CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX
pendant de /, car le système (ii) se compose dans ce cas d'une seule ^^ation
et conduit à deux équations distinctes n'admettant que la solution banale F =: o.
57. Invariants d'ordre n et n — 1. — Un invariant intégral d'ordre n
!,.= / F(a*i, Xi, ..., x^dxidxt . . . dx^
dépend d'un seul coefficient F ; la forme ii se compose d'un seul terme, et. en égalant le coefficient à zéro, on obtient une seule équation
que l'on peut encore écrire
Or cette équation exprime que F est un multiplicateur pour le système (2), ce qui nous conduit à un théorème de H. Poincaré.
Pour que l'intégrale l Fdxi . . . dx^ soit un invariant intégral du système (2), il faut et il suffit que F soit un multiplicateur de ce système.
Avec un système de variables canoniques f^i, y*, . . ., y„i, s),
un invariant intégral est de la forme / Fdy^ . . . dy^^ j dz. F
étant une fonction arbitraire de y^^, y^. ..., y„i, indépendante de z. Les propriétés classiques du multiplicateur s'en déduisent bien aisément.
Un forme oj de degré n en dx^, dx^, ..., dx^ est toujours une forme dérivée ; par conséquent, tout invariant intégral d'ordre n peut être déduit d'une inBnité de manières, par l'opération (D), d'un invariant intégi-al d'ordre n — i (n** 54\ et tous ces inva-
222 LEÇONS SUR LK PROBLÈME DK PFAPF.
riants intégraux d'ordre n — i ne diffèrent que par une intégrale de difTérentielle totale.
Inversement, H. Poincaré a indiqué une méthode qui sera généralisée plus loin (n*' 61), permettant de déduire d'un invariant intégral d'ordre n un invariant intég-ral d'ordre n — i. Il suffit pour cela d'interpréter les résultats du n" 29 dans la théorie des invariants intégraux. Supposons que les dénominateurs Xj des équations (2) ne renferment pas t, et soit Q^^-i 1^ forme symbolique de deg-ré n — i
où Ton ne prend que des sig-nes + si n est impair, tandis que l'on prend alternativement le sig'ne + et le sig-ne — lorsque n est pair. On a
^„ idf=z + X{f)dx^dx2 • • • dx^,
de sorte que toute intégrale de l'équation X(y)= 0 est aussi une intég-rale de l'équation Çl^^df=^ o, et réciproquement. Avec un système de variables canoniques (//^, y^^ .., ijn-i-, -S"), la forme Q^j sera divisible par dy^di/^ .. . dy^^^ et l'on aura
K-i = ^dy.dy^ ... dy^^,
K pouvant être une fonction quelconque de ?/^, ..., y^^i, s. En
g'énéral / ^t i ne sera pas un invariant intég'ral du système (2);
po.r que Jm.„. soit „„ invariant intégral de ce sptème, il
faut et il suffit que le produit MK soit indépendant de z, ou, ce qui revient au même, queMî2,j j soit une forme dérivée. Ceci exige que l'on ait
c'est-à-dire que M soit un multiplicateur. Be tout multiplicateur M du système (2), on déduit donc un invariant intégral
d'ordre n — / de ce système, f Mii^.^^.
Il est à remarquer que quand on chang"e le multiplicateur M, la
