AU
ces différents termes deviendront respectivement
(142) ke , ke* , ke*, ks 8, etc.
Concevons maintenant que le nombre e ne surpasse pas une unité décimale de l’ordre n , en sorte qu’on ait
(.43) ‘AiÏ-
Si l#on suppose d’ailleurs
m désignant un nombre entier quelconque, les termes de la série (142) ne surpasse-
DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES. a8f>
ront pas ceux de la série (28). Donc, parmi les chiffres qui, dans la partie réelle d’une valeur approchée ou dans le coefficient de yTT suivront les unités de l’ordre m , si l’on a
ou les unités décimales de l’ordre m , si l’on a
(146) tc<{io)m,
le nombre de ceux sur lesquels on pourra compter sera égal à n pour la première valeur approchée, h 2 n pour la seconde , à 4» pour la troisième, etc.... Donc ce nombre sera doublé à chaque opération nouvelle.
Corollaire 2.* Comme on tire de la formule (139)
il est clair que le produit 4-#P sera inférieur à A , si 1 on a
Pour montrer une application des méthodes que nous venons d’exposer, prenons d’abord
en sorte que l’équation (1) se réduise à
(149) cb5 -4“ 10® — 1—0*
D’après ce qui a été démontré dans V Analyse algébrique [page 5 19], l’équation 04g) n’aura point de racines négatives , mais une seule racine positive et quatre racines imaginaires , attendu que le premier membre pourra être à volonté considéré comme offrant ou cinq variations de signe , ou une seule variation et quatre permanences de signe. De plus , si l’on désigne par r le module de l’inconnue x , celui de
xs = 1 — 10£C, ' /
ou r5, devra être, d’après le lemme 2, inférieur h la somme 1 4- lor; et par conséquent on aura, pour chacune des racines,
NOTE SUR LA RÉSOLUTION
(i5o) »*5 < i -f" ior , r*< — 4-10.
Donc le module de chaque racine sera iuférieur au nombre 2 , puisqu’on ne peut supposer r > 2 , sans avoir en même temps
D’ailleurs, si, dans l’équation (149) , on remplace le dernier terme par zéro, et la lettre x par la lettre a , la nouvelle équation que l’on obtiendra , savoir,
se décomposera en deux autres
(i5a) a = o, (i53) a*4-io = o ou a$ = — 10,
dont la seconde sera vérifiée par les quatre valeurs de a comprises dans la formule
Cela posé , faisons
la valeur de i étant déterminée par l’équation
v ' f\a) 5<i4 + io 5a4+io
Comme, en prenant i.° <1 = 0 , 2.0 a* = — - 10, on tirera successivement de celte
même équation
on conclura du lemme 2 que, pour un module de r inférieur à celui de t, le module de x restera compris entre les limites
(167) 0 et 0,2 ,
si l’on a a = o , et entre les limites
( 1 58) (10) ■ —o,o5 = 1,72827... , (io) * 4- o,o5 = t ,82827...
si l’on a a4 = — 10. Donc alors , pour que le module de /'(*) = oa?4 -f“ 10 reste supérieur au nombre A , et le module de f"{x) = 20X3 inférieur au nombre B , il suffira de prendre , dans le premier cas ,
et , dans le second cas ,
(161) A = 3(i, 72827.. )4— io = 34, 609*-’ (»6a) ^ = 2o( 1 ,828*7..)*= iaa,22...‘
Or , si l’on adopte les valeurs précédentes de A et B , on tirera i.° de la formule (21) , en supposant a = o, p = i = o,i.
