CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES STMHOLIQUES

soieot des identités. La classe c de w étant sn + i, les ^ fonctions /i, ...,fh vériûeut donc les relations

i^ic-i)dfi = o, i^'c-3^dfid/j = o, {i\j= I, 2, ..., n),

et par suite ces h fonctions forment un groupe conjugué ou semiconjug^ué par rapport à w (n° 46). On peut alors déterminer un groupe semi-conjus;'ué de /î + i fonctions, comprenant les fonctionsy,,^,» •••ifh- Pour cela, on cherche d'abord une intégrale Jh+u indépendante dey^, ...,fh, du système

tù(e-^)df= o, iàic-^)df^df= o, ..., iùip-^^dfhdf = o ;

la première équation est vérifiée d'elle-même, et ce système se réduit à

On a ensuite à chercher une intégrale //i+-2, indépendante de J^^ ...yfh^i du nouveau système

[/i./] = o, . . . [/h,f] = o, [fh+uf] = o,

et ainsi de suite. Ayant ainsi déterminé un système de n + i fonctions distinctes y\, ...,fh, ■■•ifn^\ en involution, ces n + i fonctions forment un s^roupe semi-conjugué pour l'expression w, que l'on peut par conséquent mettre sous la forme

w = ri^i 4- ... 4- '^hdfh -r . . . -f o„+ic//"„-ui.

Les équations

/l ^ o, ...,/a = 0,fh^i = rt/,4-1, ...,/n-i-l = «n+t,

où a^i—i, ..., On-^i sont des constantes arbitraires, donnent donc une solution du problème. C'est une intégrale complète, et la méthode précédente est identique à la méthode de Jacobi généralisée par Maver. Toutes les autres intégrales se déduiraient de même des solutions de l'équation de Pfaff

définies par n -r i — h relations, ce qui conduit précisément à des résultats déjà exposés (Leçons, n° 51).

Dans le cas particulier où /"j, //, ne renferment pas s expli-

cîtement, les crochets [fi,fj] se réduisent aux parenthèses {fiyfj), et la méthode peut être simplifiée de façon à retrouver la méthode même de Jacobi.

Supposons donc que l'on ait h fonctions distinctes /^, ..., //,, indépendantes de 5, telles que les parenthèses { fi, fj) soit nulles identiquement. La variable z ne fig-ure pas dans les coefficients des équations du système complet

qui déterminent /a+1. Si l'on adjoint à ces équations la relation ^=0, on obtient un nouveau système complet

(ÂJ)=o,...,(A,f) = o

pour déterminer une fonction / des 2n variables Xi, ph.

La même remarque s'appliquant aux systèmes suivants, on peut donc déterminer de proche en proche n fonctions distinctes /i5 •••■,fh, '■•ifn, ne renfermant pas z, et telles que toutes les parenthèses (fi,fj) {i,j = i, 2, ..,, n) soient nulles. Ces n fonctions forment un g-roupe conjugué par rapport à la forme w, car la

relation co(c-2)^/'=: o se réduit dans ce cas à ^ = 0 (n° 43). Si donc on prend pour nouvelles variables

9^, ..., 9^ étant n fonctions convenablement choisies indépendantes de z, formant avec y^, ..., f^ un système de 2n fonctions distinctes des variables Xi, pk, on sait que w prendra la forme

(^=dz -\- ^^df 4- . • • + <fndfn + dfn+i,

Jn+i étant une fonction des variables (xi, pk) qui se détermine par une quadrature (no 43). On aura donc dans ce cas une intégrale complète

fi= O, ...,fh = 0,fh->ri = ah-{-i, ...,Jn=an, Z=fn+i. + ««+-1,

qui s'obtient par une quadrature, quand on a déterminéy)i-fi, ...,/'n- Cette méthode n'est pas distincte au fond de la méthode même de Jacobi. Supposons en effet, afin de nous placer dans le cas consi-