Interprétations du covariant bilinèaire. — Le covariant u

intervient dans le calcul de la première variation de l'intégrale f o, et

cette interprétation rend intuitive la propriété d'invariance relativement à un changement de variables.

Considérons une forme de Pfaff à un nombre quelconque de variables indépendantes, '

w = Xidxi 4- . . + XndXn,

Xi . . . X,i étant des fonctions de cci, Xi, . . .,x„. Ces n variables étant regardées comme les coordonnées d'un point dans l'espace à n dimensions, les n équations

Xi=/i{f) {i= 1, 2, ..., n),

où / varie de /, à /j, représentent dans cet espace une variété à une dimension ou courbe r, et l'intégrale définie

I XidXi + . . . + Xr^dXn,

où l'on a remplacé xi par/if/) et dxi par /'i {t)di, est encore appelée une intégrale curviligne prise le long de F et représentée par

= I XidXi JT

I = / XtdXi + . . . -f X„dXn.

Quand on remplace la courbe F par une courl^e infiniment voisine, l'intégrale prend un accroissement dont nous allons calculer la partie principale. 11 suffit d'appliquer à ce cas particulièrement simple la méthode générale permettant de calculer la première variation d'une inlégrale ; j'indiquerai rapidement le calcul. Pour cela, imaginons une famille de courbes variant d'une manière continue avec un paramètre x et se réduisant pour x ^ o à la courbe F. Soient xi= fi {i, a) les équations de cette famille de courbes, la fonction // (/, o) étant identique à /i {l).

Nous supposerons que les limites ^o et /, sont elles-mêmes variables avec a, et nous avons à calculer la dérivée F (a) de l'intégrale définie

par rapport au paramètre «. La formule classique de difFérentiation donne

U=l J< = <i \-i=i At=t,

En'intégrant par parties la seconde intég-rale, on peut la remplacer par

Dans le produit ^I = \' {v.)Sca, on a sous le signe d'intégration les termes suivants, en posant §xi = ^ (?«,

I jLd \dXi ^t ^Xn W /

/ y dxi 7 — ' Sxk — I 7 , ^^ ,. 7 , — - dxfc, ou, en permutant les indices i et A: dans la seconde intégrale,

Quant aux termes en dehors du signe | , en les réunissant, on a l'expression suivante :

U-l At-h Li-i At=to

\ L»=i jt=ti u=i At^t,)