CHAPITRE V. INVARIANTS INTÉGRAUÏ

forme sous le signe intégrral a tous ses coefficients multipliés par un même facteur. Les invariants intégraux d'ordre n — i que l'on obtient ainsi ne sont pas les plus srénéraux de cet ordre; nous venons de remarquer en effet que la forme MQ,,j s'exprime uniquement au moyen de y i, ■•, y„i et de leurs dérivées; elle ne renferme ni s, ni dz (voir plus loin, n** 60).

Considérons maintenant une forme quelconque de degré n — i que nous écrirons

w„j = Ajf/j?, . .. cte„ih A^c^3 ... dx^dx^ + - • . H- X^^dœ^dœ^ . . . dx^i,

avec des signes -f seulement si n est impair, et le signe -i- et le signe — alternativement si n est pair.

La forme o correspondante (page 219) a pour expression

. D. = X{\^)dXo . . . dx„ zb • • • zt X(A„)</j?i</x2 . . . dx^^ + A^[dX,dx^ . . . dx„ 4- dx^dX^ . . . dx^ + . . •] + A^r^/Xg . . . dxjdx^ + dxJdX^ . . . dx^ + .••]

zb A„[rfXirfj?, . . . dx^i + dXidX^ ... dx„i + - - - J

et le coefficient de dx^dx^ . . . dx^, par exemple, est égal à

X(A0-A(X0 4-A,H, où l'on a posé

ao^va.-^, H=y^,

et les autres coefficients ont des expressions analogues. En écrivant que tous ces coefficients sont nuls, on voit que /es conditions nécessaires et suffisantes pour que j w,i soit an invariant intégral expriment que l'on a identiquement (12) X(A(0)-A(X(/)) + HAr/)=o,

quelle que soit la fonction f.

Cette remarque est due à M. Kœnigs(*), qui en a déduit des

(•) G. KcEMGS, Sur les invariants intégraux {Comptes-rendus de l'Académie des Sciences, t. CXXII, p. 20, 6 janvier 1896).

conséquences intéressantes sur lesquelles on reviendra plus loin (n*^ 59). On voit immédiatement que, si la condition (12) est vérifiée, les deux équations X(/) = o, A(y)^::=o, forment un système complet, lorsqu'elles ne sont pas identiques. On peut aller plus loin en observant que les deux équations

où M = — 4- ... + " " , forment aussi un système en involu-

tion (Leçons n» 18). En effet, il faut et il suffît pour cela que la relation

X(A(/) + M/) - A(X(/)) - MX(/) = o,

soit une conséquence des premières. En tenant compte de la condition (12), cette relation devient

X(M)/- HA(/) =- S X(M) + HM j /= o .

Or la relation X(M) -f- HM = o exprime que M est un multiplicateur, ce qui est bien exact, puisque la forme dérivée de <^n—i ®^* Mdœ^, . . ., dx,^.

On obtient le système (a) en cherchant les intégrales de l'équation X(yj:=:o, qui sont en miéme temps des multiplicateurs pour la forme w^i. On a en effet

K i/)'=<-i/+-«-i^/-[A(/) + M/Jc/a^, ...dx,;

les équations X(y)=o, A(/") = o s'obtiennent de même en cherchant les intég-rales de X(/)==o qui satisfont aussi à la relation (ù^^^dJ'=o. On peut donc énoncer le résultat suivant: Si l'intégrale

^n-i ^^^ "'* invariant intégral, les équations linéaires

K-i// = o, Xf/) = o

Jorment un système en involution, et par conséquent les équations iw^jt//'=:o, X(/) = o Jorment un système complet d'équations linéaires et homogènes .

Ce résultat pouvait être prévu a priori, et il est facile de le vérifier si le système (2) a été ramené à la forme canonique (6). Avec