CHAPITRE V

INVARIANTS INTEGRAUX (»)

53. Définitions. Généralités. — Les invariants intégraux ont été considérés pour la première fois par H. Poincaré, qui en a fait d'importantes applications à la Mécanique Céleste. La théorie des formes symboliques de difiFérentielles permet d'établir de la façon la plus naturelle les propriétés fondamentales de ces invariants.

Considérons d'abord un système de trois équations différentielles

/ ^ dx du dz

X, Y, Z étant des fonctions de j?, y, z. Pour faciliter les énoncés, nous supposerons que ces équations définissent le mouvement d'une molécule dans l'espace, la variable / représentant le temps. La molécule qui, au temps /= o, est en un point M^ (x^,, ^o» ^o^ 6st venue au temps / en un point M/, de coordonnées {x, y, z). Lorsque le point M(, décrit un certain domaine D^ de l'espace, le point Mf décrit un domaine correspondant D^ Cela posé, soit Y{x, y, z) une fonction des variables x, y, s ; nous dirons que l'in-

tég-rale triple 1=: 1 1 1 F(x, y, z)dxdydz est un invariant

intégral du système .(i) si la valeur de cette intégrale triple, étendue au domaine D/. est ég'aie à la même intés^rale étendue au domaine D^. Par exemple, si les équations (i) définissent le mou-

(') Auteurs k consulter :

H. PoixcARÉ, Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, tome III, en particulier le Chap. XXII.

DE DoKDER, Rendiconti del Circolo Matemaiico di Palermo (igoi-igos). E. GorRSAT, Journal de Mathématiques, tome IV, 6* Série, igo8.

— Ibid., tome I, y Série, igiô.

— Annales Scientifiques de la Faculté des Sciences de Toulouse, tome VII, igi5.

vement d'un fluide incompressible, le volume du domaine Y>t est

constant, et l'intégrale II dxdydz est un invariant intégral ,

On définit de la même façon les invariants inlég'raux de lig-nes et de surfaces. Si le point Mq décrit une lig"ne Lg ou une surface So, le point Mt décrit une lig"ne L< ou une surface S^ Une intégrale curvilig^ne

ci.dx 4- 'fidy + ^dz

est un invariant intég'ral du système (i), si la valeur de cette intégrale prise le long- de la lig^ne ht est indépendante de t et ég-ale à la même intég^rale curvilig-ne prise le long de L^. De même, une intég-rale de surface

Pdydz + Qdzdx + B.dxdy

est un invariant intég-ral, si la valeur de cette intég'rale étendue à la surface St est indépendante de /.

Ces définitions s'étendent aisément à un système d'un nombre quelconque d'équations difPérentielles

/ \ uXi UCC2 ClXn ,

nous supposerons que les fonctions X; sont uniformes et continues, ainsi que leurs dérivées partielles, et ne renferment pas le temps t. Nous appellerons trajectoire toute multiplicité à une dimension T de l'espace à n dimensions représentée par les équations

/ilO' /sCO» • • -i/nif) formant un système de solutions des équations (2). De chaque point (^^^ x^^, ..., xj>) de l'espace à n dimensions part une trajectoire F qui est décrite par le point (a?^, x.^, ...., xj lorsque ^ varie.

La valeur initiale de t étant supposée nulle, considérons dans l'espace à n dimensions une multiplicité quelconque à p dimensions E^ ; de chaque point {x^'^, x/, ..., x^^) de cette multiplicité part une trajectoire et, au bout du temps ^, le point mobile est