CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIôUES

déterminer toutes les intégrales dew = o qui sont définies par un nombre donné r de relations distinctes, c'est-à-dire toutes les intégrales à un nombre déterminé de dimensions.

Remarque. — L'équation

(35) air-^)df, ...dfk = o

entraîne d'autres relations de même forme où ne figurent qu'une ou deux des fonctionsyj, ...■,fh- Supposons, en eflPet, qu'il existe une intégrale définie par r relations seulement, parmi lesquelles la relationyi= o. Il résulte du lemme B que les coordonnées d'un point quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients du produit w^-'"--><///. De même s'il existe une intégrale définie par r relations, parmi lesquelles les deux relationsy/^ o, fj == o. le même lemme prouve que les coordonnées d'un point quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients des

produits oi^r-i)(ifid/j, oyi'ir-^^dfidfj.

Il s'ensuit que la relation (35) entraîne les relations suivantes a'ir--i)dfi = o,

^ ^ ' ^(^-^)dfidfj = o. u>(^''-i)dfidfj = o (/.y = I. 2 ... A),

toujours en tenant compte des relationsyi = o elles-mêmes.

Inversement, sous des hypothèses très générales, le* relations (36), ou un certain nombre d'entre elles, peuvent remplacer l'équation (35), et M. Cartan en a déduit une nouvelle méthode de résolution du problème qui est très analogue aux méthodes exposées plus haut (n<* 43-46) pour la formation d'un groupe conjugué ou semi-conjugué.

Nous renverrons à son Mémoire pour les détails de cette méthode, ainsi que pour la recherche des solutions singulières.