CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES
Multiplions les deux membres de la relation
par dudv ; elle peut s'écrire sous une forme plus abré£;"ée
(17) 2 «/ft {dxf^JCh — d^ck^xi) = ^ 6/A idyfiyh — dt/k^yi),
en posant
f/x, = ^^ du, oxi = — - 8y, di/i = -^ du. Su, ^ ^^ Sy.
Du ' Dy ' ^ Du ' ^ Dt-
Remarquous que l'on a toujours, pour les deux systèmes de ditïérentielles,
idxi = ~dy^-\- ... + ^- dyn, àxi = ~6y,-^ ... +--ôy«, '■ifi '■y>i
et l'on passe du premier membre de l'identité (17) au second membre eu remplaçant dans ce premier membre les variables ■x^. Xj, ..., Xn et les deux systèmes de dififérentielles dxt, 5j?/ par leure expressions au moyen des variables yi, et des deux systèmes correspondants de différentielles dyi, hyi, qui se déduisent des formules de transformation par lesquelles on passe de la première forme ZXidxi de oj à la seconde forme iYjrfy,.
Le premier membre de l'identité (17) est appelé le covariant bilinéaire (*) de la forme w, dénomination qui se justifie d'ellemême. On représente ce covariant par w',
( ïQ) *^' = 2 "'*^ {dxi^Xk — dxk^Xi),
notation qui sera justifiée plus tard. Remarquons que, pour former ce covariant w'j il est inutile de calculer séparément tous les coefficients o/a-. Il est en général préférable de se servir de l'expression symbolique
(') LiPscHiTz (Journal de Crelle, t. LXX, p. 78).
G. Prob. 9
ui{d) étant identique à w, et w(8) désignant ce que devient w (rf) quand on y remplace d par 8 ; on doit en outre tenir compte, dans le calcul, de l'identité ^dxi z=dùXi.
Remarques. — i" Lorsque la forme w est une différentielle totale exacte, tous les coefficients auc sont nuls, et w' se réduit à zéro. Inversement toute forme de Pfafï dont le covariant bilinéaire est identiquement nul est une différentielle totale exacte ;
2° Quand on multiplie la forme w par un facteur constant G, w' est m.ultiplié par le même facteur, mais il n'en est plus de même quand on multiplie oj par une fonction de x^, . . ., Xn. Soit a = k (ic^, X2, ..., Xn)(^ ; on a
Q.' = hi{d)—dLi{^) = 5k.oy{d) + A:8w(t/) — ^A:.w(8)— Â:c^w(3),
ou
£i' = k(x}' + u}(d)^k — oi{^)dk.
D'une façon générale, soient m^, w^ deux formes quelconques de Pfaff :
0)^= A^dx^ 4- ... + AndXn , ^2= B^dx^ + ... + BndXn ',
on représente par [w^, w^] la forme bilinéaire [A^dx^ -4- ... + Andxn\[B^^x^ + ... + B«8a?n]
— [A^8Xi + ... 4- An^Xn][B^dx^ -f ... + BndXn]
= 2 (A?Byt — Aa-B/) {dxihxk — dxk^Xi) .
Avec cette notation, le covariant bilinéaire de la forme kta a pour
expression
(/cw)' = /fo)' + [w, dk].
D'après leur définition même, les coefficients atk vérifient, comme on s'en assure aisément, les relations
(20) aik^ak, = o, —-+—- + ^--=0,
pour toutes les combinaisons d'indices. Inversement, si n^ /onctions atk des variables x^, x^, •••, ^« vérifient les relations (20), la forme bilinéaire
Z t ciikdxihxk, i,k
