¬

dante de y' est une quantité positive et finie; négatif, si cette valeur de y' est une quantité finie , mais négative. Dans le premier cas , les différences infiniment petites ^x , A y étant de même signe, la fonction y croîtra ou diminuera, à partir de jp — xot en même temps que la variable x. Dans le second cas, les différences infiniment petites étant de signes contraires , la fonction y croîtra, si la variable x

diminue , et décroîtra si la variable augmente,

Corollaire ier. Concevons que la fonction y — f{po) ’ demeure continue entre deux limites données x~xa,x~X. Si l’on fait croître la variable x par degrés insensibles depuis la première limite jusqu’à la seconde , la fonction y ira en croissant

toutes les fois que sa dérivée étant finie aura une valeur positive , et en décroissant toutes les fois que cette même dérivée obtiendra une valeur négative. Donc la fonction y ne pourra cesser de croître pour diminuer , ou de diminuer pour croître , qu’autant que la dérivée y' passera du positif au négatif, ou réciproquement. Il est essentiel d’observer que, dans ce passage, la fonction dérivée deviendra nulle, si elle ne cesse pas d’être continue.

Corollaire 2. Concevons que la fonction y = f(x) s’évanouisse pour la valeur particulière x = x0, et demeure continue dans le voisinage de cette valeur. Si la valeur correspondante de la dérivée y' = f{&) est finie et positive, alors , en supposant x très-peu différent de x0, on aura

f (x) > 0 pour cc>cc0, et f(x) <0 pour æ<a?0-

Au contraire, si la valeur de y' est finie et négative, on aura

f{x)< o pour x > x0 , et f{x) > o pour x < x0.

2.* Théorème. Soient f(a?) et F(cc) deux fonctions réelles qui s' évanouissent pour x = x0, et qui restent continues entre les limites x = x„ , x = X. Supposons d'ailleurs que la fonction dérivée F'(æ) ne change pas de signe entre les limites dont il s'agit. Si l'on nomme A la plus petite , et B la plus grande des valeurs que reçoit dans cet intervalle le rapport

la fraction

sera elle-même comprise entre les deux limites A et B.

Démonstration. Puisqu’on aura par hypothèse , pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites x0 , X ,

et que la fonction dérivée F'(œ) ne changera pas de signe entre ces limites , on peut affirmer que, dans cet intervalle, l’un des produits

r(æ)ÎFw^î = r(a!)/4F'(a,)’

BV'{x)

sera constamment positif, l’autre négatif. D’ailleurs ces produits sont respectivement égaux aux dérivées des fonctions

f(*) — AF(x) , f(*) — BY{x).

Donc , en vertu de ce qui a été dit ci-dessus [t.er théorème , corollaire i.er] , l’une de ces fonctions sera toujours croissante , l’autre toujours décroissante depuis x = x0 jusqu’à x—X. Donc, puisqu’elles s’évanouissent simultanément pour x = x0, les valeurs qu’elles recevront pour x = X , savoir :

f(X) — AF(X) , î(X) — BF(X)

seront des quantités de signes contraires , et l’on pourra en dire autant des quotients que fournissent les mêmes valeurs divisées par F(^T) , c’est-à-dire, des différences

qx)

nx)

sera comprise entre A cl JB .

Donc la fraction

Corollaire i .« Si les fonctions dérivées f'(x) , F'(æ) sont elles-mêmes continues entre les limites x = x0 , x — X; tandisqu’on passera d’une limite à l’autre , le rapport

variera de manière à rester toujours compris entre les deux valeurs A , Bt et

à prendre successivement toutes les valeurs intermediaires. Donc alors , toute quantité

moyenne entre A et B, par exemple, la fraction -^y sera une valeur du rapport f[früL correspondante à une valeur 5 de x renfermée entre les limites x0 , X ;

ensortc qu’on aura

Si l’on fait, pour plus de commodité, X = x0 + h, la quantité Ç sera de la forme x0 4- ht » ht désignant une quantité de même signe que h , mais d’une valeur numérique moindre; et l’équation (î) deviendra

En d'autres termes, si l’on représente par 0 un nombre inférieur à 1 unité, on pourra choisir ce nombre de manière à vérifier la formule

QUATRIÈME LEÇÔN. 35

f(a o + h) __ f'{x0 +Qh)

F'Oro+ôA) *

Corollaire 2.® Si les fonctions

s’évanouissaient toutes pour x

= x0 , et demeuraient continues , aussi bien que f^(œ)

et F(">(a;), entre les limites des fonctions dérivées

x __ Xo p. h ; alors , en supposant chacune

toujours positive ou toujours négative depuis la première limite jusqu à la seconde , et désignant par h, , Aa , ... /t„ des quantités de même signe , mais dont les valeurs numériques seraient de plus en plus petites, on obtiendrait avec 1 équation (2) une suite d’équations semblables dont la réunion composerait la formule

f(a?0 + A) f'(x0+A,) __ r(x0 + Aa) __ tMjxo+hn)

'6' F(«o + /0 F'(a?0+/*.) F"(x0+h,) *" FW(®,+ A,)

Si, dans la formule (C) , on se contente d’égaler la première fraction à la dernière, l’équation à laquelle on parviendra pourra s’écrire comme il suit

9 étant toujours un nombre inférieur à l’unité.

Corollaire 5 .* Lorsqu’on pose , dans la formule (3), x„ = 0 , F(x) = x , on eu lire

De même , lorsque dans la formule (7) on pose x» = o , F(x) = x", on Irouvc

hn 1.2.3. ..n

et par suite

En conséquence , on peut énoncer les deux propositions suivantes.

3, * Théorème. Lorsque la fonction f(a?) syèvanouit avec la variable x, et demeure continue , ainsi que la dérivée i\x) , depuis x — o jusqu'à x = h, il existe entre les limites o et 1 une valeur de 0 propre à vérifier l'équation

(10) ' f(/t) = /if'(0A)