CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

déré par Jacobi, que lejacobien ^•^' •^ ne soit pas nul pour

tous les systèmes de valeurs qui annulent y^, ..., fh. Imaginons que l'on prenne pour variables 3^, j?^, ..., x^ Qiy^:=f^ ,...,y„=y,; il faut pour cela résoudre les n équations

(4o) fi=yi^-",fn = yn

par rapport à /)j, ...,/)„ et porter les expressions ainsi obtenues dans w, ce qui conduit à une nouvelle expression de cette forme

y^+i étant une fonction de x^, ...,x^,y^, ..., y„. Si l'on regarde dans l'identité précédente y^^, ..., y^ comme des paramètres, la fonction y„^j, considérée comme fonction des seules variables x^, ..., x,^ a évidemment pour diflerentielle totale

/>!» •••> Pn étant les fonctions des variables x^, ..., a?„ et des paramètres y^^, •••» y„ déduites des relations (4o)

51. Application aux transformations de contact. — Les théorèmes classiques {Leçons, n°* 75 et suivants) se déduisent très facilement des propriétés d'invariance des formes dérivées et des produits symboliques. Soient Z, X^, ..., X,„ P^, ..., P^ un système de 2/1 + I fonctions des 2n + i variables s,x^, ..., x^, p^, ..., /)„, telles que l'on ait identiquement

(40 dZ - P,dX, -...- P„rfX, = 0 {ds - p,dx, - . . . -pjxj,

p étant une fonction non identiquement nulle des variables z, Xi, fh- L'identité précédente peut s'écrire

(42) Û = pw,

en posant

a = dZ-V,d\,- ...-P„rfX„,

w = dz — p^dx^ — ... — />„</x„ ;

de sorte que la forme de Pfafî fi se change en pw, quand on y remplace les variables Z. Xi, Pa- par leurs expressions au moyen des variables, z, Xi, pk-

De la relation (42) on déduit

(a')" = (pw' + ofpw)'^= p"(a)')'^ + n(pa)')«-ir/pXw, (fl')"n = p''+^(w')«w.

On a donc

çii^n) — p«+la)(2/z)^

OU (no 42)

ûfZflfX^ . . . rfP„ = f+^dzdx, . . . dp^, c'est-à-dire

ce qui prouve que les an + 1 fonctions Z, X;, P/^ sont nécessairement distinctes.

Soient F, * deux fonctions quelconques des variables Z, X^, Pat, /et ç ce que deviennent ces fonctions lorsque l'on remplace ces variables Z, X/, P/^ par leurs expressions au moyen des variables r, xi, pjc. On montre comme tout à l'heure que l'on a

et par suite on a l'identité

(44) fl(2«-2)^0^<î> = )>n^(in-2)dfd'^,

quelles que soient les fonctions F, 4>. Les produits symboliques qui fig-urent dans cette formule ont été calculés au n° 42.

ii<2«-2)t/Ft/* = [F, *]^Z^X, ... dPn,

^{in-2)dfd<f = [f, oidzdx, . . . dpn,

en posant

tï^' *] ^ 2- fp:- (^ + P' ^) - 5p7 fe + P'- TZ

En rapprochant les formules (43) et (44)» on en déduit la nou-