CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

conque de Ep et de £„ au movea de p variables auxiliaires u^,u^, ...,ap :

dans ces formules, les sommations sont étendues à tous les arrangements p à p des indices m» 22); A'^ ^ ^^ désigne ce que

devient A^ ^^ ^ quand ou y remplace x, par y/, et les deux intégrales sont étendues à un même domaine de l'espace à p dimensions.

Soit A'3 g g ' • • • ^ ' ^ un terme quelconque de la

seconde intégrale; on a, en n'écrivant pas les termes infiniment petits d'ordre supérieur au premier.

^'P^Pf ■■■% = HiPt ..•pp'^^ (^PiPt . . . ?p) ^' + • • • où l'on a posé

Dtf, ?a, ~'~ ^ ?a-A- 3oi

Dtfp ^Op "*" ^ ?j[-/t Dup "^ • • •

Cherchons le coefficient de -r — ' • • • àt dans la nou-

velle intég^rale. Pour que le produit

piPi ■ . Pp ?U, DOi DUn

donne un terme de cette espèce, deux hypothèses sont possibles et deux seulement :

1° On peut avoir p^i = aj, jSg = a^, . . . , P^ == a^,, ce qui donne le produit

V(K \ ^ ^ . . "^'.Rf

[ «i«2 . . . «jj OMj :^u., ' ' ' D«p

2° On obtient encore un produit de la forme voulue en supposant que toutes les ég-alités j3/ = a/ sont vérifiées, sauf une seule. Si, par exemple, on a i^^ = a^, ... P/i = a/i, P;^ir=:a/+i, ... P^ = a^, Pi étant quelconque, on a le produit partiel

DXq d^x Zx A __Ëi Jîi ^8/

«1 . . . a-i-i &/«/+! . . . «,; 3J3 ?Mi DM„ '

et la somme des produits ainsi obtenus en faisant varier ^i peut

s'écrire

Comme l'indice variable Pi peut remplacer l'un quelconque des indices a^, a^, . . . , a^, on voit qu'en définitive le coefficient de :>x T^x

— — - • ■ ■ — — ^ 8; dans l'intégrale I (^ + §0 ^ pour expression

Quand on permute les indices a,, a^., . . ., a^, on voit aisément que l'expression B^ ^ « "^^ change pas, ou change de signe, suivant que la nouvelle permutation est de même classe que la première ou de classe différente.

La dérivée —rf est donc représentée par une intégrale définie étendue au domaine E„,