CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

que de différentielles, tous les coefficients du produit symbolique sont certainement nuls, quand on y fait œ^ = o, ..., JCr= o. Le raisonnement prouve qu'il en est de même pour toutes les formes dérivées suivantes wt^r-i)^ «(^r+^t^ , ^ .

Lemme B. — Si une intégrale dune équation de Pfaff (^=^0 est définie par un système de r relations parmi lesquelles h relations sont données à F avance fi = o, ...,fh = o, les coordonnées d'un point quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients du produit symbolique u'-''-^)dJ'i . . . dfh-

Nous pouvons, comme tout à l'heure, supposer la multiplicité Mn— r définie par les r relations (82), y\, •■■,fh étant précisément Xi, ..., Xh elles-mêmes. La forme symbolique w^-'"— 2*) est de dearré 2r — 2A + I , et tous les termes de cette forme qui ne sont pas nuls pour Xx =0, ..., Xr=^ o contiennent au moins r — h + i des différentielles dxx, ..., dxr, et par conséquent l'une au moins des différentielles dxi^ ..., dxh- Le produit rJ'^—^^^dxi . . . dxh a donc tous ses termes nuls, en tenant compte des relations (32), et il en est de même des produits

^>ir-^+i)fjlxi . . . dxh. «<-^-2A+«)</x, . . . dxh, . . .

Le premier lemme est évidemment un cas particulier du second, obtenu en supposant h = o.

Le même raisonnement prouve que, si tous les coefficients du produit oùdfi . . . dfr sont nuls en tenant compte des équations

' fi = 0, ...,fr= O,

ces équations définissent une intégrale de w = o.

Cela étant, pour avoir les intégrales de l'équation '^j = o définies par un système de r relations entre les variables, parmi lesquelles h relations sont données à l'avance,

(33) f{x,, ..., Xn) = 0, /, = o, ..../h = o,

on formera le produit symbolique

^i'^r-mdf, . . . d/H,

et on éçralera à zéro tous les coefficients. On obtiendra ainsi unc«r-

tain nombre de relations qui doivent être vérifiées par les coordonnées de tous les points des multiplicités cherchées.

En adjoignant ces relations aux précédentes (33), on obtient un système de h' ^ Ji relations distinctes. Si h' est supérieur à r, ou si ces h' relations sont incompatibles, le problème n'admet pas de solutions. Si h' <^ r, on opérera sur ce nouveau système comme sur le précédent, et ainsi de suite. En continuant de cette façon, on constatera l'impossibilité du problème, ou bien on arrivera à un système de k équations distinctes {k <^ r),

(34) /i=o, ...,fk = o,

comprenant les équations données (33), telles que le produit symbolique w'2r— 2/1:)^^ . (Jj^i^ ait tous ses coefficients nuls, en tenant compte de ces relations elles-mêmes.

Si k ^= r, les équations (34) définissent une multiplicité intégrale, satisfaisant aux conditions du problème.

Supposons k <i r, et soit m le plus petit nombre entier tel que tous les coefficients du produit symbolique

^^'^"'^df.df, ... dfk

soient nuls, en tenant compte des relations (34) ; ce nombre m est par hypothèse au plus ég-al k r — /c. On a vu au paragraphe précédent que la recherche des intég-rales de l'équation w = o, situées sur la multiplicité définie par les équations (34), se ramène à la résolution d'une équation de Pfafl" de classe 2m — i. Les intégrales non sing-ulières de cette équation sont définies par un ou plusieurs systèmes de m relations, auxquelles on peut adjoindre de nouvelles relations choisies arbitrairement. Si l'on adjoint à l'un de ces systèmes de m relations les k équations (34), on a un système de m -\- k <^ r relations définissant une intégrale de l'équation (0= o, et les coordonnées d'un point quelconque de cette intégrale vérifient m + k relations, parmi lesquelles sont les k relations (34). Si m -f /c <; r, il suffira de leur adjoindre r — (m + k) relations choisies arbitrairement, pour avoir une intég'rale satisfaisant aux conditions voulues, et il est clair qu'on les obtiendra toutes de cette façon.

La méthode s'applique en particulier pour A' = o, et permet de