CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

comme les invariants intégraux du premier ordre I 7 Xidxi,

dont ils sont une srénéralisation naturelle.

2" Il est évident que, dans la définition d'un invariant intégral, l'hvpothèse que les fonctions X, ne renferment pas le temps n"a rien d'essentiel. Dans la suite, à moins de mention expresse, nous supposerons les X/ indépendants de t.

S** Au premier abord, il semble que la notion d'invariant intégral est tout à fait distincte de celle d'intégrale première. Cependant les deux notions peuvent se rattacher l'une à l'autre par un passage à la limite. 11 suffit pour cela de considérer les trajectoires issues de plusieurs points dont on fera «-randir ensuite le nombre indéfiniment de façon à ce qu'ils forment une multiplicité à une ou plusieurs dimensions. On est ainsi conduit à un système d'équations linéaires, appelé par H. Poincaré équations aaœ variations, dont il a déduit les propriétés des invariants intégraux. Nous ne nous servirons pas dans la suite de cette interprétation (').

54. Invariants relatifs. — Les invariants intégraux que nous venons de définir, où les domaines £„ et £„ ne sont assujettis à aucune restriction, sont des invariants absolus. Il existe aussi des

intégrales / w qui ne possèdent la propriété d'invariance que si

les domaines E„, E„ sont des domaines fermés. De tels invariants ont été appelés par H. Poincaré invariants relatifs: nous les désignerons par la lettre J. Il est clair qu'on obtient un invariant relatif en ajoutant à un invariant absolu une intég-rale de différentielle totale symbolique quelconque, puisque cette intégrale étendue à une multiplicité fermée est nulle. Réciproquement, on démontrera au paragraphe suivant que tous les invariants relatifs s'obtiennent de cette façon.

Soit Jp = 1 to un invariant relatif, w étant une forme symbolique de degré p, qui n'est pas une dififérentielle totale ; V intégrale I w' est un invariant absolu d'ordre /) + i. En effet, les valeurs

(*) Voir aussi le Traité de Mécanique de M. Appell (tome II, p. !\bo)-

de l'intégrale / w' étendue aux deux domaines E„,i, Ep^^, définis précédemment, sont égales respectivement aux deux valeurs de l'intégrale / w, étendue aux deux multiplicités fermées 8>p, èp, qui limitent les deux domaines ^p-\.i, Ep^i, et ces deux intégrales sont ég-ales, puisque / w est un invariant relatif.

L'opération (D) appliquée à un invariant relatif J^, qui n'est pas une intégrale de différentielle totale symbolique, conduit donc aussi à un invariant absolu Jj^ + i d'ordre /> + i.

Le raisonnement qui précède conduit aussi à la conclusion

suivante : Pour qu'une intégrale 1 w, qui n'est pas un invariant

absolu, soit un invariant relatif il faut et il suffit que I w' soit un invariant absolu.

Réciproquement, si / o>' est un invariant absolu, j o) est un

invariant relatif ou un invariant absolu. On verra, au paragraphe suivant, que l'on peut toujours ajouter à w, et d'une infinité de manières, une différentielle totale symbolique w, d'ordre p, de

façon que / (w + m) soit un invariant absolu.

55. Existence des invariants intégraux. Forme canonique. — Le système d'équations différentielles (2) peut être ramené à une forme canonique par un changement de variables. Soient/"^, y2' • • • ' fn-i ^^ système de (n — i) intégrales distinctes de l'équation du premier ordre :

le système (2) admet les n — i intégrales premières

et une dernière intégrale de la forme