CHAPITRE IV. — APPUCATIO-N DES FORMES SYMBOLIQUES
devient, en tenant compte de la relation (62),
En prenant pour F l'une des fonctions X,-, Pa-, nous avons
Pi- 1- ••• +/>/«r— = P/,
ce qui montre que les A'/ son/ des fonctions homogènes de degré zéro, et les P/ des fonctions homogènes de degré lin, des variables p^, ..., pn {Leçons, n^ 80).
On a enfin, en désig-nant par F, <ï» deux fonctions quelconques des X,, Pa-, et par^et 9 les fonctions des j?/, /)a- obtenues par la substitution,
ou, en tenant compte de la relation (62),
■^ / c-»F ?* DF D* \ \^ { ^f ^? V '^? \
2d \Wi âx7 ~ 3X7 3P77 ~~ '^ \^ ^r7 '"' 507 ^/ ■ * =1 1=1
Cette identité, appliquée à deux quelconques des fonctions X,-, Pa-, donne les relations connues [Leçons, n*^ 80\
C {Xi, Xft) = o, (X,-, Pk) = o, {Pi, Pk) = 0, i ^ k,
Réciproquement, étant données n fonctions indépendantes X^, . . ., Xn des 2n variables x,, ..., Xn, Pi, ■• , Pn, homogènes et de degré zéro en p^, ... />«, e< satisfaisant aux relations
{Xi, Xfr)= o (/. A- = I, 2, ... n),
il existe n autres fonctions P^, .... Pn des mêmes variables définissant avec les premières une transformation de contact homogène.
Les n fonctions Xj vérifient en effet les relations
a)(2«-2)rfX,- = o, a'in-3)dXidXk = O,
qui expriment que ces fonctions forment un groupe conjugué pour la forme w. On a donc bien une identité de la forme
co = p^dx^ + . . . + pndXa = P^dX^ + . . . + P«^X,j.
Addition au n" 42. — Etant donnée une forme linéaire w, on a vu comment on pouvait, à l'aide des dérivées &/, w", ... obtenir des formes covariantes dm w. On peut aussi obtenir des formes covariantes d'un système déformes linéaires. Si w,, m^, . . ., w^ sont d'autres formes de PfafF, il est clair que le produit symbolique
OÙ l'on a h -\- p ^ c — i est un covariant du système des forme w, wj, . . ., Mp. Si, par un chang-ement de variables, r,>. wi, , . ., Wp se changent en de nouvelles formes ii, il], . . ., ilp, on a identiquement
il(A)Ili . . . ap = M(h)o>^ . . . Mp.
Si, par exemple, on a c =: n, h-\~ p = ii — i, le produit symbolique wWwj . . . Mp contient un seul terme en ctej . . dxn, et le coefficient de ce terme est un invariant relatif (Cf. G Darboux, Bulletin des Sciences Mathématiques, tome VI, 2e série, 1882, p. 49).
