CHAPITRE V. INVARIANTS* INTÉGRAUX

la fonction y], ne dépendant, comme les premières, que des variables Xi, J^g, .... a?„. Cela posé, si l'on prend un nouveau syçtème d'inconnues y^—f^, .... yn-i=fn-i^ '=fn^ le système (2) se change en un nouveau système de n équations difiFérentielles dont l'intégrale générale est représentée par les formules

ce système a donc la forme simple suivante, que nous appellerons forme canonique

(6) fhl--^-^ (h/n - i ^ ^^

Il est d'ailleurs évident que le système (2) peut être mis sous forme canonique d'une infinité de manières.

En efifet, le système (6) ne change pas de forme quand on prend pour nouvelles inconnues n — i fonctions distinctes r'(yi' •••t^n— 1) des inconnues yt, et qu'on remplace s par s + 'Y^y^, •••? ^n-i)» <!/ étant une fonction arbitraire.

Cela étant, soit 1= / w un invariant intégral absolu d'ordre />du

système (2) ; après le chanarement de variables qui vient d'être défini, la forme w se change en une forme symbolique ra des différentielles dyi, ..., dy^i, dz dont les coefficients sont foncions

des yi et de z. L'intégrale / nr est un invariant intégral pour le système canonique (6) Il est facile de trouver à quelles conditions doit satisfaire la forme w pour qu'il en soit ainsi. Soient E„ un domaine à p dimensions de l'espace à n dimensions (y^, y^, ..., yn—i' -)' et Ep le domaine que l'on déduit du premier en ausrmentant les coordonnées z de tous ses points d'une même quantité t, sans changer les autres coordonnées. Pour que les valeurs

de l'intégrale / nr, étendue à ces deux domaines, soient éarales

quel que soit /, il faut et il suffit que la forme symbolique cr ne change pas quand on change 5 en r ^- C, quelle que soit la constante C. ce qui aura lieu si les coefficients de cette forme ne dépendent pas de 5 et dans ce cas seulement. Donc, pour que Vin-

tégrale j tu soit un invariant intégral absolu du système canonique (6), il faut et il suffit que les coefficients de la forme nr soient indépendants de z.

De tout invariant intégral absolu du système canonique (6) on déduira inversement un invariant intégral absolu du système (2), en revenant aux inconnues primitives Xi, x^, ..., x^. Il existe donc une infinité d'invariants intégraux absolus de tous les degrés (de i à n) pour un système quelconque de n équations différentielles (2). On peut écrire explicitement les expressions g-énérales de ces invariants, si l'on peut ramener le système à une forme canonique, c'est-à-dire si l'on connaît Fintég-rale g-énérale de ce système.

A tout invariant intég-ral relatif du système canonique correspond de même un invariant intégral relatif du système (2), Il est facile d'avoir l'expression générale des invariants intégraux relatifs

du système canonique (6). Soit en effet J = 1 cr un invariant

intégral relatif de ce système ; l'intégrale / w est un invariant

absolu du même système (n» 54) et par suite les coefficients de la forme cr' ne dépendent pas de z. On peut donc écrire ro'= ra^ + ci2ûf5, cT^ et HT, étant deux formes symboliques de degré p -\- i ei p respectivement, si CT est de degré p, qui ne contiennent ni z, ni dz. Or, on doit avoir Ttr'^ + T^\dz-=o, et par suite cr'^ = nT'2 = o. On peut donc trouver deux autres formes ii^ et fig' ^^ degrés p et p — I respectivement, ne renfermant ni z^ ni dz^ et telles que l'on aiti2'i=7TTi, f2'.,= nT2(no26). Si l'on pose Q = i2^ + ilcfiz .Xmihgv^'è

j Q. est un invariant intégral absolu du système (6), et l'on a

Q,' z:zzw'. La différence w — Q. est donc une différentielle totale symbolique, et par suite tout invariant intégral relatif est la somme d'un invariant intégral absolu et d'une intégrale de différentielle totale symbolique.

Il est clair que cette décomposition d'un invariant relatif peut être effectuée d'une infinité de manières, car on peut toujours ajouter à un invariant absolu une intégrale de différentielle totale qui