â.* de la formule ( 1 39) , en supposant a4 = — to, p = — » =*0,025 ,
fo,orz5)(ia2,a2...)t/a - g„, <
D’ailleurs les valeurs de s fournies par les équations (i63), (164) vérifient évidemment les conditions (33) et (147). Donc, en vertu des théorèmes 3 et 8, l’équation (149) admettra une racine réelle, positive, mais inférieure à 0,2 , et quatre racines imaginaires comprises dans la formule
( 1 65) x = — o,oa5 ± (A) : ± (I) V" -f * .
le module de s devant être , pour chacune de ces racines , inférieur à 0,020. De
plus , si l’on désigne par a , 6 , c , d , . les valeurs approchées successives d’une
racine de l’équation (149), déduites i.° de la formule (i5a) ou (1 54) , 2.0 de la formule (8) , les erreurs que l’on pourra commettre en remplaçant celte racine par a , b , c , d , .. ne surpasseront pas les différents termes de la série (23) ou (i4°) » inférieurs eux-mêmes aux nombres
(16G) 0,2; 0,0002; 0,0000000002; 0,0000000000000000000002; etc.,
s’il s’agit de la racine réelle; et aux nombres
(167) o,o5 ; o,oo5 ; o,oooo5 ; 0,000000000; etc.,
288 note sur la. résolution
s’il s’agit des racines imaginaires. Par conséquent une opération nouvelle» ou deux au plus, fourniront pour chaque racine une valeur approchée qui renfermera huit ou neuf décimales exactes. Ainsi, par exemple, les deux premières valeurs approchées de la racine réelle, savoir, cc = o , x — 0,1 , seront suivies d’une troisième
(:««) as = °’,--5(ê^T7 =°.»999990o°o5...
qui renfermera neuf et même dix décimales exactes. De plus , aux valeurs approchées des racines imaginaires , données par l’équation
(169) a! = — ,o,o25=fc^)4i (—) V" =f~°»°25 ± i,257433...(i±: v/^T) >
ou , ce qui revient au même , par les deux formules
(,7o) x= ï, a3a433,. .dt(i, 257433.. œ = — 1,282433 ±(1,257433. -Oi/T,
succéderont, après une ou deux opérations nouvelles, des valeurs plus approchées, savoir,
(171) £c= 1, 23 181 5... ± (i,258io5...) i/m , * = -1, 281813... db (i,258oo7...)v/^ ,
ou
et les deux dernières offriront huit décimales exactes.
Soit maintenant
en sorte que l’équation (1) se réduise à
( 1 74) ex x = o .
Alors, en prenant pour a la valeur de x fournie par l’équation ( 1 25) de la page i85, c’est-à-dire, en posant
(175) a = o, 3i8i -f- (1,3572) 1/“ , on tirera de la formule (8)
On aura donc, en désignant par p le module de i ,
DES ÉQUATIONS ALGEBRIQUES OU TRANSCEDANTES. 1S9
D’ailleurs , si Ton fait
(,,) x = « + t + * = 0,îi8i517... + (i,3Ï7»357-)V/“ + -- .
il est clair que , pour un module de 2 , inférieur à celui de 1 , la partie réelle de la variable x restera comprise entre les limites
o,5i8.5i7.. — o, 0000477 = °>3,8o840" , o,5i8iî.7.. +0,0000477 = 0.5.81794...
Donc alors, pour que le module de f\x) = c‘- 1 reste supérieur au nombre A,
et le module de f"{x) = ex inférieur au nombre B , il suffira de prendre
D’autre part, si l’on adopte les valeurs précédentes de P , A el B , on tirera de la formule ( 1 39)
fi.5746a...)fo,oooo477-)t/7__ . ,
Or la valeur précédente de « vérifie évidemment la condition (147)- Donc, en vertu du théorème 8, l’équation (174) admettra une racine imaginaire de la forme
le module de a étant inférieur à 0,0000477-- Ajoutons que , si l’on nomme a, b , c , d,... les diverses valeurs approchées de cette racine déduites les unes des autres à l’aide de la formule (8) , les différences entre la racine cherchée et ses valeurs ap prochées ne surpasseront pas les différents termes de la série (i4«) ou
(181) 0,00095...; 0,000000011...; 0,00000000000018...; etc .
