Covariant bilinéaire. — Soient V Xidxi et V Y/rfy,- deux

expressions d'une même forme de PfafiF w au moyen de deux systèmes de variables diCFérentes ; nous supposerons, pour fixer les idées, que les variables Xi s'expriment au moyen des variables yi par les formules (6). Si, dans l'identité

y^Xida^i = y^Yidyi,

on remplace y^, .... yn par des fonctions de deux paramètres variables indépendants u et v, x^, x^, .... Xn sont aussi des fonctions de ces paramètres, et, en égalant les coefficients de du et de du dans les deux membres, on a les deux relations

3^ Dx. x„?^'= Y,^+ ... + Y„^,

Y ^^* -^ Y '''^2 L i- Y ^^« — Y ^y* 4- 4- Y '^y» 7>v do 3o Jo Do

(•) Ces nouvelles méthodes ont été employées simultanément par G. Frobr— mus : Ueber das Pfaffs'sche Problem. Joarnal de Crelle, l. LXXXll {iS-j-]\,Y>p. aSo- 3i5, et par G. Darbocx : Sur le problème de Pfaff. Bulletin des Sciences mathématiques, 2* série, t. VI (1882), pp. i4-36, 49-68.

DlfFérentions la première par rapport à t», la seconde par rapport à M, et retranchons membre à membre ; les dérivées du second ordre disparaissent, et on aboutit à une nouvelle relation où ne figurent que les variables xi, i/k, et leurs dérivées du premier ordre par rapport aux paramètres :

^) î>y, Dy '" Dy,i Dy ( du ^ ) dy^ du '" di/,, du i dv '

Le premier membre de cette relation renferme deux termes

dxi dxh j 4 1 ft: • + + «^X/ , dXh

en dont les coemcients sont et ; ce premier

du dv dXk dxi *

membre est donc égal à

^ait

dXi dXk

du dv i, k

le coefficient aïk ayant la même signification que plus haut, (lo) aih=- :; — ,

^ ' dXk dXi

et la sommation étant étendue à tous les arrangements deux à deux des indices /, k. En tenant compte de l'égalité aih + dhi = o, on peut encore écrire ce premier membre

V' / dXi dXk ^Xi dXk\

j^ \du dv dv du J

la sommation étant maintenant étendue à toutes les combinaisons deux à deux des indices /, Ar. Nous conserverons cette écriture dans la suite. Le second membre de la relation obtenue a une expression analogue : , ;

y bih (^ ^ M ^\

^ ' \dU dv dv du J'

OÙ l'on a posé

dYi dYk

(i6)' biu

dijk diji