CHAPITRE I. FORMES CANONIQUES
OÙ la sommation est étendue à tous les arrangements des indices i, k, deux à deux, est le covariant bilinéaire d'une forme de Pfajf. En d'autres termes, il existe un système de n fonctions X^, X,, ...,X„
des variables x^, x^, ..., x^, satisfaisant aux — relations
' :>xk ^xi
La proposition est classique pour n = 3. Pour démontrer qu'elle est ^^énérale, supposons-la établie dans le cas àe n — i variables, et considérons les n — i équations précédentes où i = i, et prenons Xj = o. Elles donnent
et par suite
3Xyt
Xz
— I aik{Xi, ..., x,^)dx^ -\- 'Çk(x.,, ..., x„) {k = 2,Z,...,n).
Je.
En tenant compte des conditions (20), que l'on suppose vérifiées, les autres équations (21). où / et /c sont supérieurs à un, deviennent ^
-— - ^-^^^ fljA-(Ci, X^, ..., Xn) = Oi/c {x.2, ..., X^).
Ces équations forment un système de même forme que le premier, avec une variable et une inconnue de moins. D'autre part, si l'on fait x^ = c^ dans les relations (20), où tous les indices sont plus g-rands que un, on obtient un système de relations de même forme
(20) bik + 6a-,- = o, - — 4- \- - — = o^
:>xi :sxi DxA- '
La proposition étant vraie pour n — i variables, elle est donc générale. Connaissant une première forme de Pfaff ayant un covariant bilinéaire donné, on aura toutes les autres formes ayant le même covariant en ajoutant à la première une différentielle exacte.
Deux éléments linéaires {dxi, dx^, . . ., dx^), (So^i, . . . ,Sx„) issus du même point {x^, x^, ..., x^) sont dits en involution si les deux svstèmes de différentielles dxi, hxi vérifient la relation w' = o. Il
résulte du calcul qui a conduit au covariant bilinéaire que deux éléments linéaires intégraux appartenant à une multiplicité intégrale à p dimensions (p > /) sont en involution. Si l'on prend en effet sur cette intégrale M^ une intégrale Mj, telle que les coordonnées d'un quelconque deses points soient exprimées au moyen de deux paramètres u, v, ces n fonctions vérifient les deux relations
^.Xi V V . ^ Q .
d'où l'on déduit, par le calcul fait plus haut, que les différentielles dxi, ^Xi correspondant respectivement à des accroissements du et 8y des paramètres, vérifient la relation w' = o. Or on peut toujours supposer que les courbes u =^ C, v = C qui passent par un point de M^ sont tang'entes respectivement à deux éléments linéaires quelconques de la multiplicité intégrale considérée issus de ce point.
Il résulte aussi de la propriété d'invariance de w' qu'à deux éléments linéaires en involution (flfyj, ...,di/^), (S^i, ..., ôy„) de l'espace {y il y 2' • • • ■> Ihù correspondent deux éléments linéaires en involution {dx^^, . . ., û?a?J, (Sa?i, ..., 8x„) de l'espace {Xi, x^, ..'., x^.
Remarquons aussi que deux éléments linéaires intégraux en involution de l'équation to = o sont des éléments linéaires intég-raux en involution de l'équation i2 = A:a)^o, quel que soit le facteur k.
Ceci nous amène à considérer quatre espèces d'éléments linéaires possédant des propriétés spéciales :
1° Les éléments linéaires quelconques qui sont en involution avec tous les autres éléments linéaires issus du même point.
2° Les éléments linéaires intégraux qui sont en involution avec tous les autres éléments linéaires issus du même point.
3° Les éléments linéaires quelconques qui sont en involution avec tous les éléments linéaires intégraux issus du même point.
4° Les éléments linéaires intégraux qui sont en involution avec tous les éléments linéaires intégraux issus du même point.
Les éléments linéaires de chaque espèce sont définies par des systèmes d'équations linéaires en dxi, ..., dx^, que nous allons étudier. Ces quatre systèmes se réduisent toujours à deux systèmes distincts, comme nous le verrons dans les parag-raphes suivants.
