Relations entre les coefficients d'un invariant

Etant donnés un système différentiel de la forme (2) où les fonctions Xj ne dépendent pas de t, et une forme symbolique w de deg-réyo en dx^, dx^, ..., dx^, dont les coefficients ne dépendent pas non plus de t, nous nous proposons de rechercher les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients de cette forme pour

que I w soit un invariant intégral absolu. Considérons, comme

au no 53, un domaine variable Ep de l'espace à n dimensions, et

soit \Jit) la valeur de l'intégrale / w étendue à ce domaine. Pour

que / w soit un invariant intég-ral, il faut et il suffit que l'on ait

-~ = o. Or cette dérivée peut se calculer par les règles habituelles

de différentiation sous le signe intég-ral Nous supposerons pour cela que l'on donne à ^ un accroissement 8^, et nous calculerons la partie principale de la différence \Jt -f 8/) — 1^(05 ^"^ regardant It comme l'infiniment petit principal. Soient (iCi, x^, ...,x^ les coordonnées d'un point quelconque de la multiplicité Ep, et (^1' y^i •••■> yn) l^s coordonnées du point correspondant de la multiplicité Ep+^' ; on a

yi = Xi +X (Xi, x^, ...,Xn)^t+ ...,(/== 1 , 2, ... n),

les termes non écrits étant infiniment petits d'ordre supérieur au premier en 8/. Ecrivons les deux intégrales lp{t), lj,{t -f- 8/) sous forme explicite, en exprimant les coordonnées d'un point quel-