CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX
OÙ n est la nouvelle forme symbolique
les coefficients B étant donnés par les relations (7).
Ces formules peuvent être résumées dans la rè^le suivante, qui permet de calculer très simplement la forme fi : on remplace dans w chaque coefficient kih...ipcir\. (A,a.- ... /), et à la forme ainsi obtenue on ajoute la somme des monômes que l'on déduit de w en remplaçant successivement dans chaque terme de w une quelconque des diff'érentielles dxi qui y figurent par dXi.
Pour que I soit un invariant intéq-ral absolu, il faudra que l'intégrale I a soit nulle, quel que soit le domaine d'intég-ration, c'està-dire que tous les coefficients B „ soient nuls, et ces conditions sont évidemment suffi.santes. Donc, pour que l'intégrale
soit un invariant intégral absolu, il faut et il suffit que Fon ait, pour toutes les combinaisons d'indices p à p, les relations
"^ Ki/j . . . ap 3^ "^ • • • "^ ' Kl . . . «p-i h :sj;
Pour que l'intégrale (10) soit un invariant intégral relatif, il faudra que l'intégrale / w' soit un invariant absolu. On obtiendra
les mêmes conditions en écrivant que l'intégrale / ii, étendue à
une multiplicité fermée quelconque, est nulle, c'est-à-diie que l'on a il' = o identiquement (').
(') La recherche des invariants intégraux se rattache à la théorie des transformations infinitésimales. Considérons S.\f) comme le symbole d'une transformation infinitésimale, à un invariant intégral du système (2) corres-
Le système (2) étant donné, les fonctions Xi sont connues et les C^j coefficients A«ja2 . . . «p de la forme w doivent vérifier les C^ équations du premier ordre (11), qui constituent un système normal (Leçons, n" 1). Ces équations admettent donc une infinité d'intég-rales, ce qui est bien d'accord avec les résultats du paragraphe précédent. Comme vérification, si le système (2) a la forme canonique, on doit prendre Xj^X2= . . = X^__^ = o, X^ = i,
et les équations (11) se réduisent à i ^ ■ ■ ■ -p __ ^
Remarque. — Si les fonctions X/ dépendent de t, les coefficients de M étant indépendants de t, le calcul précédent s'applique sans modifications, et on obtient les mêmes conditions (11) pour exprimer que / w est un invariant intég-ral. Au contraire, si les coefficients de w dépendent aussi de t, on voit aisément qu'il faudra ajouter des termes renfermant les dérivées de ces coefficients par rapport à ^.
Il est à remarquer que les équations (11) n'admettent pas toujours d'intégrales indépendantes de /, lorsque les fonctions X/ dépendent de t. Par exemple, le système
dxi dx9 , ^ = ai
n'admet pas d'invariant intégral de la forme jFdx^dxi, F étant indé-
pond une forme symbolique r,) admettant la transformation infinitésimale X(y) et réciproquement. La forme m étant donnée, la recherche des systèmes d'équations différentielles pour lesquels Cm est un invariant intégral revient
à la recherche des transformations infinitésimales qu'admet cette forme m. Les transformations finies, par lesquelles une forme m se rhang'C en ellemême, forment évidemment un groupe, d'ordre fini ou infini, et la question est liée à la théorie des groupes, qui est en dehors du plan de cet ouvrage. On connaît depuis longtemps un certain nombre d'intégrales, dans le plan ou dans l'espace, ayant une signification géométrique simple, qui conservent la même valeur pour toutes les transformations d'un groupe, tel que le groupe des mouvements. Ce sont sans doute les premiers exemples connus d'invariants intégraux. Par exemple, quand tous les coefficients de w sont constants, la forme il sera identitjuement nulle, si les fonctions X/ se réduisent à des constantes. Le groupe correspondant se compose des translations de l'espace à n dimensions.
