CHAPITRE V. INVARIANTS INTÉGRAUX

soit elle-même un invariant absolu, et il existe évidemment une infinité d'invariants absolus de cette espèce.

Les invariants intégraux du système canonique (6), qui sont de la forme

*(y/. s ; di/i, ds),

s'obtiennent de même en prenant pour<ï> une Jorme algébrique de degré m par rapport aux difiFérentielles dyi, ds, dont les coefficients sont indépendants de z.

Remarque I. — Connaissant r intég-rales premières distinctes fi, fi, •••,fr, indépendantes de t du système (2) (r^n — i), on peut en déduire des invariants intég'raux de ce système. Soit en effet t>y{fi, df) une forme symbolique des différentielles df, df, ..., dfr, dont les coefficients ne dépendent que de f, f fr.

L'intégrale \ w est un invariant intégral des équations (2). Il

suffit d'observer qu'avec un système de variables canoniques y^,

y^, ..., y„i, s, cette intésrrale s'écrirait 1 cr, la forme symbolique cr

ne renfermant que les variables y^, y. y, ..., yr et leurs différentielles. Par exemple, si /"est une intégrale première des équations (2),

df est un invariant intégral absolu. Il est facile de le vérifier.

Soit l'o un arc de courbe joignant deux points Aq, B^, de l'espace à n dimensions au temps ^ = o ; au temps /, les points Aq, Bq sont venus en deux points A, B, et l'arc r^, est venu coïncider avec un arc r joignant les deux points A et B. On a bien

fdf=A-A=f,-A.= fdf

Les invariants intégraux de cette espèce seront étudiés plus loin (no 60).

Remarque II. — Une intégrale / df peut être un invariant intégral, sans que f= C soit une intégrale première du système.

Par exemple, pour le système canonique (6), / dz est un invariant intégral, sans que 5=G soit une intég-rale première. D'une façon g-énérale, pour que 1 df soit un invariant intég-ral du système canonique (6), il faut et il suffit que/" soit de la forme

C étant une constante quelconque, cp une fonction arbitraire de y^y^^ ...,^„i(cf. n0 63).