CHAPITRE V. — INVARIANTS LMÉGRADX

venu en un point (a*j, x^, ..., x^). Le lieu de ces difiFérents points est une autre multiplicité kp dimensions Ep, qui correspond point par point à la multiplicité E^. Soit d'autre part w une forme symbolique de deia^ré p^n,

(4) w= 7 Aa.ij .... x^dx dic .... dx ;

si rintég-rale multiple d'ordre^

a la même valeur pour les deux multiplicités Ep et E' quel que soit /, l'intésrrale I,, est un invariant intégral d ordre p du système (2). Le nombre/) pouvant varier de i à /i, il y donc n espèces d'invariants intéarraux.

11 résulte des propriétés des formes symboliques de différentielles (\uQtout invariant intégral se change en un invariant intégral quand on effectue un changement quelconque de variables.

Soit en effet 1= / w un invariant intégral tiu système (2) ; si l'on

effectue sur ce système le changement de variables défini par les formules

où les fonctions .;/ ne renferment pas le temps /. la forme symbolique <o se chang-e en une nouvelle forme symbolique m, et le système (2) lui-même est remplacé par un système de même espèce

ou Yj, Yg, ..., Y„ sont des fonctions de y^, y,, ..., y^, ne renfermant pas la variable /. 11 est clair, d'après la définition même

d'un invariant intégral, que l'intégrale 1^= j ^ est un invariant

intégral pour le nouveau système (2').

De tout invariant intégral 1= j o) du système (2), on déduit

un nouvel invariant intégral 1'= / w' du même système, w' étant

la forme dérivée de w. Supposons en effet la forme oj de degré />, G. Prob. n

et soit E„^| une multiplicité k p -\- i dimeosions de l'espace à n dimensions. De tout point (x^°, x^^, . . . , x.J') de cette multiplicité part une trajectoire, et le point qui, pour t = o, coïncide avec le point (x^'^, x^^, . . . , x,j") est venu ,au temps t en un point de coordonnées (x^, x^, . . ., ^,J. Soit En+i 1g lÏGu de ce point (x^, ..., x^^) lorsque le point {x^^, ..., a:„") décrit la multiplicité Ep^^. Ces deux multiplicités E„j^| et EL j sont limitées par deux multiplicités fermées à p dimensions èp et 8^ qui se correspondent point par point comme les multiplicités Ep^^j et E„|^i elles-mêmes.

Or les deux intégrales / w' étendues aux deux multiplicités YP ,, et E^ 4 sont ég-ales respectivement, d'après la formule de Stokes généralisée, aux deux intégrales 1 w, étendues aux deux multiplicités %p^ èp, et par conséquent ont la même valeur. De tout invariant intégral d'ordre p du système (2) on peut donc déduire, par des différentiations seulement, un nouvel invariant d'ordre /> + i du

même système. Si on représente par I^ l'invariant intégral i w, on

représentera par lp^^ l'invariant intégral I oj', et j'appellerai l'opération par laquelle on passe de Ip à I^^^ l'opération (D). Cette opération appliquée à un invariant i w' conduit à un résultat identiquement nul, et par conséquent on ne peut déduire de cette façon d'un invariant I^ qu'un seul invariant nouveau, et seulement lorsque la forme w n'est pas elle-même une forme dérivée.

Remarques. — i<> H. Poincaré a aussi considéré des invariants intégraux d'une autre espèce, tels que

K,' (^{xi, dx'i),

<î> étant une véritable forme algébrique d'ordre m par rapport aux différentielles, et non plus une forme symbolique. Ils se définissent