CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMROLIQUES

velle identité

Appliquons cette identité à tous les couples de fonctions obtenus en prenant pour F et 4» deux quelconques des fonctions Z, X/, P/t] nous obtenons les relations établies directement

[Z, Xi] = [Xi, Xk] = [Xi, Pk] = [Pi, Pa] = 0, i^ k [Z, Pi] = - oPi, rp^ Xi] = p.

Dans ces formules ; Z, X,l désigne maintenant

et de même pour les autres crochets.

Réci proquement , étant données n-\- i fonctions indépendantes Z, A'i, . . . , A'„ des 2n -{- I valables z, X), ..., x,^, p^. ...,/?„, satisfaisant aux relations

(47) [Z,X.-] = o, 'Xi,Xu] = o,

il existe n autres fonctions P^, ..., P„ des mêmes variables telles que l'on ait identiquement

(48) dZ -P^dX,-...- P,//X, = .(ds -p^dx,-... -pjx„),

p étant une fonction non identiquement nulle.

Les relations (47^ expriment en effet (voir n" 46) que les n -|- i fonctions Z, X^, ..., X„ forment un groupe semi-conjugué pour w. On a donc une identité de la forme . .

0) = A^dX, 4- . . . + A„cffi:„ + K^.dZ,

qui est évidemment équivalente à la relation (48), car le coefficient A„^j ne peut être nul, puisque w est de classe 2az + i •

On peut aussi obtenir de cette façon les crochets de p et de l'une quelconque des fonctions Z, X/, P^. La relation qui donne (û')" peut en effet s'écrire

Q(2n l) ^ pn(o(2fl-l> s''-la><2'»-2)</p ;

F étant une fonction quelconque des variables Z, X/. P*, et / ce

qu'elle devient après la substitution, on a donc l'identité

Les expressions de ces produits symboliques ont été obtenues plus haut :

Qi^n-DdF = ^ dZdX, ... dPn = p«+i -^ dzdXi . . . dpn,

i^('in-i)df = ^ dzdx, . . . dpn, o,{^n-^)dfdp = [p,f]dzdx, . . . dpn.

En remplaçant dans l'identité précédente, il vient

(49) p'i=Ptf+tP'^3-

En remplaçant F par les 2ti + i fonctions Z, X;, Pfe, on obtient les expressions des nouveaux crochets :

[?,P.] = -Pf.

52. Transformations de contact homogènes. — Une transformation de contact homog'ène est définie par 2n fonctions Xj, ..., X^, P^, .,., P,^ de 2n variables iCj, ..., x,^, p^, ..., /)„ telles que l'on ait l'identité

(5i) P.o^X, 4- . - . + P„dX„ = p,dx, + . . . + pjx,,.

En désig-nant par il et w le premier et le second membre de cette relation, on a

c'est-à-dire

(52) dX^^dP^ ... dK^dP^=^ dx^dpi ... dx^dp,^,

ce qui montre que les 2n fonctions X/, P^: sont indépendantes, puisque leur déterminant fonctionnel est ég-al à l'unité. Soit F une fonction quelconque des variables Xi, P/c, et/" la fonction des variables Xi, pk obtenue en remplaçant dans F les Xi, Pk par leurs expressions. L'identité