Application aux équations aux dérivées partielles

— Reprenons le prohlome de l'intégration d un système d équations aux dérivées partielles

i/iC-^i» -3;,, ..., ar„, z ; />i, ..., p^) = o, /«(^t. -ï"?. •••' ^H. ^ ; A>i. ■•y Pn) = o,

/hi-Ti, Xj, ..., X^, Z, Pi, •., Pn) = Or

OU le problème équivalent qui consiste à déterminer, dans l'espace à 271 -f I dimensions, une intégrale à n dimensions de l'équation de Pfaff

(38) o) = c/5 — p,dx, — ... — pjx,^ = o,

dont tous les éléments vérifient les h relations données (87). C'est un cas particulier du problème étudié au paragraphe précédent, et dans le cas actuel le nombre r est égal à /z + 1 . D'après la remarque qui termine ce paragraphe, nous pouvons adjoindre aux relations (3o) celles que l'on obtient en égalant à zéro tous les coefficients des produits symboliques

<.i2r-^)dfi, ^^"^^-Mfidfj ; (/,y = I, 2, ..., n);

icir= n + i, w('^''-2)=: w (^«^ est de degré an -f- i, et le produit w('2''-2)^ est identiquement nul, quelle que soit la fonction y. Quant au produit "^^^''-''^dfidfj, ou J^-n-'^^dfidfj, qui a été calculé plus haut (no 42), il ne contient qu'un seul terme

[fi,fj]dzdx,dp, ... dxjp^,

et nous voyons que tous les éléments des intégrales cherchées doivent satisfaire aux relations

(39) [A fj] = o, {i,J = 1,2, ... n);

c'est le théorème fondamental de la théorie des systèmes en involution {Leçons, n» 58).

La méthode d'intégration de Jacobi se rattache aussi très facilement aux méthodes d'intégration d'une équation de PfafF, qui ont été exposées dans ce Chapitre.

Les raisonnements du numéro précédent, appliqués au cas actuel, prouvent que l'on peut toujours ramener l'intégration du système (87) à Tintég-ration d'un système en involution, si l'on ne constate pas l'impossibilité du problème; ces raisonnements ne diffèrent pas d'ailleurs de ceux du n" 58. Supposons donc que les équations (87) forment un système en involution, c'est-à-dire que les équations (89) soient des conséquences alg-ébriques des relations (87). Nous pouvons même supposer que l'on a mis les équations (87) sous une forme telle que les conditions [fi,/j] == o