CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMHOLIQUES

sont nuls en tenant compte des relations (3o), les k — h fonctions /X+i, ...jyfc forment un groupe conjug'ué pour la nouvelle équation, et réciproquement. On aura donc à chercher successivement une intégra le yX+i du système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients du produit wP*"— 2)rf^, . . . dfhdf, puis une iutégTaleyA-j-2 du système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients de &»<2m— 4)^^ , dfh-\-\df, . . . , et enfin une intégrale fh^m du système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients du produit a)c(/"^ . . . dfhA-m-idf, les variables étant supposées liées par les relations (3o). Si l'on choisit ces m fonctions y)i i, . . .,fh~màe, façon qu'elles soient indépendantes, même en tenant compte des relations (3o), l'équation w := o prendra la forme canonique

quand on feray^ = o, ....fh = o après la transformation.

On peut encore distinguer les solutions générales du problème et les solutions singulières. Le nombre m étant défini comme on vient de le dire, une intégrale fait partie de l'intégrale générale si les coordonnées d'un point quelconque de cette intégrale n'annulent pas tous les coefficients de «a("2w— 2)rf/", . . . dfh. Soient (xi", ..., jj/i**) les coordonnées d'un point satisfaisant aux équations (3o) et n'annulant pas tous les coefficients de «(•2"» -2)c(/"i . . . dfh. Il est clair que ces coordonnées n'annulent pas non plus tous les coefficients du produit dj\ ... dfh, c'est-àdire tous les jacobiens des h fonctions f, ...,fh par rapport à h quelconques des variables x^ ..., Xn. On peut donc faire le changement de variables indiqué plus haut et, en poursuivant le raisonnement comme au n" 47, on verra facilement que toute intégrale de l'équation w =: o passant au point (a?!*, ..., Xn^) et vérifiant les A relations (3o) correspond à une intégrale non singulière de la nouvelle équation de Pfaff.

Les intégrales singulières sont celles qui annulent tous les coefficients de &»("2w» -î)^//"! ... dfh- On les détermine, comme plus haut, en adjoignant aux relations (3o) celles qu'on obtient en égalant à zéro tous les coefficients de <w("2'n— "îjrf/'i . . . dfh, ce qui conduit à un nouveau problème de même nature que le premier.

49. Intégrales à un nombre donné de dimensions. — L'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre à une seule fonction inconnue conduit à un problème plus particulier, qui revient à déterminer les intégrales G. Lefons. 13

d'une équation de Pf'aff, situées sur une multiplicité donnée, et ayant un nombre donné de dimensions .

Ce problème peut évidemment être formulé ainsi : Trouver les intégrales d'une équation de Pf a ff dé finies par un système de r équations, parmi lesquelles h relations {/i << r) sont données à Pavance.

Il est aisé de reconnaître à l'avance si ce problème admet des solutions au moyen des deux lemmes suivants.

Lemme A. — Si une intégrale d'une équation de Pfaff est définie par un système de r relations, les coordonnées d'un point quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients de w(2^).

Cette propriété étant indépendante des variables au moyen desquelles on exprime la forme m, nous supposerons qu'on a pris un système de variables Xi, ..., Xn, tel que l'intég-rale en question M,t r soit définie par les r relations

(82) X^:= O, ..., Xr=^0.

Les coefficients Ar+i, ..., kn de la forme

w = X^^dx^^ + . . . + krdXr + kr+\dXr+i + . . . + kndx,i

doivent donc s'annuler quand on y fait a;^ = o, ..., Xr = o. Dans la forme dérivée

0)' = dk,^dx^ 4- . , . + (/Ar4-ic/d3r+l + • ■ • + dkndXn,

toutes les dérivées — ^^ sont nulles aussi pour / "> o, / ^ o,

quand on y remplace J?i, ..., Xr par zéro, de sorte que le coefficient de dxr-^idxr-\-j est nul pour ce système de valeurs.

Il s'ensuit que si l'on ne conserve, dans chacun des r ■\- i facteurs du produit

que les termes dont les coefficients ne sont pas nuls pour Xi = o, ..., Xr^=o, chacun de ces termes contiendra au moins l'une des différentielles dx^, ..., dxr- Comme il y a plus de facteurs